立體幾何距離問題知識點與題型分類

⊥BDOAOeq\o\ac(△,Q)ABCAOBCABC⊥B平面OD，中⊥BDOAOeq\o\ac(△,Q)ABCAOBCABC⊥B平面OD，中，，平面．1.到平面的離(1)定義

平面外點引一個平的垂線這個點和垂間的距叫做這個點這個平的距離.(2)常用方法1）定義法①找到(或作出)表示距離的線段；②抓住線段(所求距離)所在三角形解之.2)利用兩平面互相垂直的性質.即如果已知點在已知平面的垂面上，則已知點到兩平面交線的距離就是所求的點面距離.3)體積法4)轉化法5）向量法

將點到平面的距離轉化為平行)直線與平面的距離來求.建立三維直角坐標系求點到平面的距離就是求點到平面的垂線段的長度，其關鍵在于確定點在平面內的垂足，例1

如圖，正三棱柱

ABCBC

的所有棱長都為，為

中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅲ）求到平面BD的距離．

解法一）BC中點，連結．為正三角形，．

D

正三棱柱

ABCABC

中，平面平面

，

AO

．

連結，在正方形

C

中，分別為

F，

的中點，

O⊥⊥BD

．

O

D在正方形

ABBA⊥BAB⊥（Ⅲ）

BD

中BD

AD

eq\o\ac(△,)

6，

△BCD

．在正三棱柱中，到平面

的距離為

．設C平面A的距離為．

△OAOBCAO⊥⊥平面rrr，，，，ABDV△OAOBCAO⊥⊥平面rrr，，，，ABD

，得S3S

△BD

gd，d

△BCDBD

．到平面BD距離為．解法二）取中點，連結．eq\o\ac(△,Q)eq\o\ac(△,)ABC

為正三角形，

．Q

在正三棱柱

ABCAC

中，平面平面

，⊥BCCB

．取

C

中點

為原點OBOOOA方向為，，z的正方向建立空間直角坐標系

B

，D(，A，3)rrBA．1rgBD

，

z

FrABBDAB

．

O

D

y

⊥

平面．

2.線和平面距離(1)定義

一條直和一個平面行，這直線上任意點到平的距離，叫這條直和平面的距離例．如圖，在棱長為正方體AC中，G是的中點，求BD到平GB的距離.111思路啟把線面距離轉化為點面距離，再用點到平面距離的方法求解解析一∥平GB，1任意一點到平GB的距離皆為所求，以下求點OGB的距離,11DDAA，BD平面A,111又BD平GBD平面AD，兩個平面的交線O,11

G

HD

O

1DGBBOHOGH，則D，即OH是O到平GB的距離111DGBB中

OG

1.又

162,OH.23即BD平GBD的距離等于11解析二∥平GB1

6

.任意一點到平GB的距離皆為所求，以下求點BGB的距離.1設點B平D的距離為將它視為三棱BD的高，則11V

BD

DGBB

由

GBD

11，V,323h

46

23

即BD平GBD的距離等于11

6

.3.行平面的離(1)定義與兩個平行平面同時垂直的直線，叫做這兩個平行平面的公垂.公垂線夾在兩個平行平面間的部分，叫做這兩個平行平面的垂線段兩個平行平面的公垂線段的長度叫做這兩個平行平面的距離.4.面直線的離(1)定義與兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度，叫做兩條異面直線的距離任何兩條確定的異面直線都存在唯一的垂線段例知三棱，底面是邊長42正三角形，的長為2且垂直于底面E、D別為BCAB的中點，求CD與間的距離解答過如圖所示，取BD的中點F連結EF，SFCF，EF為的中位線，EFCD∥面,CD到平SEF的距離即為兩異面直線間的距離.又線面之間的距離可轉化為CD上一點C到平SEF

2122a2222的距離，設其為h由題意知2D、E、F分別是AB、BC、BD的中點，2122a2222CD26,2,

SCEF

112在Rt中SESC

2

CE

2

3在RtSCF中SF又EF6,

2

2

4由V

CEF

233即，解得h3故CD與SE的距離為綜練點平的離

3

.1、圖，已知ABCD是矩形，ABa,ADb,⊥平面ABCD，=2cQ是的中點求(1)QBD的距離；P到平面的距離解(1)在矩形中，作AE⊥BD，E為垂足連結QE，∵QA⊥平面ABCD，由三垂線定理得QE⊥∴QE的長為Q到的距離在矩形ABCD中，AB=a,AD=,

ab∴AE=a在RtQAE中，QA==c2∴QE=caab2∴Q到BD距離為a

QHE

C

D(2)解法一∵平面BQD經(jīng)過線段的中點，∴P到平面BQD的距離等于A到平面BQD的距離在△AQE中，作⊥，H為垂足∵BD⊥AEBD⊥,∴⊥平面AQE∴BDAH∴AH⊥平面BQE，即為A到平面BQD的距離

222)b—V11△221DGBB在RtAQE中，∵=,AE=222)b—V11△221DGBB

aba

2∴AH=

abc()c∴P到平面BD的距離為

abc(

222解法二

設點A到平面QBD的距離為，由V

A

Q—

,得S△·h=S·AQ33h

=

S

SBQD

(a

2

abc)c

2

2線平的離2如圖，在棱長為2的正方AC中，G是的中點，求BD到平GBD的距離.1111解析一∥平GB，1任意一點到平GB的距離皆為所求，以下求1點O平D的距離,11

HDDAA，BD平面A,111

G

D

又BD平GBD平面AD，兩個平面的交線O,11

O

OHOGH，則D，即OH是O到平GB的距離11中

OG

1.又

162,OH.23即BD平GBD的距離等于11解析二∥平GB，1

6

.任意一點到平GB的距離皆為所求，以下求點BGB的距離.1設點B平D的距離為將它視為三棱BD的高，則11V

BD

DGBB

由

GBD

11，V,323

1111111111DO2△111111111111111131111h1111111111DO2△111111111111111131111

46

23

即BD到平D的距離等于11異直的離

6

.3、已知正四棱柱ABCD—ABCD，點E在棱DD上，截面EAC∥DB且面EAC與底面ABCD所成的角為45°,AB=,求(1)截面EAC面積；(2)異面直線AB與AC之間的距離；(3)三棱錐—EAC的體積解(1)連DB交AC于O，連結EO，

A

1

DE

B

1

C

1∵底面ABCD是正方形∴DO⊥AC，又⊥面∴EO⊥AC，即∠EOD=45°又DO=a，AC=2a，EO=a，∴S=acos452

DAB

C(2)∵A⊥底面ABCD，∴A⊥AC，又⊥AB∴AA是異面直線AB與AC間的公垂線又EO∥BD，O為BD中點，∴B=2=2∴DD=2a，∴AB與AC距離為a(3)連結BD交DB于P，交EO于Q，推證出D⊥面∴BQ是三棱錐B—EAC的高，得Q=a2V

B

32a24

兩異直間距4．如圖，在空間四邊形ABCD中，ABBC==DA=AC=BD=，E、分別是AB、CD的中點.(1)求證：是AB和的公垂線；(2)求AB和CD間的距離；【規(guī)范解答】

(1)證明：連結AF，BF，由已知可得AF=BF.又因為AE=，所以FE⊥交AB于E.同理EF⊥DC交DC于點F.所以EF是AB和CD的垂線.(2)在RtBEF中，=,BE=a2所以EF2BF2-BE2=a2，即=22

,

.

例1題圖由(知EF是AB、CD公垂線段，所以AB和CD間的距離為

22332233

如圖,正四面體ABCD的棱長為，求異面直線AB、CD之間的距離.解：設AB中點為E，CEED.∵AC=BC,AE=.∴CD⊥AB.同理DE⊥.∴AB⊥平面CED.設CD的中點為F,連EF，則⊥EF.同理可證CD⊥EF∴EF是異面直線、CD的距離.∵CE,∴CF=FD,∠EFC=90°,EF.∴AB、CD的距離是

32

.【解后歸納】求條異面直線間的距離的基本方法：（1）利用圖形性質找出兩條異直線的公垂線，求出公垂線段的長.（2）如果兩條異面直線中的一直線與過另一條直線的平面平行，可以轉化為求直線與平面的距（3）如果兩條異面直線分別在個互相平行的平面內，可以轉化為求兩平行平面的距.點到平的距離

：6.如圖1),正四面ABCD的棱長為1，求：A到平面BCD的距離；解答：過作AO⊥平BCD于O，連BO并延長CD相交于E，連AE∵AB=AC=AD∴OB=OC=OD∴O是△BCD的外心又BD＝BC＝CD，∴O是△BCD的中心，∴BOBE3323

.又AB＝1，且∠AOB,∴AO=

.∴A到平面BCD的距離是.7．三棱柱ABCAC的底面邊長為8，對角線BCD是AC的中點。1（1）求點到直線AC的距離.（2）求直線AB到平CBD的距離．11解）連結BDD由三垂線定理可得：AC1所以B就B點到直線AC的距離。在Rt中BB11

2

2

2

2

6,4．DBB．（2）因為AC與平面BDC交于ＡＣ的中點Ｄ，BAB，所AB平C111

，

A

D

B

C所以到平面BD的距離等于Ａ點到平面BDC11的距離，等于Ｃ點到平BDC的距離，也就等于三棱CBDC的高，V，C1SCC，1

，即直線AB到平面BDC的距離是．【解后歸納】求空間距離注意三點：1．常規(guī)遵循一作二證三計算的步驟；2．多用轉化的思想求線面和面面距離；3．體積法是一種很好的求空間距離的方法．

8.1111111111111111111ADC11111111如圖，在長方體AC中，AD=AA=1，，點E在棱AB移動（1）證明：DE⊥A；8.1111111111111111111ADC11111111（2E為AB的中點時，求到ACD的距離；（3）AE等于何值時，二面DECD的大小為.解析：

1

D

D

1

CC（1）∵AE⊥面AADD，AD⊥AD，∴AD⊥E

（2）設點E到面ACD的距離為h，在△ACD中，AC=CD=5，AD=2，故S

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