高中數(shù)學(xué)上教版高一上冊冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)冪函數(shù)（修改版）-

2.3冪函數(shù)四川省新津中學(xué)：林吉蘭問題引入：函數(shù)的生活實例問題1：如果張紅購買了每千克1元的蘋果x千克，那么她需要付的錢數(shù)y=____元。問題2：如果正方形的邊長為x，那么正方形的面積是y=

。問題3：如果立方體的邊長為x，那么立方體的體積是y=

。問題4:如果正方形場地的面積為x，那么正方形的邊長y=

。問題5：如果某人x秒騎車行進了1km，那么他騎車的平均速度y=

。

思考：以上問題中的關(guān)系式有什么共同特征？（1）都是以自變量x為底數(shù)；（2）指數(shù)為常數(shù)；（3）自變量x前的系數(shù)為1;（4）都只有1項。

(1)(2)(3)(4)(5)以上所涉及的函數(shù)，都是形如的函數(shù)。冪函數(shù)的定義：一般地，我們把形如y=xα的函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中x為自變量，α為常數(shù)。新知探究：冪函數(shù)的概念（1）指數(shù)是常數(shù)；（2）底數(shù)是自變量；（3）函數(shù)式前的系數(shù)都是1；（4）只有1項。快速反應(yīng)判斷下列函數(shù)是否是冪函數(shù)：（1）y=0.2x（2）y=x-1（3）y=3-x

（4）y=

（5）y=2x（6）y=xx+2

（7）y=x2+2（8）y=x0a為底數(shù)指數(shù)α為指數(shù)底數(shù)冪值冪值冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別判斷一個函數(shù)是冪函數(shù)還是指數(shù)函數(shù)切入點看未知數(shù)x是指數(shù)還是底數(shù)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)注意:冪函數(shù)的解析式必須是y=ｘα

的形式，其特征可歸納為“底變指常兩個1:底數(shù)為自變量，指數(shù)為常數(shù)，系數(shù)為１，只有１項”．例1，已知函數(shù)f（x）=（m2-m+1）xm是冪函數(shù)，則實數(shù)m的值等于_________

題型一：冪函數(shù)的概念問題變式訓(xùn)練1.

已知函數(shù)f（x）=（m2+2m-2）xm+2+2n-3是冪函數(shù)，求m，n的值。

解：∵f（x）=（m2+2m-2）xm+2+2n-3是冪函數(shù)∴m2+2m-2=1，2n-3=0

∴m=1或-3，n=

解：因為f（x）是冪函數(shù)，則令f（x）=xα題型二：求冪函數(shù)的解析式變式訓(xùn)練2，已知冪函數(shù)f（x）的圖像過點（3，9），則f（x）=_______。

例2，已知冪函數(shù)f（x）的圖像過點（2，），試求這個函數(shù)的解析式。解：f（x）=x2

帶入點（2，）得2α=，所以α=

綜上，f（x）=x

新知探究：五個常用冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)

(1)(2)

(3)(4)(5)請同學(xué)們在同一平面直角坐標系中分別作出以上五個冪函數(shù)的圖象。

,,,,探究：

x…-3-2-10123……-3-2-10123……9410149……-27-8-101827……\\\01……-1/3-1/2-1\11/21/3…xy0xy0xy0xy0xy0xy0xy0xy0證明冪函數(shù)在［0，+∞）上是增函數(shù).復(fù)習(xí)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟:(1).設(shè)x1,x2是某個區(qū)間上任意二值，且x1＜x2;(2).作差f(x1)－f(x2)，變形;(3).判斷f(x1)－f(x2)的符號；(4).下結(jié)論.例3證明:任取所以冪函數(shù)在［0，+∞）上是增函數(shù).xy在第一象限內(nèi),函數(shù)圖象的變化趨勢與指數(shù)有什么關(guān)系?在第一象限內(nèi)，當α>0時，圖象隨x增大而上升。當α>0時圖象都經(jīng)過點（1，1）圖象都過點(0,0)點當α為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)；當α為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)．0在第一象限內(nèi),函數(shù)圖象的變化趨勢與指數(shù)有什么關(guān)系?在第一象限內(nèi)，當α<0時，圖象隨x增大而下降。圖象都經(jīng)過點（1，1）（1，1）當α為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)；當α為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)．xy0不管指數(shù)是多少,圖象都經(jīng)過哪個定點?在第一象限內(nèi)，當α>0時，圖象隨x增大而上升。當α<0時，圖象隨x增大而下降。圖象都經(jīng)過點（1，1）α>0時,圖象還都過點(0,0)點xy當α為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)；當α為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)．0

(1)所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義，并且圖象都通過點(1,1);

(2)如果a>0,則冪函數(shù)的圖象過點(0,0),(1,1)并在[0,+∞)上為增函數(shù).

如果a<0,則冪函數(shù)的圖象過點(1,1),并在(0,+∞)上為減函數(shù).(3)當α為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)；當α為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)．冪函數(shù)y=xα的一般性質(zhì):題型三：冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)的運用例4，已知函數(shù)f（x）=（m2-m+1）xm是冪函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，則實數(shù)m的值等于_________

變式訓(xùn)練3，已知函數(shù)f（x）=（m2+2m-2）xm+2+2n-3是冪函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù),求m，n的值。檢驗：當m=0時，f（x）=x0，為常數(shù)函數(shù)，舍去綜上，m=1當m=1時，f（x）=x，在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)

∴m=-3，n=解:(1)y=x0.8在(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),∵5.2<5.3∴5.20.8<5.30.8(2)y=x0.3在(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù)∵0.2<0.3∴0.20.3<0.30.3例5：利用單調(diào)性比較下列各值的大?。海?）5.20.8與5.30.8

（2）0.20.3與0.30.3（3）2.5

與2.7(4)2.5與2.5(3)y=x在(0,+∞)內(nèi)是減函數(shù)∵2.5<2.7∴2.5>2.7(4)y=2.5x在R上是增函數(shù)∵>∴2.5>2.51、利用單調(diào)性判斷下列各值的大?。鹤兪接?xùn)練4（1）1.30.5<1.50.5（2）5.1-2<5.09-2（3）-1.79>-1.81

1、了解并掌握冪函數(shù)的概念，了解冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別；課堂小結(jié)2、冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)；3、思想方法：數(shù)形結(jié)合的思想、化歸轉(zhuǎn)化思想和歸納類比﹑猜想與證明的思想。課后作業(yè)：1﹑同步解析與測評P109

2﹑探究：謝謝聆聽！y=