2022高考文科數(shù)學(xué)高考真題優(yōu)選重組（六）卷

備戰(zhàn)2022高考文科數(shù)學(xué)高考真題優(yōu)選重組（六）卷

一、選擇題：本題有12小題，每小題5分，共60分。

1.（2021年全國新高考I卷數(shù)學(xué)試題）設(shè)集合A={R_2c<4},8={2,3,4,5},則403=

（）

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

2.（2021年全國新高考H卷數(shù)學(xué)試題）復(fù)數(shù)存在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為

1-31

（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標Ill））設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)制，刈，…，xn

的方差為0.01,則數(shù)據(jù)10打，10x2,…，lOx”的方差為（）

A.0.01B.0.1C.1D.10

4.（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標川））Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一,

可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域.有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)/（r）（r

K

Zz

的單位：天）的Logistic模型：（）=—e-O.23（/-53），其中K為最大確診病例數(shù).當"）=0.95K

時，標志著已初步遏制疫情，則「約為（）（Inl9x3）

A.60B.63C.66D.69

5.（2019年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科））已知雙曲線￡-尸=］（”>0）的離心率是君則

W

a-

A.76B.4C.2D.y

6.（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標II））設(shè)/劃為奇函數(shù)，且當走0時，

7（x）=e，-l,則當x<0時，,"x）=

A.e*x-lB.e-*+l

C.-QX-\D.-e'x+l

7.（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標H））設(shè)a,4為兩個平面，則a〃夕的

充要條件是

A.a內(nèi)有無數(shù)條直線與夕平行

B.a內(nèi)有兩條相交直線與夕平行

C.a,夕平行于同一條直線

D.a,夕垂直于同一平面

8.(2018年全國3卷文)下列函數(shù)中，其圖像與函數(shù)y=lnx的圖像關(guān)于直線x=l對稱的是

A.y=ln(l-x)B.y=ln(2-x)C.y=ln(l+x)D.y=ln(2+x)

9.(2018年全國3卷文)函數(shù)y=-x4+d+2的圖像大致為

10.(2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試理數(shù)(全國卷11))若“6=85-5位在［-4,?|

是減函數(shù)，則a的最大值是

71471—3兀一

A.一B.—C.—D.4

424

11.(2016年全國1卷)已知函數(shù)/(x)=x2-2x+a(ei+eE)有唯一零點，則。=

A.—B.—C.-D.1

232

12.(2019年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷)設(shè)〃為wR,數(shù)列｛《,｝中，,

則

A.當=B.當b=；，4o>lO

C.當〃=-2嗎0〉10D.當力二-4,即)>10

二、填空題

13.（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標IID）已知向量9=（2,2）,5=（-8,6）,

則cos方）=.

14.（2021年全國新高考I卷數(shù)學(xué)試題）函數(shù)/（x）=|2x-l|-21nx的最小值為.

15.（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)f（x）=2cos?x+s）的部分圖像如圖

16.（2020年北京市高考數(shù)學(xué)試卷）為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)

加強污水治理，排放未達標的企業(yè)要限期整改，設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時間，的關(guān)系為

W=用一以?二3的大小評價在出,打這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強弱，己知

整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系如下圖所示.

給出下列四個結(jié)論：

①在1乩］這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強;

②在q時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強;

③在G時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都己達標；

④甲企業(yè)在［0,4,上由］,上2論］這三段時間中，在［0歷］的污水治理能力最強.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三.解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題,

每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

（一）必考題：共60分。

17.（2021年全國新高考I卷數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列｛“"｝滿足4=1,。向=卜"+：'"弋?’

〃“+2,〃為偶數(shù).

（1）記2=%,寫出自，b2,并求數(shù)列也｝的通項公式；

（2）求｛4｝的前20項和.

18.（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標H））某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)

得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積

相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣

本數(shù)據(jù)5,2,20）,其中於和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位:

202020

公頃）和這種野生動物的數(shù)量，并計算得2尤，=60，Z%=1200,2（%-元）2=80,

/=1r=li=l

2020

9）2=9000,Z（x,-君3-刃=800.

1=1/=1

（I）求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值（這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生

動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；

（2）求樣本（xi,yi）（i=1,2,20）的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料?，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地

區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由.

元）（,-,）

附：相關(guān)系數(shù)FIJ“，72-1.414.

f（4―工）藝（必一刃2

V/=1/=1

19.（2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文數(shù)（全國卷n））如圖，在三棱錐P-A5C中，

AB=BC=2應(yīng),PA=PB=PC=AC=4,。為AC的中點.

（1）證明：PO_L平面A3C；

（2）若點〃在棱BC上，且〃C=2M8,求點C到平面RW的距離.

20.（2017年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標3卷）已知函數(shù)

/（x）=Inx+ax2+（2a+l）x.

（1）討論/*）的單調(diào)性；

3

（2）當時,證明了（幻4-----2.

4。

22

21.（2021年全國新高考n卷數(shù)學(xué)試題）已知橢圓C的方程為V=+4V=1（。＞匕＞0），右焦

a~b~

點為尸（也,0）,且離心率為遠.

3

（1）求橢圓C的方程：

（2）設(shè)M,N是橢圓C上的兩點，直線MN與曲線x2+y2=/j2（x＞0）相切.證明：M,N,

尸三點共線的充要條件是I|=6.

（-）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的

第一題計分。

22.（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標IH））如圖，在極坐標系Or中，42,0）,

3（&令,C（近年），0（2,兀），弧AB，BC，C。所在圓的圓心分別是（L0），（1令,（L兀），

曲線Mi是弧AB，曲線是弧BC，曲線加3是弧CO.

（1）分別寫出M2,的極坐標方程;

（2）曲線M由M，M2＞知3構(gòu)成，若點P在“上，且|02|=石，求P的極坐標.

23.(2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(文科)(新課標HD)設(shè)x,y,zeR,且x+y+z=l.

(1)求(x-l)2+(y+l>+(z+l)2的最小值;

(2)若(x-2)2+(y-l)2+(z-a)22g成立，證明：a<-3^a>-\.

參考答案:

1.B

【解析】

【分析】

利用交集的定義可求ACI8.

【詳解】

由題設(shè)有AcB={2,3},

故選：B.

2.A

【解析】

【分析】

利用復(fù)數(shù)的除法可化簡*,從而可求對應(yīng)的點的位置.

1-31

【詳解】

2-i^=(2-i)(l+3i)=5+5i=l+i>所以該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為

l-3i10102122)

該點在第一象限，

故選：A.

3.C

【解析】

【分析】

根據(jù)新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)關(guān)系確定方差關(guān)系，即得結(jié)果.

【詳解】

因為數(shù)據(jù)叫+6，?=1，2,L,〃)的方差是數(shù)據(jù)x,,(i=l,2,L,〃)的方差的/倍,

所以所求數(shù)據(jù)方差為1。2、0.01=1

故選：C

【點睛】

本題考查方差，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

4.C

【解析】

【分析】

試卷第1頁，共14頁

將f"代入函數(shù)/(，)=]+e)3(國結(jié)合《")=095K求得f即可得解.

【詳解】

."(。=下與E，所以"'*)=…,(「㈤廣西反，則戶f=i9，

所以，0.23(f*—53)=lnl9=3,解得f*“上+53.66.

'70.23

故選：C.

【點睛】

本題考查對數(shù)的運算，考查指數(shù)與對數(shù)的互化，考查計算能力，屬于中等題.

5.D

【解析】

【分析】

本題根據(jù)根據(jù)雙曲線的離心率的定義，列關(guān)于〃的方程求解.

【詳解】

?.?雙曲線的離心率e=￡=石，C=J7+1，

a

a

解得，

故選D.

【點睛】

本題主要考查雙曲線的離心率的定義，雙曲線中a,4c的關(guān)系，方程的數(shù)學(xué)思想等知識，意

在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.

6.D

【解析】

【分析】

先把x<0,轉(zhuǎn)化為-x>0,代入可得/(-X),結(jié)合奇偶性可得/(x).

【詳解】

???/⑶是奇函數(shù)，xNO時，f(x)=e'-l.

當x<0時，-x>0,f(x)=-f(-x)=-e-'+\,得f(x)=-e-*+l.故選D.

【點睛】

試卷第2頁，共14頁

本題考查分段函數(shù)的奇偶性和解析式，滲透了數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).采取代換法，利用

轉(zhuǎn)化與化歸的思想解題.

7.B

【解析】

【分析】

本題考查了空間兩個平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面

面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷.

【詳解】

由面面平行的判定定理知：a內(nèi)兩條相交直線都與夕平行是?！Φ某浞謼l件，由面面平行

性質(zhì)定理知，若則白內(nèi)任意一條直線都與尸平行，所以。內(nèi)兩條相交直線都與夕平

行是a//月的必要條件，故選B.

【點睛】

面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住,憑主觀臆斷,

如：“若aua,bu/3,a"b,則a〃夕”此類的錯誤.

8.B

【解析】

【詳解】

分析：確定函數(shù)y=1nx過定點（1,0）關(guān)于x=l對稱點，代入選項驗證即可.

詳解：函數(shù)y=lnx過定點（1,0）,（1,0）關(guān)于x=l對稱的點還是（1,0）,只有y=ln（2-x）

過此點.

故選項B正確

點睛：本題主要考查函數(shù)的對稱性和函數(shù)的圖像，屬于中檔題.

9.D

【解析】

【詳解】

分析：根據(jù)函數(shù)圖象的特殊點，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由排除法可得結(jié)果.

詳解：函數(shù)過定點（0,2）,排除A8,

求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/（x）=-4V+2x=—2x（2/—1）,

試卷第3頁，共14頁

由尸(x)>0得2X(2AJ)<0,

得x<一"或此時函數(shù)單調(diào)遞增，排除C,故選D.

22

點睛：本題通過對多個圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.這類題型也是近年

高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多，但是并不是無路

可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊

點以及-8時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意的

選項一一排除.

10.A

【解析】

【詳解】

因為/(x)=cosx-sinx=^cos(x+—),

4

7TTT37r

所以由0+2lai<x+—<7i+2kn,(kwZ)得---F2kit<x<:—+2E,(kGZ)

444

因此學(xué)］...一4<。,-"2-?,“4歲從而。的最大值為：，故選：

444444

A.

11.C

【解析】

【分析】

【詳解】

因為/(x)=X2-2X+a(ex-'+e-x+1)=(x-l)2+“(e'」'+e-川)-1,設(shè)r=x_1,貝lj

〃x)=g(,)=/+”(d+e')一1，因為g?)=g(T),所以函數(shù)g(f)為偶函數(shù),若函數(shù)f(x)有

唯一零點，則函數(shù)g?)有唯一零點，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知，只有當，=0時，g?)=0才滿

足題意，即x=l是函數(shù)/(x)的唯一零點，所以2a—1=0,解得故選：C.

【點睛】

利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)的值或取值范圍的方法：

(1)利用零點存在性定理構(gòu)建不等式求解.

(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.

試卷第4頁，共14頁

（3）轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖像的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.

12.A

【解析】

若數(shù)列｛4｝為常數(shù)列，?10=?,=?）則只需使aM10,選項的結(jié)論就會不成立.將每個選項的

b的取值代入方程/-》+匕=0,看其是否有小于等于10的解?選項B、C、D均有小于10

的解，故選項B、C、D錯誤.而選項A對應(yīng)的方程沒有解，又根據(jù)不等式性質(zhì)，以及基本不

等式，可證得A選項正確.

【詳解】

若數(shù)列｛《,｝為常數(shù)列，則?！?4=4,由4+i=a；+b,

可設(shè)方程x?-x+b=0

2

選項A：h=5時，<2,1+1=a~+—,x—x+—=0,

A=l-2=-l<0,

故此時｛4｝不為常數(shù)列，

：="；+；=Y+吟￥2缶“，

口21、1

-22

.?.42（四）76240,則40>〃；216>10,

故選項A正確；

選項B：〃時，a"+i=a；+：,%2--r+-J=0>

444

則該方程的解為X=g,

即當時，數(shù)列｛%｝為常數(shù)列，

則《0=；<1°，故選項B錯誤；

2

選項C：0=-2時，all+i=a^-2,x-x-2=0

該方程的解為x=-1或2,

即當a=T或2時，數(shù)列｛4｝為常數(shù)列，%=T或2,

同樣不滿足4。>10,則選項C也錯誤;

試卷第5頁，共14頁

選項D：匕=~4時，?！?x2-x-4=0

該方程的解為8=生叵，

2

同理可知，此時的常數(shù)列｛4,,｝也不能使4。>10,

則選項D錯誤.

故選：A.

【點睛】

遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.利用函數(shù)方程思想，通過研究函數(shù)的不動點，進一步

討論。的可能取值，利用“排除法”求解.

13.-立■

10

【解析】

【分析】

根據(jù)向量夾角公式可求出結(jié)果.

【詳解】

-72x(—8)+2x66

cos<a,b>=pq-pr=]]

\a\MV22+22XJ(-8)2+6210,

【點睛】

本題考查了向量夾角的運算，牢記平面向量的夾角公式是破解問題的關(guān)鍵.

14.1

【解析】

【分析】

由解析式知f(x)定義域為(0,2),討論0<x42、X>1,并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)

22

性，即可求〃x)最小值.

【詳解】

由題設(shè)知：八幻=(2犬一1|-2111X定義域為(0,+0,

.?.當時，f(x)=l-2x-21nx,此時F3單調(diào)遞減；

12

當7<1小時，/(x)=2x-l-21nx,有:(幻=2--V0,此時/⑺單調(diào)遞減；

2x

2

當』>1時,/(x)=2x-l-21nx,有廣@)=2——>0,此時/(%)單調(diào)遞增;

x

試卷第6頁，共14頁

又/（X）在各分段的界點處連續(xù)，

，綜上有：0<x41時，/（X）單調(diào)遞減，x>l時，/（X）單調(diào)遞增；

A/?>/（1）=1

故答案為：1.

15.-石

【解析】

【分析】

首先確定函數(shù)的解析式，然后求解的值即可.

【詳解】

,3T13萬冗3冗干2乃c

由您忠口丁得：—T=----------=—，:?T=兀、①=—=2,

41234T

.?.137c.1_137r.13/._x

—Ix——]2日寸，G）X+e=2x——（p—2ZTT,cp———九wZ）,

令人=1可得：（p=~,

6

據(jù)此有:/（x）=2cos（2x-。,/'圖=2cos（2x/W）=2cos御=一代.

故答案為：-百.

【點睛】

已知_/U）=4cos（cux+夕）（A>0,。>0）的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難

的是求待定系數(shù)。和外常用如下兩種方法：

⑴由。=年即可求出g確定9時，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升（或下降）的“零點”

橫坐標X0,則令3切+0=0（或5。+夕=乃），即可求出0.

（2）代入點的坐標，利用一些己知點（最高點、最低點或"零點”）坐標代入解析式，再結(jié)合圖形

解出0和0，若對A,。的符號或?qū)?的范圍有要求，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.

16.①②③

【解析】

【分析】

根據(jù)定義逐一判斷，即可得到結(jié)果

【詳解】

試卷第7頁，共14頁

表示區(qū)間端點連線斜率的負數(shù)，

b-a

在這段時間內(nèi)，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反數(shù)比乙的大，因此甲企業(yè)的

污水治理能力比乙企業(yè)強；①正確；

甲企業(yè)在［04］,上山］，［4?。葸@三段時間中，甲企業(yè)在,必］這段時間內(nèi)，甲的斜率最小，其

相反數(shù)最大，即在［乙冉］的污水治理能力最強.④錯誤；

在L時刻，甲切線的斜率比乙的小，所以甲切線的斜率的相反數(shù)比乙的大，甲企業(yè)的污水治

理能力比乙企業(yè)強；②正確；

在73時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水打標排放量以下，所以都已達標；③正確；

故答案為：①②③

【點睛】

本題考查斜率應(yīng)用、切線斜率應(yīng)用、函數(shù)圖象應(yīng)用，考查基本分析識別能力，屬中檔題.

17.(1)4=2,4=5；(2)300.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得以,=2+3,從而可求｛〃,｝的通項.

(2)根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得｛??)的前20項和為之可化為

5JO=+b2-\--i-b9+i>l0)—10,利用(1)的結(jié)果可求$2().

【詳解】

(1)由題設(shè)可得4=〃2=4+1=2,4=。4=〃3+1=〃2+2+1=5

又如+2=4+1+1，。2川=〃2A+2，(keN*)

故4&+2=4&+3,即心產(chǎn)a+3,即〃+1一2=3

所以也｝為等差數(shù)列，故2=2+(〃—l)x3=3〃—l.

(2)設(shè)｛〃〃｝的前20項和為S20，則§20=4+〃2+〃3+…+。20，

-1

因為4=a2-］,a3=a4-l,---,^I9=?2o，

試卷第8頁，共14頁

所以Sjo=2(出+%4---F/+)—10

(9x10、

=2(/?,+/?2+---+/?9+/j10)-10=2xl0x2+-y-x31-10=300.

【點睛】

方法點睛：對于數(shù)列的交叉遞推關(guān)系，我們一般利用已知的關(guān)系得到奇數(shù)項的遞推關(guān)系或偶

數(shù)項的遞推關(guān)系，再結(jié)合已知數(shù)列的通項公式、求和公式等來求解問題.

18.(1)12000；(2)0.94；(3)詳見解析

【解析】

【分析】

(1)利用野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)野生動物平均數(shù)乘以地塊數(shù)，代入數(shù)據(jù)即可；

20__

(2)利用公式，=20計算即可;

Vz=l1=1

(3)各地塊間植物覆蓋面積差異較大，為提高樣本數(shù)據(jù)的代表性，應(yīng)采用分層抽樣.

【詳解】

1201

(1)樣區(qū)野生動物平均數(shù)為6=1200=60,

2Ur_|Zu

地塊數(shù)為200,該地區(qū)這種野生動物的估計值為200x60=12000

(2)樣本(x”y)(i=l,2,20)的相關(guān)系數(shù)為

20

,80°-逑，0.94

，=1

llo20-

之（士-天茂（y-蘇780x90003

f=l1=1

(3)由(2)知各樣區(qū)的這種野生動物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強的正相關(guān)性，

由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動物的數(shù)量差異很大，

采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高了樣本的代表性，

從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計.

【點晴】

本題主要考查平均數(shù)的估計值、相關(guān)系數(shù)的計算以及抽樣方法的選取，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運算能

力，是一道容易題.

19.(1)詳見解析(2)延.

5

試卷第9頁，共14頁

【解析】

【詳解】

分析：（1）連接0B,欲證POL平面A8C,只需證明尸0,4（7,尸0,08即可；（2）過點C

作垂足為M,只需論證CH的長即為所求，再利用平面幾何知識求解即可.

詳解：（1）因為AP=CP=AC=4,。為AC的中點，所以0PL4C,且0P=26.

連結(jié)0B.因為A8=8C=，^AC,所以△A8C為等腰直角三角形，K0B1AC,0B=^-AC=2.

22

由0尸+082=依2知，0P10B.

由OPLOB,。2_1_月（:知POJ■平面ABC.

（2）作C7/L0M,垂足為H.又由（1）可得OPJ_C”，所以平面POM.

故CH的長為點C到平面POM的距離.

由題設(shè)可知。C='AC=2,NACB=45。.

233

所以CM-2亞CH-"MCsinN4cB_46

3OM5

所以點C到平面POM的距離為地.

5

點睛：立體幾何解答題在高考中難度低于解析幾何，屬于易得分題，第一問多以線面的證明

為主，解題的核心是能將問題轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系的證明；本題第二問可以通過作出點到平面的

距離線段求解，也可利用等體積法解決.

20.（I）見解析；（2）見解析.

【解析】

【分析】

（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)/（為=①皿土2。＞0）,再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號的變化情況討論單調(diào)性:

試卷第10頁，共14頁

當心0時，/'?>0,則〃X)在(0,e)單調(diào)遞增；當"0時，/(X)在(0,-1)單調(diào)遞增，

2a

在(-h,+°°)單調(diào)遞減.

2a

331

(2)證明-2,即證/⑴皿W-弓一2,而/(幻皿=/(一二)，所以需證

4。4。2a

ln(--^)+-!-+l<0,設(shè)g(x)=lnx—一1,利用導(dǎo)數(shù)易得g(x)m、=g⑴=°，即得證.

2。2a

【詳解】

(1)/(x)的定義域為(0,+8),/*)」+2ox+2〃+]=(2)(2取+1).

XX

若。K),則當造(0,+8)時，/(x)>o,故f(x)在(0,+8)單調(diào)遞增.

若。<0,貝IJ當工￡(0，-11時，./(幻>。時；當天￡(一二,+8)時，/(x)<0.

12。J2a

故/(外在/(x)>0單調(diào)遞增，在(-1，+功單調(diào)遞減.

2a

(2)由(1)知，當。<0時,/(_?)在犬=-二取得最大值，最大值為f(~~)=1-」-.

2a2a2a4a

311311

所以--2等價于In(一丁)一1一丁4-^--2,Bpln(--)+—+l<0.

4a2a4a4a2a2a

1

設(shè)g(x)=lnx-x+l,則g(x)=——L

x

當xG(0,1)時，g'(x)>0；當xG(1,+8)0寸，g'(x)<0.所以g(x)在(0,1)單調(diào)遞

增，在(I,+8)單調(diào)遞減.故當戶1時，g(X)取得最大值，最大值為g(1)=0.所以當X

113

>0時，gCOW0.從而當a<0時，ln(-一)+—+1<0,即--2.

2a2a4a

【點睛】

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見類型及解題策略：(1)構(gòu)造差函數(shù)"x)=/(x)-g(x).根據(jù)差函數(shù)

導(dǎo)函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進而證明不等式.

(2)根據(jù)條件，尋找目標函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項之間大小關(guān)系，

或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).

21.(1)—+/=1；(2)證明見解析.

3

【解析】

【分析】

(1)由離心率公式可得a=6,進而可得即可得解；

(2)必要性：由三點共線及直線與圓相切可得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可證

試卷第11頁，共14頁

\MN\=y/3；

充分性：設(shè)直線MN:y=履+"（妨＜0）,由直線與圓相切得〃=公+],聯(lián)立直線與橢圓方

程結(jié)合弦長公式可得Ji*.立耳=百，進而可得九=±1,即可得解.

【詳解】

（1）由題意，橢圓半焦距。=0且6=￡=逅，所以4=色,

a3

^b2=a2-c2=l,所以橢圓方程為1+9=1；

（2）由（1）得，曲線為丁+丫2=[（》＞0）,

當直線MN的斜率不存在時，直線MN:x=l,不合題意;

當直線MN的斜率存在時，設(shè)〃（3,乂）,"（々,％），

必要性:

若M,N,F三點共線，可設(shè)直線MN:y=A;（x-0）即丘-y-瘋=0,

由直線與曲線/+丫2=心＞0）相切可得J^L=i，解得&=±1,

?=±卜-&）3后

3

聯(lián)立2,可得442-60X+3=O，所以為+工2=----，%

—x+V2=1-24

3-

所以=J1+1-J（X1+胃）2-4X1=y/i,

所以必要性成立;

充分性：設(shè)直線MV:y=fcr+6,（如〈0）即"_y+/?=0,

由直線與曲線V+y2=l（x＞0）相切可得/匚=1,所以匕2=/+],

慶+1

y=kx+b

聯(lián)立,*2,可得（1+3公卜2+6妨X+362-3=0,

,T+>

6kb3b2-3

所以X]+々=-1+3公'*f-1+3公

3"-3

所以|MN|=y/1+k2-+x,）2-4x,-x=&+k?-4

2J義J1+3公

試卷第12頁，共14頁

化簡得3儼一1)2=0,所以&=±1,

k=1k=—\

所以或人收所以直線MN:y=x->/2或y=-x+&,

b=-y/2

所以直線過點F(VI,O),M,N,尸三點共線，充分性成立；

所以M,N,尸三點共線的充要條件是|MN|=石.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：

解決本題的關(guān)鍵是直線方程與橢圓方程聯(lián)立及韋達定理的應(yīng)用，注意運算的準確性是解題的

重中之重.

22.(1)p-2cos0(^e[0