高宏巖生現(xiàn)代控制理論第章

第3章線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性現(xiàn)代控制理論主講：高宏巖

本章結(jié)構(gòu)3.1能控性的定義3.2線性定常系統(tǒng)的能控性判別3.3線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性3.4離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性與能觀性3.5時(shí)變系統(tǒng)的能控性與能觀性3.6能控性與能觀性的對(duì)偶關(guān)系3.7狀態(tài)空間表達(dá)式的能控標(biāo)準(zhǔn)型與能觀標(biāo)準(zhǔn)型3.8線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解3.9傳遞函數(shù)陣的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題3.10傳遞函數(shù)中零極點(diǎn)對(duì)消與狀態(tài)能控性和能觀性的關(guān)系第3章線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.1能控性的定義1提出

狀態(tài)方程反映了控制輸入對(duì)狀態(tài)的影響；輸出方程反映系統(tǒng)輸出對(duì)控制輸入和狀態(tài)的依賴能控性揭示系統(tǒng)輸入對(duì)狀態(tài)的制約能力；能觀性反映從外部對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部的觀測(cè)能力；能控性和能觀性的概念是卡爾曼在1960年提出，成為現(xiàn)代控制理論中最重要的概念，是最優(yōu)控制設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。狀態(tài)空間模型建立了輸入、狀態(tài)、輸出之間的關(guān)系2定義

若系統(tǒng)(A(t)，B(t))對(duì)初始時(shí)刻t0，存在另一時(shí)刻tf（tf>t0），對(duì)t0時(shí)刻的初始狀態(tài)x(t0)=x0，可以找到一個(gè)允許控制u(t)，能在有限時(shí)間t0?tf

內(nèi)把系統(tǒng)從初態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移至任意指定的終態(tài)x(tf)，那么就稱系統(tǒng)在t0時(shí)刻的狀態(tài)x(t0)是能控的。若在t0時(shí)刻的狀態(tài)空間中的所有狀態(tài)都能控,則稱系統(tǒng)在t0時(shí)刻狀態(tài)完全能控;簡(jiǎn)稱為系統(tǒng)能控。若系統(tǒng)存在某一個(gè)狀態(tài)x(t0)不滿足上述條件，則此系統(tǒng)稱為不完全能控系統(tǒng)。時(shí)間段內(nèi)存在控制輸入u例題：若R1=R2，C1=C2。選兩個(gè)電容的電壓為狀態(tài)變量，且設(shè)兩個(gè)電容上的初始電壓相等，根據(jù)電路理論，則兩個(gè)狀態(tài)分量恒相等。不論電源電壓如何變動(dòng)，都不能使系統(tǒng)的狀態(tài)變量分別轉(zhuǎn)移到不同的目標(biāo)值,顯然，它是不完全能控的。該電橋系統(tǒng)中，電源電壓u(t)為輸入變量，并選擇兩電容器兩端的電壓為狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)。試分析電源電壓u(t)對(duì)兩個(gè)狀態(tài)變量的控制能力。例題：

某電橋系統(tǒng)的模型如圖1所示。圖1電橋系統(tǒng)

若圖1所示的電橋系統(tǒng)是不平衡的，兩電容的電壓x1(t)和x2(t)可以通過(guò)輸入電壓u(t)控制，則系統(tǒng)是能控的。由電路理論知識(shí)可知,若圖1所示的電橋系統(tǒng)是平衡的,電容C2的電壓x2(t)是不能通過(guò)輸入電壓u(t)改變的，即狀態(tài)變量x2(t)

是不能控的，則系統(tǒng)是不完全能控的。由狀態(tài)空間模型來(lái)看,

當(dāng)選擇兩電容器兩端電壓為狀態(tài)變量x1(t)

和x2(t)時(shí)，可得如下?tīng)顟B(tài)方程:由上述狀態(tài)方程可知，狀態(tài)變量x2(t)的值，即電橋中電容C2的電壓，是自由衰減的，并不受輸入u的控制。因此，該電壓的值不能在有限時(shí)間內(nèi)衰減至零，即該狀態(tài)變量是不能由輸入變量控制到原點(diǎn)。具有這種特性的系統(tǒng)稱為狀態(tài)不能控的。3幾點(diǎn)說(shuō)明（1）控制時(shí)間[t0,tf]是系統(tǒng)狀態(tài)由初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)所需的有限時(shí)間。對(duì)時(shí)變系統(tǒng)，控制時(shí)間的長(zhǎng)短，即tf-t0的值，與初始時(shí)刻t0有關(guān)。對(duì)于定常系統(tǒng)，該控制時(shí)間與t0無(wú)關(guān)。

所以，對(duì)于線性定常系統(tǒng)，其能控性與初始時(shí)刻t0無(wú)關(guān)，對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)，其能控性與初始時(shí)刻t0有關(guān)。（2）在上述定義中，對(duì)輸入u(t)沒(méi)有加任何約束，只要能將非零初始狀態(tài)在有限時(shí)間轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點(diǎn)，對(duì)狀態(tài)軌跡不加限制。（3）若存在能將狀態(tài)x(t0)=0轉(zhuǎn)移到x(tf)=xf的控制作用，稱狀態(tài)xf是t0時(shí)刻能達(dá)的。對(duì)于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，狀態(tài)能控性與能達(dá)性等價(jià)。但對(duì)于離散系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)，二者不等價(jià)。3.2線性定常系統(tǒng)的能控性判別能控性判別主要有兩種形式：（1）模態(tài)判據(jù)（2）秩判據(jù)對(duì)角規(guī)范型判據(jù)：對(duì)為對(duì)角規(guī)范形的線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B),有：1)

若A的所有特征值互異，則系統(tǒng)能控的充要條件為：B中不包含元素全為0的行；2)

若A有重特征值，則系統(tǒng)能控的充要條件為：重特征值對(duì)應(yīng)的B中的行線性無(wú)關(guān)。1.模態(tài)判據(jù)約旦規(guī)范形判據(jù)：對(duì)為約旦規(guī)范形的線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B),有:1)

若A為每個(gè)特征值都只有一個(gè)約旦塊的約旦矩陣，則系統(tǒng)能控的充要條件為：對(duì)應(yīng)A的每個(gè)約旦塊的B的分塊的最后一行都不全為零;2)

若A為某個(gè)特征值有多于一個(gè)約旦塊的約旦矩陣，則系統(tǒng)能控的充要條件為：對(duì)應(yīng)A的每個(gè)特征值的所有約旦塊的B的分塊的最后一行線性無(wú)關(guān)。例3.2-1例3.堪2-仿2考察廉下列復(fù)系統(tǒng)蓮的狀僚態(tài)能心控性解由于A中特濕征值測(cè)-4納的兩堂個(gè)約圈旦塊驚所對(duì)監(jiān)應(yīng)的B的分當(dāng)塊的商最后像一行予線性腰無(wú)關(guān)喘，且A中特奴征值版-3妻的約繞旦塊器所對(duì)獻(xiàn)應(yīng)的B的分染塊的暈最后杯一行予不全埋為零宋，故消系統(tǒng)貍狀態(tài)遣完全猜能控。2.秩判男據(jù)定理3.挨2-燃1線性驢定常犁連續(xù)陰系統(tǒng)(A，B)其狀態(tài)左完全活能控的充要直條件是其尾能控格性矩皆陣的秩巨為n，即證明想定澤理3.柳2-旅1已知亡狀態(tài)糖方程友的解恨為在以股下討桐論中璃，不塑失一愿般性殊，可束設(shè)初咬始時(shí)衡刻為蹤蝶零，臂即t0繭=肥0以及略終端怪狀態(tài)斥為狀股態(tài)空賞間的尺原點(diǎn)獎(jiǎng)，即x(笑tf)樂(lè)=奧0。則軌有利用冠凱萊-哈密輝爾頓凡（Ca席yl退ey虹Ha年mi鑰lt亭on）定壇理證明驕定愛(ài)理3.脅2-浴1利用薪凱萊-哈密遺爾頓鹽（Ca巨yl架ey系Ha額mi加lt戴on）定劉理進(jìn)而畝得到因tf是固纖定的烤，所狡以每綢一個(gè)外積分腫都代怕表一刃個(gè)確撒定的精量，甜令證明遞定竿理3.挺2-筐1若系料統(tǒng)是研能控曾的，富那么橡對(duì)于傘任意歪給定跳的初犬始狀敵態(tài)x(0烏)都應(yīng)詳從上價(jià)述方柿程中錄解出0，1，…，n1來(lái)。寄這就昏要求駝系統(tǒng)缸能控聰性矩騰陣的驅(qū)秩為n，即ra邊nk享[B匠A喪B紀(jì)A2B驚…諒An1B]斧=n例3.應(yīng)2-具3設(shè)系要統(tǒng)的體狀態(tài)疑方程冤為判斷折其狀茶態(tài)能垃控性仔。例題3.2-3【解答】所以該系統(tǒng)是狀態(tài)不能控的。例3.邁2-眉4設(shè)系悼統(tǒng)的暫狀態(tài)剩方程衡為判斷彎其狀宅態(tài)能乏控性島。例題3.臂2-頃4【解答】系統(tǒng)黑的能桐控性令矩陣掘?yàn)?翻11斑1113記22鈔2225糖44艇444M=窩[B糖A磁B餅A2B]塵=ra純nkM=覆2干n所以悅系統(tǒng)香狀態(tài)鎮(zhèn)不完陵全能獸控。3線性須定常扒系統(tǒng)聰?shù)妮攽z出能開(kāi)控性在分于析和飼設(shè)計(jì)貿(mào)控制濤系統(tǒng)杠的許虜多情況況下濤，系盒統(tǒng)的妖被控紹制量眾往往能不是看系統(tǒng)樂(lè)的狀娃態(tài)，四而是目系統(tǒng)養(yǎng)的輸婚出，待因此射有必曠要研優(yōu)究系借統(tǒng)的冰輸出俯是否撞能控鴉的問(wèn)什題。對(duì)于閣系統(tǒng)蠶(A，B，C，D)，如棟果存故在一奪個(gè)無(wú)部約束斃的控羨制矢潮量u(熟t)，在烈有限絡(luò)時(shí)間欲間隔[t賠0，tf]內(nèi)，妹能將攔任一萄給定鏡的初搖始輸革出y(弊t0偵)轉(zhuǎn)移貼到任薦一指輕定的完最終勺輸出y(夜tf)，那戲么就給稱(A，B，C，D)是輸堂出完素全能酸控的鍬，或綁簡(jiǎn)稱貼輸出失是能溜控的墾。線性特定常授系統(tǒng)矛(A，B，C，D)，其碎輸出來(lái)完全括能控愿的充電要條友件是捧輸出督能控欺性矩僻陣滿舉秩，鞭即ra詞nkQ=r奴an受k[匙CB披C逗AB承…CAn-1B悶D]騎=m例題泉：試判陶斷如仗下系飯統(tǒng)的改輸出鐮能控氣性解由輸柏出能他控性句的代幅數(shù)判撤據(jù)有ra乏nk肌[CB高CA布B吉D]=馳ra偉nk膜[2跨0符0把]=尸1=m故系饒統(tǒng)輸在出完諒全能借控。對(duì)例匆題中揮的系現(xiàn)統(tǒng),因?yàn)楣氏德咏y(tǒng)是圓狀態(tài)府不完并全能嘴控的漆。因此績(jī)，由選例題桿可知悉，輸個(gè)出能麥控性闊與狀頑態(tài)能杏控性擺是不聰?shù)葍r(jià)較的兩苦個(gè)不悶同概采念，末它們售之間澆亦沒(méi)廁有必健然的犬聯(lián)系流。3.感3線性認(rèn)連續(xù)照定常令系統(tǒng)孩的能謙觀性1定義對(duì)任仆意給檔定的移輸入莖信號(hào)u(斤t)，在擦有限恢時(shí)間tf>t擦0，能辨夠根欺據(jù)輸事出量y(孟t)在[t瞧0，tf]內(nèi)的惱測(cè)量駐值，唯一地確條定系萄統(tǒng)在員時(shí)刻t0的初倆始狀杜態(tài)x(腹t0小)，則捉稱此樹(shù)系統(tǒng)遺的狀工態(tài)是邊完全已能觀諸測(cè)的頂，或銹簡(jiǎn)稱續(xù)系統(tǒng)潔能觀輛測(cè)的奴。討論推線性削系統(tǒng)重的能幼觀測(cè)說(shuō)性?？乜紤]尊零輸案入時(shí)印的狀洋態(tài)空宋間表敬達(dá)式若線贊性連搶續(xù)系莖統(tǒng)對(duì)初爛始時(shí)游刻t0(t0T,T為時(shí)登間定詳義域箱)和奧初始廳狀態(tài)x(t0),存在閘另一巷有限嶄時(shí)刻t1(t1>t0,t1T),根據(jù)林在有句限時(shí)割間區(qū)溉間[t0,t1]內(nèi)量辱測(cè)到形的輸認(rèn)出y(t)唯夾一地蓮確定鋒系統(tǒng)浩在t0時(shí)刻拒的初絕始狀裹態(tài)x(t0),則稱釘在t0時(shí)刻若的狀威態(tài)x(t0)能觀犁測(cè);若對(duì)t0時(shí)刻眉的狀扒態(tài)空贈(zèng)間中灶的所怒有狀歌態(tài)都滴能觀陽(yáng)測(cè)，肢則稱躺系統(tǒng)楚在t0時(shí)刻塵狀態(tài)姜完全督能觀胸測(cè)；若存般在某懼個(gè)狀刑態(tài)x(t0)不能榮觀測(cè)泉，稱傾此系筍統(tǒng)是夠狀態(tài)川不完荷全能賠觀測(cè)夕的，遙簡(jiǎn)稱獎(jiǎng)系統(tǒng)皆為狀下態(tài)不免能觀宴測(cè)。1定義說(shuō)明（1）對(duì)于桌線性傷定常繼系統(tǒng)膛，由耗于系移統(tǒng)矩花陣A(t)和輸咸出矩獄陣C(t)都為連常數(shù)炸矩陣稍，與贈(zèng)時(shí)間控?zé)o關(guān)均，因番此不潛必在黑定義像中強(qiáng)宅調(diào)“在所崖有時(shí)修刻狀貍態(tài)完士全能殼觀測(cè)”,而為酬“某一復(fù)時(shí)刻衡狀態(tài)奶完全是能觀名測(cè)，舅則系顏統(tǒng)狀錦態(tài)完敗全能枯觀測(cè)”。（2）在定大義中鑄把能罩觀測(cè)攻性定猶義為找對(duì)初使始狀暈態(tài)的屑確定詠，這滾是因若為，敵一旦皆確定宗初始誼狀態(tài)強(qiáng)，便紫可根雕據(jù)狀胃態(tài)方暴程的翻解表模達(dá)式親，由閃初始絹狀態(tài)猛和輸房誠(chéng)入，糊計(jì)算幸出系扣統(tǒng)各旦時(shí)刻伶的狀杏態(tài)值怖。例考慮右圖章所示順的電網(wǎng)灶絡(luò)系習(xí)統(tǒng)由薯輸出哀變量庸的值批確定部狀態(tài)廢變量長(zhǎng)值的孩能力酒問(wèn)題承。當(dāng)電蜓阻R1=R2，電膀感L1=L2，輸候入電嗎壓u(t)=項(xiàng)0，以及兩個(gè)扔狀態(tài)鄰變量兄的初額始狀頸態(tài)x1(t0)=x2(t0)且為雕任意童值時(shí)士，必沖定有i3(t)=多0，即托輸出繡變量y(t)恒為啞零。因此砌，由愉恒為茫零的孤輸出y(t)顯然排不能花確定計(jì)通過(guò)察兩個(gè)常電感桂的電廚流值i1(t)和i2(t)，即描由輸綿出y(t)不能池確定他狀態(tài)捐變量x1(t)和x2(t)的值貌。該電建網(wǎng)絡(luò)幅模型丑中，u(t)為輸只入電涉壓，y(t)=i3(t)為輸末出變疤量，繡通過(guò)彎兩電罵感的阿電流i1(t)和i2(t)分別識(shí)為狀求態(tài)變躬量x1(t)和x2(t)。圖電網(wǎng)強(qiáng)絡(luò)但當(dāng)烤電阻R1R2或電撇感L1L2時(shí)，釋則由侵輸出y(t)可能臉確定荒狀態(tài)糟變量x1(t)和x2(t)的值值。這種宰能由鉤輸出遮變量啊值確估定狀泉態(tài)變陡量值喪的特污性稱機(jī)為狀陪態(tài)能膚觀測(cè),若由詢輸出蒜變量祝值不奔能唯寇一確鎮(zhèn)定出嚼狀態(tài)顛變量傍值的續(xù)特性蜜則稱玻為狀嚼態(tài)不筍能觀獎(jiǎng)測(cè)。從狀戰(zhàn)態(tài)空信間模刷型上錘看，當(dāng)選衰擇兩存電感獲的電鋪流i1(t)和i2(t)分別蓮為狀棵態(tài)變恩量x1(t)和x2(t)時(shí)獎(jiǎng)，狀蘇態(tài)空辰間模畫(huà)型為當(dāng)電心路中來(lái)電阻嫂值R1=R2=R，電熄感值L1=L2=L時(shí)，書(shū)若輸鋪入電彎壓u(t)突然翠短路,即u(t)=得0,則狀叛態(tài)方為程為顯然樓，當(dāng)截狀態(tài)捆變量擁的初稠始狀環(huán)態(tài)為x1(t0)=x2(t0)且為鳳任意竹值時(shí)恰，上我述狀孤態(tài)方總程的吩解必哭有x1(t)=x2(t)，故構(gòu)有y(t)=i3(t)=用0,即輸聽(tīng)出變驕量y(t)恒為譽(yù)零。因此擺，由評(píng)觀測(cè)妹到的投恒為馳零的躺輸出柄變量y(t)不能斯確定毒狀態(tài)屑變量x1(t)和x2(t)的值里，即然由輸減出i3(t)不能萍確定蔑通過(guò)鋸兩個(gè)傷電感迫的電角流值i1(t)和i2(t)。但當(dāng)番電路不中電拖阻值R1≠R2或電海感值L1≠L2時(shí)，炒則由往輸出y(t)可能麻確定屢狀態(tài)戲變量x1(t)和x2(t)的值體。這種柿由可田測(cè)量奏的輸么出變庭量的坊值能桃惟一喂確定屑狀態(tài)貍變量格的值摩的特顏性稱蘿為狀修態(tài)能語(yǔ)觀測(cè)獨(dú)，若睜不能塊惟一斤確定訊則稱伸為狀劈燕態(tài)不提能觀袋測(cè)。例：右圖鑄所示伍的電羽網(wǎng)絡(luò)軟中，揪電源窯電壓u(t)為輸什入，懼電壓y(t)為輸莫出，這并分妖別取咬電容胃電壓uC(t)和電堤感電曠流iL(t)為狀御態(tài)變醋量x1(t)和x2(t)。因此乒，由壓輸出惕變量y(t)顯然呀不能些確定疑電壓堆值uC(t)，即差由輸頌出y(t)不能衛(wèi)確定沖狀態(tài)碗變量x1(t)的值弊。故該看電網(wǎng)斥絡(luò)在碗開(kāi)關(guān)K斷開(kāi)鍋后是馳狀態(tài)挽不能踢觀測(cè)標(biāo)的。當(dāng)開(kāi)洽關(guān)K在t0時(shí)刻挨斷開(kāi)厘后，起顯然督電容C和電男阻R1構(gòu)成凝一階冷衰減蜻電路疲，電乖容電鄉(xiāng)豐壓uC(t)的變見(jiàn)化只顆與初休始狀福態(tài)uC(t0)有關(guān)清，與鬧衰減鐮電路敲外其止他信閣號(hào)無(wú)輩關(guān)。2能觀降性判廈別能觀榜性判輸別主飾要有寬兩種陡形式妨：（1）模態(tài)培判據(jù)（2）秩判榨據(jù)對(duì)角擠規(guī)范嚇型判輔據(jù)：對(duì)為提對(duì)角捐規(guī)范玩形的原線性塵定常亭連續(xù)膊系統(tǒng)(A,C),有：1)若A的所孕有特艷征值輔互異,則系聰統(tǒng)可辜觀測(cè)衛(wèi)的充古要條現(xiàn)件為帝：C中不蹄包含怎元素爽全為0的列絨；2)若A有重偵特征左值,則系直統(tǒng)可物觀測(cè)繼的充很要條蛋件為吐：重特衛(wèi)征值萍對(duì)應(yīng)果的C召中的猴列線態(tài)性無(wú)脆關(guān)。（1）雜模態(tài)表判據(jù)約旦廟規(guī)范抬形判思據(jù)：對(duì)