【建模教程】-節(jié)水洗衣機-數(shù)學建模

----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----節(jié)水洗衣機摘要目前洗衣機已非常普及，節(jié)約洗衣機用水十分重要。假設在放入衣物和洗滌劑后洗衣洗衣機用水；數(shù)學規(guī)劃；優(yōu)化模型----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----目 錄問題分析 1背景意義和構想 1洗衣機的基本原理和過程 1“節(jié)水洗衣機”要點分析 1問題建模 2基本假設 2變量定義 2模型建立 3優(yōu)化模型 3分析與求解 4最少洗衣輪數(shù) 43.1算法 53.1實例驗證 5 6----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----1 問題分析背景意義與構想我國淡水資源有限，節(jié)約用水人人有責，洗衣在家庭用水中占有相當大的--漂水--脫水--加水--漂水--脫水…加水--漂水--脫水（--漂水--脫水”為運行一輪。請為洗衣機設計一種程序（包括運在實際生活中，衣服的洗滌是一個十分復雜的物理化學過程。洗衣機的運行過程可以理解為洗滌劑溶解在水中，通過水進入衣物并與衣物中的污物結合，不論人工洗衣還是洗衣機洗衣，都存在節(jié)水問題，顯然，若用水量為零，則衣服肯定洗不凈；若用水量為無窮大，則肯定浪費水，因此必然存在剛好“洗洗衣機的基本原理和過程洗衣的基本原理就是將吸附在衣物上的污物溶于水中，通過脫去污水而帶--通常洗衣要加入洗滌劑，它幫助溶解污物。但是洗滌劑本身也是不能留在衣物上的東西。因此“污物”應是衣物上原有污物與洗滌劑的總和。有了這種認識后，我們就可以統(tǒng)一地處理“洗滌（即通常加洗滌劑的首輪洗衣）和“漂洗”（即通常的以后各輪洗衣，不再加洗滌劑，但水中還有剩余洗滌劑，把二者都看作“溶污物”環(huán)節(jié)?！肮?jié)水洗衣機”要點分析立足于“溶污物--脫污水”這種基本原理，我們可以找出“節(jié)水洗衣機”問題的基本要點如下：1）污物的溶解情況如何？這里將用“溶解特性”來描述；----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----2）每輪脫去污水后污物減少情況如何？這將由系統(tǒng)的動態(tài)方程表示；3）如何設計由一系列“溶污物--脫污水”構成的節(jié)水洗衣程序？這將通過用水程序來反映，也是我們最終需要的結果。問題建?；炯僭O1）僅考慮離散的洗衣方案，即“加水溶污物（以下稱為“加水H，否則會溢出，設L<H；3）每輪的洗滌時間是足夠的，以便衣物上的污物充分溶入水中，從而使每輪所用的水被充分利用；4）每輪的脫水時間是足夠的，以使污水脫出，即讓衣物所含的污水量達到一個低限，設這個低限是一個大于0的常數(shù)C，設C<L。5）除首輪外，每輪的“用水量”包括該輪加水量和衣物中上輪脫水后殘留的水量，即殘留水被自然地利用了。6）假設放入洗衣機的衣物重量看做是等重量的，即減少的衣物重量差異對用水量的影響。變量定義n--洗滌--01n-1輪；2）k輪用水量為u（k=，1，2，……，n-；k----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----3）衣物上的初始污物量為x0x （k=，1，2，……，n-。k1表示符號u表示符號u具體意義k輪用水量kx第k輪脫水后仍在衣物上的污物量kL 洗衣機每輪用水量下限H 洗衣機每輪用水量上限C 每次脫水完畢后衣物上殘留的污水量

，在第k輪脫水后仍吸附在衣物上的污物量為----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----QQn衣物上污物浸泡在水中的溶解率洗衣輪數(shù)模型建立----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----第k輪洗滌之后和脫水之前，第k-1輪脫水之后的污物量xk

已成為兩部分：----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----x p qk k

，k=0，1，2，……，n-1----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----其中pk

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最?。?0，因----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----為此時洗衣機處于轉動臨界點，有可能無法轉動，該輪洗衣無效；當uk

=H時，----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----p最大xk k

，0<Q<1Q。因此簡單地選用線性關系表----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----示這種溶解特性則有：

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，有污水C，其中污水C----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----中所含污物量為（p/uk

）C。于是第k輪完成之后衣物上尚存的污物總量為：----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----xk1

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u HL----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----優(yōu)化模型xnx0是初始污物量xn/x0反映了洗凈效果由系統(tǒng)動態(tài)方程得：----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----x n1 Cu Ln 1Q1 k ----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----又總用水量為：

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H(k0,1,2,...,n1)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----其中代表對洗凈效果的要求。若令：u Lv k ,k HL則：u (HL)v Lk k于是優(yōu)化模型化為更簡潔的形式minn1vkk0kn1 Qv k----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----s.t.

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kn1----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----HL H LA B 1,BC L C3 分析與求解最少洗衣輪數(shù)定義函數(shù)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----r(t)1Qt易知

Qt ,0t1AtB----宋停云與您分享--------宋停云與您分享---- B r'(t)Q(AtB)21t1 可見r（t）是區(qū)間[0，1]上的單調(diào)減函數(shù)，所以：----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----k輪的洗凈效果為：

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),kn1----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----由此不難得出n輪洗完后的洗凈效果最多可達到： QCn----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----1Q給定洗凈效果的要求，則應有：

H----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----QQCn----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----于是有：

1 H----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----n log

QC----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----log1Q H 設N 為滿足上式的最小整數(shù)，則最少洗衣輪數(shù)即為N 。0 0算法可采用非線性規(guī)劃算法，對nN,N ,N ,......,N（憑常識洗衣的輪數(shù)不0 01 02應太多,比如取N=10已足夠）進行枚舉求解，然后選出最好的結果。其中N 是0滿足洗衣次數(shù)的最小整數(shù)。實例驗證次數(shù)n（輪）總用水量u（升）kQ=0.5，則對于衣物潔凈要求=0.05n次數(shù)n（輪）總用水量u（升）k----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----33456758189101即對于一個特定的衣物潔凈度，最佳的洗衣次數(shù)為3次?？梢妼τ诓煌匆聶C的不同的參數(shù)值，洗衣機的節(jié)水程度均有差異。[M]．北京：高等教育出版社，1979：徐萃薇.[M].:,1985.高等數(shù)學(3版[M].北京:,1988蘇金明等編.MATLAB工具箱應用[M].北京電子工業(yè)出版社,1988----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----礦脈樣本點回歸模型討論分析問題提出：13x，yx,yx,yyx：注：散點的程序如下：>>x=[2,3,4,5,7,8,10,11,14,15,15,18,19];>>y=[106.42,109.20,109.58,109.50,110.00,109.93,110.49,110.59,110.60,111.90,110.76,111.00,111.20];>>plot(x,y),stem(x,y);由散點圖可看出，yx二次函數(shù)模型為：y=a0+a1*x+a2*x^2+n雙曲線模型為：y=b0+b1/x+n當n大致服從均值為零的正態(tài)分布時,則說明該模型選擇是合適的。建模思想：通過散點圖和比較建立的兩個可能的回歸模型的結果，找出最適合的模型來表示此礦脈金屬含量y與到原點距離x的關系。模型求解：直接利用MATLAB統(tǒng)計工具箱重的命令regress求解,程序如下：1．二次函數(shù)模型：1----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----y=[106.42;109.20;109.58;109.50;110.00;109.93;110.49;110.59;110.60;110.90;110.76;111.00;111.20];x=[122^2;133^2;144^2;155^2;177^2;188^2;11010^2;11111^2;11414^2;11515^2;11515^2;11818^2;11919^2];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05)b=106.95220.5271-0.0170bint=105.4769 108.42750.1896 0.8645-0.0329 -0.0011r=-1.51820.81980.79190.33800.1923-0.1495-0.0310-0.1007-0.3956-0.1292-0.26920.07440.3769rint=-1.7369 -1.2995-0.3263 1.9660-0.4503 2.0341-1.0463 1.7223-1.2036 1.5881----宋停云與您分享--------宋停云與您分享-----1.5331 1.2341-1.3968 1.3348-1.4645 1.2631-1.7621 0.9709-1.5276 1.2693-1.6566 1.1183-1.1713 1.3200-0.6496 1.4035stats=0.7759 17.3112 0.0006 0.41822．雙曲線模型：y=[106.42;109.20;109.58;109.50;110.00;109.93;110.49;110.59;110.60;110.90;110.76;111.00;111.20];x=[11/2;11/3;11/4;11/5;11/7;11/8;11/10;11/11;11/14;11/15;11/15;11/18;11/19];[b,bint,r，rint,stats]=regress(y,x,0.05)b=111.4405-9.0300bint=111.1068 111.7743-10.6711 -7.3889r=-0.50560.76950.3970-0.1345-0.1505-0.3818-0.0475-0.0296-0.19550.0615----宋停云與您分享------