【教學(xué)】《復(fù)數(shù)乘法幾何意義初探》示范教學(xué)北師大新課標(biāo)

復(fù)數(shù)乘法幾何意義初探新知探究問題1復(fù)數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R）的幾何意義是什么？復(fù)數(shù)z的幾何意義有兩種：復(fù)數(shù)z＝a＋bi與復(fù)平面上的點(diǎn)Z（a，b）一一對應(yīng)，

新知探究追問1：復(fù)數(shù)加法的幾何意義是什么？利用向量的平行四邊形法則表示復(fù)數(shù)的和．新知探究追問2：設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R），則z′＝2z的幾何意義是什么？由復(fù)數(shù)乘法可知z′＝2（a＋bi）＝2a＋2bi，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，z′對應(yīng)的向量為

＝（2a，2b），

復(fù)數(shù)z的對應(yīng)的向量

＝（a，b），所以

新知探究問題2設(shè)復(fù)數(shù)z1＝－1＋i所對應(yīng)的向量為

，若z2＝（－1＋i）×2對應(yīng)的向量為

，則

與

是什么關(guān)系？

因?yàn)?/p>

＝（－1，2），

＝2（－1，2），所以

由向量數(shù)乘的幾何意義，

是將

沿原方向伸長原來的2倍得到．

新知探究追問：在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)z1＝a＋bi（a，b∈R），z2＝z1·，它們分別對應(yīng)的向量為

與

，如何直觀地理解

與

之間的位置關(guān)系？

是將沿原方向縮短原來的倍得到.

新知探究問題3設(shè)復(fù)數(shù)z1＝1，z2＝z1·i，所對應(yīng)的向量為

與

，如何直觀地理解

與

之間的位置關(guān)系呢？若復(fù)數(shù)z1＝i，z2＝z1·i呢？

因?yàn)閦1＝1，z2＝z1·i，所以z2＝i，所以

＝（1，0），＝（0，1），

所以

可以看作

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

得到的．

同理可得z2＝z1·i對應(yīng)的向量可以看作z1＝i對應(yīng)的向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

．

新知探究問題4設(shè)復(fù)數(shù)z1＝－1＋i所對應(yīng)的向量為

，若z2＝（－1＋i）i對應(yīng)的向量為

，則

與

是什么關(guān)系？

因?yàn)閦2＝（－1＋i）i＝－1－i，所以

＝（－1，－1），而

＝（－1，1），

因?yàn)?/p>

＝－1×（－1）＋（－1）×1＝0，

所以

，故

可以看作

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

得到．

新知探究追問：在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)復(fù)數(shù)z1＝a＋bi（a，b∈R），z2＝z1·i，它們分別對應(yīng)的向量為

，如何直觀地理解

與

之間的位置關(guān)系呢？

可以看作

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

得到．

新知探究問題5在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)復(fù)數(shù)z1＝a＋bi（a，b∈R），z2＝z1·i，z3＝z1·（－i）2，它們分別對應(yīng)的向量為

，，，如何直觀地理解

與

，

之間的位置關(guān)系呢？

因?yàn)閦2＝b－ai，z3＝－a－bi，所以

＝（a，b），＝（b，－a），＝（－a，－b），

所以

是將

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

得到，

是將

順（逆）時(shí)針旋轉(zhuǎn)

得到的．

初步應(yīng)用例1

在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1＝3－2i，z2＝z1·i，它們對應(yīng)的向量分別為

，

，如何直觀地理解

與

之間的位置關(guān)系．

是由

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

得到的．

初步應(yīng)用例2

在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1＝6＋3i，z2＝

，它們分別對應(yīng)的向量為

，

，如何直觀得解釋

與

關(guān)系呢？

解答：因?yàn)閦1＝6＋3i，所以z2＝

（6＋3i）i＝－2i＋1，

根據(jù)向量與復(fù)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系可得

＝（6，3），

＝（1，－2），

所以

，，所以

，

又

＝6×1＋3×（－2）＝0，所以

，

故

是

變?yōu)樵瓉?/p>

，再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

得到，如圖所示．

O3z2z16－2xy練習(xí)練習(xí)：教科書第177頁練習(xí)1，2．歸納小結(jié)（1）請用本節(jié)所學(xué)的知識解釋為什么－a與a的方向是相反的？（2）復(fù)數(shù)乘法的幾何意義是什么？問題6通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？可以從以下幾個(gè)問題歸納．（1）把負(fù)號看作i2或者（－i）2，把向量a旋轉(zhuǎn)180°，可得向量－a．（2）①復(fù)數(shù)（a＋bi）·c（c＞0）對應(yīng)的向量是由a＋bi對應(yīng)的向量沿原方向拉伸或壓縮c倍得到的．②復(fù)數(shù)（a＋bi）·i對應(yīng)的向量是由a＋bi對應(yīng)的向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

得到的．

作業(yè)布置作業(yè)：教科書第177頁，A組8；P178B組第6題．1目標(biāo)檢測在復(fù)平面內(nèi)，把與復(fù)數(shù)a＋bi（a，b∈R）對應(yīng)的向量繞原點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）A．a(chǎn)－biB．－a＋biC．b－aiD．－b＋ai解析：所求復(fù)數(shù)為（a＋bi）·（－i）＝－（a＋bi）i＝b－ai，故選C．C2目標(biāo)檢測在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)3－

對應(yīng)的向量分別按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）A．B．C．D．

B解析：

由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義可得（3－

）i＝

＋3i，故選B．

3目標(biāo)檢測復(fù)平面內(nèi)向量

對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋i，A點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－1，現(xiàn)將

繞A點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的向量為

，則點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為________．

解析：量

對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－（2＋i）i＝1－2i，

∵

，

∴

對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－1＋（1－2i）＝－2i，即點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－2i．

－2i4目標(biāo)檢測在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1＝1－2i，z2＝z1·i2，它們分別對應(yīng)的向量為

，

，判斷

與

關(guān)系呢？

解答：因?yàn)閦1＝1－2i，所以z2＝z1·i2＝－z1＝－1＋2i，根據(jù)向量與復(fù)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系可得

＝（