《線性代數(shù)B》模擬試卷五參考答案

1解：因?yàn)閞r1解：因?yàn)閞r3321055001．，

(1,1,1)T

，則

T

T

=1；解T

1(1,1,1)12．

(1,1,1,T

(T

，則向

的夾角為

；解：因?yàn)?/p>

2)

T

(1,2,1,1)

(0,3,2,

T

，

(1,1,1,2)

1,2,1,T

(2,T

，,]0(1)20(3)1)

，所以

與

正交，即

與

的夾角為

（或

）03．設(shè)向量組A:,,41235

，則的一個(gè)最大線性無關(guān)組為,；12121210,,24222011，13r5所以R()2，從而的一個(gè)最大線性無關(guān)組為,（或，或）121234．已知3階方陣有特征值-1，，2，則

2

A

=。解：因?yàn)閒(A

A2A

，則

f()x

2x，因?yàn)殡A方陣A有特征值-1，1，2所以

(1，(1)2

3，

f(2)

2

28從而

A

f(ff5．設(shè)4元非齊次線性方程組Axb的系數(shù)矩陣的秩為3,且它的三個(gè)解向量

1

2

3滿足

(1,1,1,1)，(1,2,1,1)T

,則b

的通解為：；

解：因?yàn)镽()3，所以的基礎(chǔ)解系含向量的個(gè)數(shù)為4R(，又

b

的三個(gè)解向量1

2

，3

TTT所以TTT

)23

T

是Ax0的一個(gè)非零解，從而可作為其基礎(chǔ)解系。故Axb

的通解為：

cc(1,0,1,1)

(1,1,1,1)TR）6．設(shè)(1,,,,,xR則Vnn

不是（是/不是）向量空間。解：因?yàn)閷?duì)(1,,,x)2

，(1,yy2n

，則(1,,,x),y)y,xy)，2nn2n所以不是向量空間。二、選擇題（每小題4分，共24分）1．行列式

12

12

b1b2

d1d2

（D）（A）abdacd21

（B）

(bab)(cdcd)2112211（C）abd2211

（D）(babdcd)1211221解：

12

12

12

12

按展1

112

2

c11b0120c22

12

cc

dd

()2

cc

dd

(bb)(d)，故選（）12221x

0

12．設(shè)f)

xx13

2x

31

，則

fx)

中

的系數(shù)為C。01

3

x(A)-1；(B)1；(C)-3；(D)3。解：將f()

21xxx1301

02x3

131x

的各行各列化為只有一項(xiàng)含，再將這些含的項(xiàng)移到主對(duì)角線上即可求出

f中x的系數(shù)；2x

0

1x121fx)

xx1301

2x3

3rr241rrx11x3x

，所以

f

中

的系數(shù)3，（C）

3trr33trr3(A)

()2

2ABB

；(B)

()B1

A

；(C)

(AB)T

BT

；(D)

A|

。提示：利用矩陣的運(yùn)算規(guī)律，選（B）4．設(shè)

,,,2

m

是

n

維向量組，下列命題中正確的是（C（A）零向量不能,,,線性表示；m（B）不能,,m1

m1

線性表示，則

,

線性無關(guān)；（C）如

,,,線性相關(guān)不能,,2m

m1

線性表示，線性相關(guān)；,,2m1（D）,中，任意m1個(gè)向量都線性無關(guān)，則m

,

線性無關(guān)。提示：利用向量組線性相關(guān)性的定義及判定，選（）

246

5．已3，

為3階非零矩陣，且0

，則下列敘述正確的是A。(A)

9

時(shí)，的秩必為1；

(B)

9

時(shí)，的秩必為2；(C)時(shí)P

的秩必為2；

(D)

時(shí)，

的秩必為1。r2612解：因3200，r3t00r23所以，當(dāng)

9

時(shí)，R(Q)；當(dāng)

9

時(shí)，R()1又

為3階非零矩陣，所以RP)又PQ

，則R()R()3，因此t9時(shí)(P)1當(dāng)時(shí)()2選（A）6．設(shè)非齊次線性方程組

的未知量個(gè)數(shù)為

n

，方程個(gè)數(shù)為

，則在條件C

成立時(shí)，Ax

一定有解。(A)矩陣A列向量組線性無關(guān)；(B)矩陣A的列向量組線性相關(guān)；(C)矩陣A行向量組線性無關(guān)；(D)矩陣A的行向量組線性相關(guān)。提示Axb

一定有RA)(A)An矩陣以()時(shí)RAb)m，此時(shí)R()()m。所以當(dāng)矩陣

A

的行向量組線性無關(guān)時(shí)，b

一定有解。選（C）

0100101001010100三、計(jì)算行列式D

11111111y

分）1x

1

解：D

y1

rr021rr031rr4

y

...........(3分)x

0

1x

1

1xx

00

x0

xx

y0

0x

41x

1

1

1xy02xy0（6分）1

01

01xyxyxy)

7x

2

y

2

............（注：本題有多種解法，只要行列式性質(zhì)使用正確，并且結(jié)果正確即可給滿分；101四、設(shè)A1B00

，且AXBAX，求未知矩陣分）解：因?yàn)锳XBAXB，所以111

(BE101

……………1分因?yàn)?/p>

01

11，E

010，0

1則AB均可逆，所以

1

()

1

……………3分因?yàn)?/p>

11100101rr(E001001rr0110001rr1310101011r(B,E)0100000

011(E)01010010011100011(E)01010010011100000102000002223212002000000011xc01x33203300

11

1

所以

……………5分故X

1

(E)

1

100

2

10

2

02022

……………8分注：此題如有其它解法，只要計(jì)算過程及結(jié)果正確，均可給滿分。五、問

取何值時(shí)，非齊次線性方程組

xx3(2)x3x33x(x23（1）有惟一解？（2）無解？（3）有無窮多解？并求出通解分）11111r2r231(r3r0201

1)D00D00

eq\o\ac(○,1)0

1112r(,b)2231r2rr

(A)

時(shí)原

xx23

2

c

x2

c

eq\o\ac(○,2)1

11111r(,b33111r3r

320001132000113212002000000011xc01x3320330003

()2,(A)

0

112r(,b3301r3

1112r(,b)2231r2rr

(A)

時(shí)原方程組

xx23

2

c

x2

c

1

11111r(,b33111r3r

()2,(A)

0

六、已知二次型

f(xx)x23

2

3

x，記)T212

（1）寫出該二次型的矩陣A；（2）求一個(gè)正交矩陣Q，使得AQ為對(duì)角陣；（3）寫出該二次型在正交變換xQy下的標(biāo)準(zhǔn)型，其中

y,y,y3

；（4）該二次型是否為正定二次型，只需回答是或者不是分）

12

解）該二次型的矩陣A212（2）因?yàn)锳02

023

(1)(3)))

r2r2001(1)rrr22000rr2rrr2r2001(1)rrr22000rr2rrr(000215

5)(2)(5)(令E得特征值為；1，1r2110因?yàn)锳E201，22時(shí)，2

1

；r2221010因?yàn)锳E2101，13時(shí)，3

2

1；(2)401210因?yàn)锳5E20211，r

2；

q11

2