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文檔簡(jiǎn)介
1解:因?yàn)閞r1解:因?yàn)閞r3321055001.,
(1,1,1)T
,則
T
T
=1;解T
1(1,1,1)12.
(1,1,1,T
(T
,則向
的夾角為
;解:因?yàn)?/p>
2)
T
(1,2,1,1)
(0,3,2,
T
,
(1,1,1,2)
1,2,1,T
(2,T
,,]0(1)20(3)1)
,所以
與
正交,即
與
的夾角為
(或
)03.設(shè)向量組A:,,41235
,則的一個(gè)最大線性無關(guān)組為,;12121210,,24222011,13r5所以R()2,從而的一個(gè)最大線性無關(guān)組為,(或,或)121234.已知3階方陣有特征值-1,,2,則
2
A
=。解:因?yàn)閒(A
A2A
,則
f()x
2x,因?yàn)殡A方陣A有特征值-1,1,2所以
(1,(1)2
3,
f(2)
2
28從而
A
f(ff5.設(shè)4元非齊次線性方程組Axb的系數(shù)矩陣的秩為3,且它的三個(gè)解向量
1
2
3滿足
(1,1,1,1),(1,2,1,1)T
,則b
的通解為:;
解:因?yàn)镽()3,所以的基礎(chǔ)解系含向量的個(gè)數(shù)為4R(,又
b
的三個(gè)解向量1
2
,3
TTT所以TTT
)23
T
是Ax0的一個(gè)非零解,從而可作為其基礎(chǔ)解系。故Axb
的通解為:
cc(1,0,1,1)
(1,1,1,1)TR)6.設(shè)(1,,,,,xR則Vnn
不是(是/不是)向量空間。解:因?yàn)閷?duì)(1,,,x)2
,(1,yy2n
,則(1,,,x),y)y,xy),2nn2n所以不是向量空間。二、選擇題(每小題4分,共24分)1.行列式
12
12
b1b2
d1d2
(D)(A)abdacd21
(B)
(bab)(cdcd)2112211(C)abd2211
(D)(babdcd)1211221解:
12
12
12
12
按展1
112
2
c11b0120c22
12
cc
dd
()2
cc
dd
(bb)(d),故選()12221x
0
12.設(shè)f)
xx13
2x
31
,則
fx)
中
的系數(shù)為C。01
3
x(A)-1;(B)1;(C)-3;(D)3。解:將f()
21xxx1301
02x3
131x
的各行各列化為只有一項(xiàng)含,再將這些含的項(xiàng)移到主對(duì)角線上即可求出
f中x的系數(shù);2x
0
1x121fx)
xx1301
2x3
3rr241rrx11x3x
,所以
f
中
的系數(shù)3,(C)
3trr33trr3(A)
()2
2ABB
;(B)
()B1
A
;(C)
(AB)T
BT
;(D)
A|
。提示:利用矩陣的運(yùn)算規(guī)律,選(B)4.設(shè)
,,,2
m
是
n
維向量組,下列命題中正確的是(C(A)零向量不能,,,線性表示;m(B)不能,,m1
m1
線性表示,則
,
線性無關(guān);(C)如
,,,線性相關(guān)不能,,2m
m1
線性表示,線性相關(guān);,,2m1(D),中,任意m1個(gè)向量都線性無關(guān),則m
,
線性無關(guān)。提示:利用向量組線性相關(guān)性的定義及判定,選()
246
5.已3,
為3階非零矩陣,且0
,則下列敘述正確的是A。(A)
9
時(shí),的秩必為1;
(B)
9
時(shí),的秩必為2;(C)時(shí)P
的秩必為2;
(D)
時(shí),
的秩必為1。r2612解:因3200,r3t00r23所以,當(dāng)
9
時(shí),R(Q);當(dāng)
9
時(shí),R()1又
為3階非零矩陣,所以RP)又PQ
,則R()R()3,因此t9時(shí)(P)1當(dāng)時(shí)()2選(A)6.設(shè)非齊次線性方程組
的未知量個(gè)數(shù)為
n
,方程個(gè)數(shù)為
,則在條件C
成立時(shí),Ax
一定有解。(A)矩陣A列向量組線性無關(guān);(B)矩陣A的列向量組線性相關(guān);(C)矩陣A行向量組線性無關(guān);(D)矩陣A的行向量組線性相關(guān)。提示Axb
一定有RA)(A)An矩陣以()時(shí)RAb)m,此時(shí)R()()m。所以當(dāng)矩陣
A
的行向量組線性無關(guān)時(shí),b
一定有解。選(C)
0100101001010100三、計(jì)算行列式D
11111111y
分)1x
1
解:D
y1
rr021rr031rr4
y
...........(3分)x
0
1x
1
1xx
00
x0
xx
y0
0x
41x
1
1
1xy02xy0(6分)1
01
01xyxyxy)
7x
2
y
2
............(注:本題有多種解法,只要行列式性質(zhì)使用正確,并且結(jié)果正確即可給滿分;101四、設(shè)A1B00
,且AXBAX,求未知矩陣分)解:因?yàn)锳XBAXB,所以111
(BE101
……………1分因?yàn)?/p>
01
11,E
010,0
1則AB均可逆,所以
1
()
1
……………3分因?yàn)?/p>
11100101rr(E001001rr0110001rr1310101011r(B,E)0100000
011(E)01010010011100011(E)01010010011100000102000002223212002000000011xc01x33203300
11
1
所以
……………5分故X
1
(E)
1
100
2
10
2
02022
……………8分注:此題如有其它解法,只要計(jì)算過程及結(jié)果正確,均可給滿分。五、問
取何值時(shí),非齊次線性方程組
xx3(2)x3x33x(x23(1)有惟一解?(2)無解?(3)有無窮多解?并求出通解分)11111r2r231(r3r0201
1)D00D00
eq\o\ac(○,1)0
1112r(,b)2231r2rr
(A)
時(shí)原
xx23
2
c
x2
c
eq\o\ac(○,2)1
11111r(,b33111r3r
320001132000113212002000000011xc01x3320330003
()2,(A)
0
112r(,b3301r3
1112r(,b)2231r2rr
(A)
時(shí)原方程組
xx23
2
c
x2
c
1
11111r(,b33111r3r
()2,(A)
0
六、已知二次型
f(xx)x23
2
3
x,記)T212
(1)寫出該二次型的矩陣A;(2)求一個(gè)正交矩陣Q,使得AQ為對(duì)角陣;(3)寫出該二次型在正交變換xQy下的標(biāo)準(zhǔn)型,其中
y,y,y3
;(4)該二次型是否為正定二次型,只需回答是或者不是分)
12
解)該二次型的矩陣A212(2)因?yàn)锳02
023
(1)(3)))
r2r2001(1)rrr22000rr2rrr2r2001(1)rrr22000rr2rrr(000215
5)(2)(5)(令E得特征值為;1,1r2110因?yàn)锳E201,22時(shí),2
1
;r2221010因?yàn)锳E2101,13時(shí),3
2
1;(2)401210因?yàn)锳5E20211,r
2;
q11
2
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