高中數(shù)學(xué)人教A版數(shù)列公開課：求數(shù)列的通項公式 高質(zhì)作品

數(shù)列的通項公式是數(shù)列的核心內(nèi)容之一,它如同函數(shù)中的函數(shù)解析式一樣,有了解析式便可研究其性質(zhì);

同理有了數(shù)列的通項公式便可求出任一項以及數(shù)列的前n項和等.因此,求數(shù)列的通項公式往往是解題的突破口、關(guān)鍵點.因此近年來的高考題中經(jīng)常出現(xiàn)給出數(shù)列的關(guān)系式（包括遞推關(guān)系式和非遞推關(guān)系式），求通項公式的問題解讀高考數(shù)列通項公式的常見求法

例1.根據(jù)下面數(shù)列前幾項的值,寫出數(shù)列的一個通項公式(1)_1,7,_13,19,…(2)(3)9,99,999,9999,…

方法一：觀察法（又叫猜想法，不完全歸納法）二、由與n/的關(guān)系，求數(shù)列的通項可用公式求解。變式訓(xùn)練：已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和，滿足

，恰為等比數(shù)列的前三項．求數(shù)列，的通項公式。

求數(shù)列的通項，特別要注意驗證a1的值是否滿足“n≥2”的通項公式；同時認(rèn)清“an+1-an=d（常數(shù)）(n≥2)”與“an-an-1=d（d為常數(shù)，n≥2）”的細(xì)微差別.本例的關(guān)鍵是應(yīng)用三、由遞推式求數(shù)列通項法對于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通?？梢酝ㄟ^遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題，有時也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列（2）例3：（1）等差數(shù)列的通項公式的求法

如果一個數(shù)列是等差數(shù)列，公差為d，那么以(n-1)個式子相加得等比數(shù)列的通項公式的求法若數(shù)列是等比數(shù)，公比為，則（2）例3：（1）1.形如an+1-an=f(n)型(1)若f(n)為常數(shù)，即an+1-an=d,此時數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則an=a1+(n-1)d;(2)若f(n)為n的函數(shù)，用累加法.an=f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1)+a1①若f(n)是一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；②若f(n)是二次函數(shù)，累加后可分組求和；③若f(n)是指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；④若f(n)是分式函數(shù)，累加后可裂項相加.2.形如an+1/an=f(n)型(1)若f(n)為常數(shù)，即an+1/an=q,此時數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則an=a1qn-1;(2)若f(n)為n的函數(shù)，用累乘法，即.an=f(n-1)f(n-2)·…·f(2)·f(1)·a13.形如an+1=can+d(c≠0,a1=a)型(1)若c=1,數(shù)列{an}為等差數(shù)列；(2)若d=0,數(shù)列{an}為等比數(shù)列；(3)若c≠1且cd≠0時,數(shù)列{an}為線性遞推數(shù)列,其通項通過待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來求.例：在數(shù)列{an}中，an+1=2an－3，a1=5，求{an}的通項公式．4.形如an+1=can+f(n)型(1)若f(n)=kn+b(其中k,b為常數(shù),且k≠0),例：在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=3an+2n,求an.待定系數(shù)法：設(shè)an+1+A（n+1）+B=c(an+An+B),求出A、B，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項.例（1）設(shè)a1=1，且an=3n+2an-1(n≥1)，求an通項（2）設(shè)a1=1，且an=3n-1+2an-1(n≥1)，求an通項(2)若f(n)=qn(其中q為常數(shù),且q≠0,1)①當(dāng)c=1時,累加即可；②當(dāng)c≠1時,即an+1=can+qn,求通項有以下三個方向：ⅰ)兩邊同除以cn+1;ⅱ)兩邊同除以qn+1;ⅲ)待定系數(shù)法：設(shè)an+1+λqn+1=c(an+λqn),求出λ，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項.4.形如an+1=can+f(n)型5.形如an+1=pan+qan-1(其中p,q為常數(shù))型例：數(shù)列{an}中,若a1=8,a2=2,且滿足an+2-4an+1+3an=0,求an.練習(xí)：數(shù)列{an}中,若a1=1,a2=5,且滿足an+2-5an+1+6an=0,求an.先用待定系數(shù)法將遞推公式變形為an+1-Aan=B(an-Aan-1)再求解。6.形如an+1=pan/(ran+s)型p,r,s≠0,即，取倒數(shù)法

例：已知數(shù)列{an}中,a1=1,,求an.7.形如an+1=panr(其中p,r為常數(shù))型(1)p>0,an>0,用對數(shù)法，等式兩邊去以p為底的對數(shù)例：設(shè)正項數(shù)列{an}滿足a1=1,an=2an-12(n≥2),求an.例:已知正項數(shù)列{an}滿足a0=1,an+1=求an.(2)p<0,用迭代法求數(shù)