行列式的基本性質(zhì)與計算

行列式的基本性質(zhì)與計算演示文稿目前一頁\總數(shù)四十九頁\編于二點（優(yōu)選）第二節(jié)行列式的基本性質(zhì)與計算目前二頁\總數(shù)四十九頁\編于二點3因為性質(zhì)2.

互換兩行(列),行列式改變符號.

注：由性質(zhì)1可知,行列式中行與列具有同等地位,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的,對列也成立,反之亦然.所以目前三頁\總數(shù)四十九頁\編于二點4注:

換行:換列:即例如:目前四頁\總數(shù)四十九頁\編于二點5又如:

推論1.

若行列式中某一行(列)的所有元素均為零,則

證明:當?shù)谝恍性厝珵?時,即由行列式定義知D=0;目前五頁\總數(shù)四十九頁\編于二點6若第i

行(i＞1)的元素全為0,即(第i行)=0.證畢.目前六頁\總數(shù)四十九頁\編于二點7推論2.

若行列式D中有兩行(列)完全相同,則D=0.證明:將相同的兩行互換,有

性質(zhì)3.

若行列式中某行(列)的所有元素是兩個數(shù)的和,則D可表示成兩個新行列式之和.即

目前七頁\總數(shù)四十九頁\編于二點8目前八頁\總數(shù)四十九頁\編于二點9證明:當i=1時，由行列式的定義知目前九頁\總數(shù)四十九頁\編于二點10當i>1時，把第i行與第一行互換，再按上面的方法把行列式拆成兩個行列式之和，然后再把這兩個行列式的第i行與第一行互換即可．目前十頁\總數(shù)四十九頁\編于二點11性質(zhì)4.行列式中某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面.即證:當i=1時，由行列式的定義知目前十一頁\總數(shù)四十九頁\編于二點12當i>1時，把第i行與第一行互換，根據(jù)上面的結(jié)論，可把第一行的公因子提到行列式外，然后再互換第一行和第i行，即得該命題．目前十二頁\總數(shù)四十九頁\編于二點13(第j行)推論20.(第i行)也就是

推論3.

若行列式D

中有某兩行(列)對應(yīng)元素成比例,則D=0.目前十三頁\總數(shù)四十九頁\編于二點14

性質(zhì)5

把行列式中某一行(列)的各元素乘以常數(shù)k后加到另一行(列)對應(yīng)的元素上去,行列式保持不變,即目前十四頁\總數(shù)四十九頁\編于二點15又注意:

注:

利用上述性質(zhì)和推論可以簡化行列式的運算,即可把行列式化成上三角(或下三角)行列式來計算.目前十五頁\總數(shù)四十九頁\編于二點16例1.計算解:D目前十六頁\總數(shù)四十九頁\編于二點17目前十七頁\總數(shù)四十九頁\編于二點18例2.計算解:從第四行開始,后行減去前行,得目前十八頁\總數(shù)四十九頁\編于二點19目前十九頁\總數(shù)四十九頁\編于二點20例3.

計算n

階行列式

解:此行列式的特點是各行n個數(shù)之和均為a+(n-1)b,故把第二列至第n列都加到第一列上去:目前二十頁\總數(shù)四十九頁\編于二點21目前二十一頁\總數(shù)四十九頁\編于二點22解法二(鑲邊法)當a,b相等時，行列式為0,當a,b不等時目前二十二頁\總數(shù)四十九頁\編于二點23目前二十三頁\總數(shù)四十九頁\編于二點24例：計算解：目前二十四頁\總數(shù)四十九頁\編于二點25目前二十五頁\總數(shù)四十九頁\編于二點26目前二十六頁\總數(shù)四十九頁\編于二點27

引理一個n階行列式，如果其中第i行(或第j列)所有元素除外都為零，那末此行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即二、行列式按任一行(列)展開

根據(jù)行列式的定義和性質(zhì)1,我們知道行列式等于它的第一行(列)的各元素與它們對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和.

事實上可以證明更一般的結(jié)論.為此先證明以下引理.例如目前二十七頁\總數(shù)四十九頁\編于二點28也就是:若則目前二十八頁\總數(shù)四十九頁\編于二點29(1).當位于第一行第一列的情形,即證明:

先證由定義,按第一行展開得(2).再證一般情形(第i行除外,其它元素全為零),此時目前二十九頁\總數(shù)四十九頁\編于二點30得目前三十頁\總數(shù)四十九頁\編于二點31其中得目前三十一頁\總數(shù)四十九頁\編于二點32目前三十二頁\總數(shù)四十九頁\編于二點33于是證畢.

定理一.行列式等于它的任一行(列)的各元素與它們對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即行列式按行（列）展開法或

證明:把行列式D的第i行的每個元素按下面的方式拆成n個數(shù)的和,再根據(jù)性質(zhì)3,可將D

表示成n個行列式之和:目前三十三頁\總數(shù)四十九頁\編于二點34引理目前三十四頁\總數(shù)四十九頁\編于二點35證畢.同理,若按列證明,可得

推論.

行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即證明:

不妨設(shè)i＜j,考慮輔助行列式目前三十五頁\總數(shù)四十九頁\編于二點36←第i行←第j行其中第i行與第j行對應(yīng)元素相同,又將按第j行展開,有于是得目前三十六頁\總數(shù)四十九頁\編于二點37上述證法按列進行,同理可得證畢.小結(jié):關(guān)于代數(shù)余子式的性質(zhì)有:(1).(2).或簡寫成:目前三十七頁\總數(shù)四十九頁\編于二點38例1.利用定理一計算前面的例1解:D目前三十八頁\總數(shù)四十九頁\編于二點39目前三十九頁\總數(shù)四十九頁\編于二點40例2.計算0000解:按第一行展開,有目前四十頁\總數(shù)四十九頁\編于二點41目前四十一頁\總數(shù)四十九頁\編于二點42遞推公式目前四十二頁\總數(shù)四十九頁\編于二點43例3.證明范德蒙(Vandermonde)行列式說明:目前四十三頁\總數(shù)四十九頁\編于二點44下面我們來證明范德蒙(Vandermonde)行列式.證明:用數(shù)學(xué)歸納法.因為目前四十四頁\總數(shù)四十九頁\編于二點45目前四十五頁\總數(shù)四十九頁\編于二點46按歸納法假設(shè),有故目前四十六頁\總數(shù)四十九頁\編于