簡諧振動振動合成

簡諧振動振動合成目前一頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點振動(Oscillation)目前二頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點前言：振動和波動是物理中的重要領(lǐng)域：一、簡諧振動振動:一個物理量隨時間作周期性變化簡諧振動是最簡單的振動,任何復(fù)雜的振動都是簡諧振動的線性迭加。定義：物體運動時，離開平衡位置的位移（或角位移）隨時間t按余弦（或正弦）規(guī)律變化，這類運動稱簡諧振動。目前三頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點速度與加速度也都是周期變化的。二、簡諧振動的速度、加速度目前四頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點1、振幅A物體離開平衡位置的最大距離。2、周期T單位：米，m物體完成一次全振動所用的時間。單位：秒，s頻率v1秒內(nèi)物體完成全振動的次數(shù)。單位：赫茲，Hz或曰,物體的運動狀態(tài)完全重復(fù)一次所用的時間。三、諧振動的振幅、周期、（頻率）和相位目前五頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點3、圓頻率ω每隔周期T物體的運動狀態(tài)復(fù)原:2秒內(nèi)的振動次數(shù)(單位：1/S或rad./S)

目前六頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點4、相位與初相φ(t+

)是t時刻的相位t時刻的相位反映t時刻的振動狀態(tài)

由x=Acos(t+)

t+

0/2

3/22

x(t)

A0-A0A

(t)0-A0

A0

a(t)-2A02A0-2A目前七頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點初相(initialphase)是t=0時刻的相位

(t=0稱時間零點，是開始計時的時刻，不一定是開始運動的時刻)

反映t=0時刻的振動狀態(tài)(x0，0

)

要熟記典型

值所對應(yīng)的振動情況和振動曲線(如圖)

目前八頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點oA-Atx=0T(a)Ax0=AxmooA-Atx=/2x0=0T(b)xmoxoA-At

=xmo-Ax0=-AT(c)oA-At=3/2(或-/2)

Txx0=0xmo(d)

0

/2

3/22

x0A0-A0A

00-A0

A0彈簧振子的幾個特殊的初始狀態(tài)及相應(yīng)的振動曲線

目前九頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點5、振幅與初相的確定初始條件：①②②/①有①2+(②/)2有目前十頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點五、相位差相位差---相位之差

對兩同頻率的簡諧振動，相位差等于初相差

=(t+2)-(t+1)

=2

-1

1.相位差和初相差2.同相和反相

當(dāng)=2k，(k=0,1,2,…)，兩振動步調(diào)相同，稱同相目前十一頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點當(dāng)=(2k+1)，(k=0,1,2,…)，兩振動步調(diào)相反，稱反相

x2TxoA1-A1A2-

A2x1t反相xoA1-A1A2-

A2x1x2Tt同相(a)兩同相振動的振動曲線

(b)兩反相振動的振動曲線

目前十二頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點3.領(lǐng)先和落后若=2-1>0,則x2比x1較早達到正最大，稱x2比x1領(lǐng)先(或x1比x2落后)

領(lǐng)先、落后以<的相位角(或以<T/2的時間間隔)來判斷

xx2ToA1-A1A2-

A2x1t振動的領(lǐng)先與落后

思考：在上圖中，x1與x2兩振動誰領(lǐng)先?目前十三頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點1.在平衡位置附近來回振動。2.受回復(fù)力作用。特點：1.彈簧質(zhì)量不計。1.符合簡諧振動的條件2.彈簧的振動2.所有彈力都集中在彈簧上。3.質(zhì)量集中于物體上。4.不計摩擦。彈簧振子目前十四頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點振動位移：從o點指向物體所在位置的矢量?；貜?fù)力：3.振動位移建立坐標系，o點選在彈簧平衡位置處。一維振動目前十五頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點令有簡諧振動微分方程其中A為振幅，為圓頻率，為初相位。圓頻率只與彈簧振子性質(zhì)有關(guān)。單位：rad/s解微分方程目前十六頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點1.圓頻率2.周期3.頻率目前十七頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點均是作簡諧振動的物理量頻率相同振幅的關(guān)系相位差超前落后目前十八頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點6.振動曲線目前十九頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點質(zhì)量集中于小球上，不計懸線質(zhì)量。取逆時針為

張角正向，以懸點為軸，只有重力產(chǎn)生力矩。“–”表示力矩與張角方向相反。單擺目前二十頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點當(dāng)時目前二十一頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點令諧振動微分方程目前二十二頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點周期頻率與質(zhì)量無關(guān)。圓頻率目前二十三頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點簡諧振動的能量目前二十四頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點

簡諧振動過程即有動能又有勢能，Ek、Ep交替變化。一、諧振動的動能目前二十五頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點目前二十六頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點Ek最大時，Ep最小，Ek、Ep交替變化.二、諧振動的勢能目前二十七頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點機械能守恒，諧振過程保守力作功。諧振能量與振幅的平方成正比。三、諧振動的能量目前二十八頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點旋轉(zhuǎn)矢量目前二十九頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點將物理模型轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)模型。矢量A以角速度逆時針作勻速圓周運動，研究端點M在x軸上投影點的運動，初相用勻速圓周運動幾何地描述SHV一、旋轉(zhuǎn)矢量目前三十頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點1.M點在x軸上投影點的運動為簡諧振動。2.M點的運動速度在x軸上投影速度目前三十一頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點3.M點的加速度在x軸上投影加速度M點運動在x軸投影，為諧振動的運動方程。M點速度在x軸投影，為諧振動的速度。M點加速度在x軸投影，為諧振動的加速度。結(jié)論：目前三十二頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點A諧振動旋轉(zhuǎn)矢量t+T振幅初相相位圓頻率諧振動周期半徑初始角坐標角坐標角速度圓周運動周期二、物理模型與數(shù)學(xué)模型比較目前三十三頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點1.初始條件三、用旋轉(zhuǎn)矢量表示彈簧、單擺運動初相目前三十四頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點2.初始條件取目前三十五頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點3.初始條件目前三十六頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點4.初始條件取目前三十七頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點1、直觀地表達振動狀態(tài)優(yōu)點當(dāng)振動系統(tǒng)確定了振幅以后表述振動的關(guān)鍵就是相位即表達式中的余弦函數(shù)的綜量而旋轉(zhuǎn)矢量圖可直觀地顯示該綜量分析解析式可知用圖代替了文字的敘述目前三十八頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點如文字敘述說t時刻彈簧振子質(zhì)點

在正的端點旋矢與軸夾角為零質(zhì)點經(jīng)二分之一振幅處向負方向運動意味意味<目前三十九頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點質(zhì)點過平衡位置向負方向運動同樣<0向負方向運動<0<0注意到：目前四十頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點向正方向運動或>0>0或>0>向正向運動目前四十一頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點由圖看出：速度超前位移加速度超前速度稱兩振動同相2、方便地比較振動步調(diào)位移與加速度稱兩振動反相若目前四十二頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點3、方便計算用熟悉的圓周運動代替三角函數(shù)的運算例：質(zhì)量為m的質(zhì)點和勁度系數(shù)為k的彈簧組成的彈簧諧振子

t=0時質(zhì)點過平衡位置且向正方向運動求：物體運動到負的二分之一振幅處時所用的最短時間目前四十三頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點解：設(shè)t時刻到達末態(tài)由已知畫出t=

0時刻的旋矢圖再畫出末態(tài)的旋矢圖由題意選藍實線所示的位矢設(shè)始末態(tài)位矢夾角為因為得繁復(fù)的三角函數(shù)的運算用勻速圓周運動的一個運動關(guān)系求得目前四十四頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點簡諧振動的合成（SuperpositionofHarmonicOscillation)目前四十五頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點引：-目前四十六頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點質(zhì)點同時參與兩個振動，研究兩個同方向同頻率的振動合成。振動合成分振動合成后仍為諧振動，角速度不變。一、同（振動）方向、同頻率有恒定相位差的兩個諧振動的合成目前四十七頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點tx結(jié)論：兩個同方向、同頻率的諧振動合成后仍為同頻率的簡諧振動。Yx１、旋轉(zhuǎn)矢量法求合振動目前四十八頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點１、當(dāng)時（同相）,合振動振幅最大。注意目前四十九頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點２、當(dāng)時（反相）,合振動振幅最小。若合振動初相隨振幅大者。目前五十頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點適用于：兩個分振動等振幅時。分振動合振動例:２、和差化積求合振動３、由分振動曲線求合振動目前五十一頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點例：兩同方向、同頻率諧振動合成，求：合成諧振動方程解：合成后不變，合振動方程目前五十二頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點

1、解析法：先將x1,x2合成，再與x3合成?！铣珊笕詾橹C振動。

2、矢量合成法：x1,x2，x3……首尾相接。foA二、多個同方向、同頻率諧振動合成目前五十三頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點三、在垂直方向上的兩個諧振動的合成目前五十四頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點3256圖(a)、(b)、(c)為三個不同的簡諧振動系統(tǒng)．組成各系統(tǒng)的各彈簧的原長、各彈簧的勁度系數(shù)及重物質(zhì)量均相同．(a)、(b)、(c)三個振動系統(tǒng)的w2（w為固有角頻率）值之比為(A)2∶1∶．(B)1∶2∶4．(C)2∶2∶1．(D)1∶1∶2．

［B］目前五十五頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點3557一質(zhì)點沿x軸作簡諧振動，振動范圍的中心點為x軸的原點．已知周期為T，振幅為A．(1)

若t=0時質(zhì)點過x=0處且朝x軸正方向運動，則振動方程為

x=_____________________________(2)

若t=0時質(zhì)點處于處且向x軸負方向運動，則振動方程為

x=_____________________________．

目前五十六頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點3562圖中所畫的是兩個簡諧振動的振動曲線．若這兩個簡諧振動可疊加，則合成的余弦振動的初相為．(B)．

(C)．(D)0．

x

tOA/2

-A

x1x2［B］目前五十七頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點5190一質(zhì)點同時參與了三個簡諧振動，它們的振動方程分別為

其合成運動的運動方程為x=_____________．

0目前五十八頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點3838一個質(zhì)點同時參與兩個在同一直線上的簡諧振動，其表達式分別為

(SI)則其合成振動的振幅為___________，初相為___________

1×10-2mp/6目前五十九頁\總數(shù)六十三頁\編于十六點3271一簡諧振子的振動曲線如圖所示，則以余弦函數(shù)表示的振動方程為

_______________