解直角角形知識點強化記憶

22第24

解直角三角形知識點強化記憶知識點：正弦、余弦、正切、余切的概念（1）銳角A、∠B（∠A+B=90）的三角函數(shù)：互余兩角的三角函數(shù)關系取值范圍

全稱

簡寫銳角∠A的弦sinA=銳角∠A的弦cosA=銳角∠A的切銳角∠A的切cotA=

的對邊斜邊A的鄰邊斜邊A的對邊A的鄰邊A的鄰邊A的對邊

＜sinA＜1=sinB0＜＜tanA0=tanBcotA＞

sinecosinetangentcotangent

sincostan或tg)cot或ctgctn)注：對于銳角∠的一個確定的度數(shù)，其對應的三角函數(shù)值也是唯一確定的。（１）正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中給出的，要避免應用時對任意的三角形隨套用定義；（２）ｓｉｎＡ不是ｓｉｎ與Ａ乘積，是三角形函數(shù)記號，是一個整體。“ｓｉｎＡ”表示一個比值，其他三個三角函數(shù)記號也是一樣的；（３）銳角三角函數(shù)值與三角形三邊長短無關，只與銳角的大小有關。知識點：同角三角函數(shù)的關系：（1平方關系：sinA+cosA（2商數(shù)關系：tanA=

sinA，A（3倒數(shù)關系：tanA=

1cotA

，tanA

圖19.3.1··（Ａ＋∠Ｂ＝９０°）注：同一銳角的正弦和余弦的平方和等于１，同一銳角的正弦與余弦的商等于正切，同一銳角的余弦與正弦的商等于余切。同一銳角的正切與余切的積為１，互為倒數(shù)；互余兩角正切值的積為1；互余兩角余切值的積為1（１）這些關系式都是恒等式，正反均可運用，同時還要注意它們的變形，如：

sin＝1cos

，

1sin

2

；因為∠為角，所以0＜＜1,0cosA1所其中的負值舍去（２）ｓｉｎ是（ｓｉα）的簡寫，讀作“ｓｉα”的平方；不能將ｓｉｎα寫成ｓｉｎα，前者α的正弦值的平方，后者表示的正弦值。/

知識點為角的三角函數(shù)之間的關系（導公式）若∠Ａ＋∠Ｂ＝９０°，則ｓｉｎＡ＝ｃｏｓ（９０°－Ａ＝ｃｏｓＢ，ｃｏｓＡ＝ｓｉｎ（９０°－Ａ）＝ｓｉｎＢ，ｔａｎＡ＝ｃｏｔ（９０°－Ａ＝ｃｏｔＢ，ｃｔＡ＝ｔａｎ（９０°－Ａ）＝ｔａｎＢ即任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值；任意銳角的正切值等于它的余角的余切值；任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。知識點：三角函數(shù)值的變化范圍及規(guī)律銳角三角函數(shù)的變化情況：在°°間銳A的弦值隨著角度的增大而增大。在°°之間，銳角A余弦值隨著角度的增大而減小。在°°之間，銳角A正切值隨著角度的增大而增大。在°°之間，銳角A余切值隨著角度的增大而減小。即（１）當０°α＜０°時，ｓｉα、ａα隨著的增大而增大，ｃｏｓα、ｃｏα隨α的大而減?。唬ǎ玻┊敚啊恪堞痢埽梗啊銜r，０≤ｓｉα≤１，０≤ｃｏｓ≤１。ｔａｎα0、ｃｏα≥注：(1)sinA的從0增到1(2)cosA的值減小到03）的從0開增，tan90°不存。（）cotA的逐減到0,cot0的值不存在知識點：特殊角的三角函數(shù)值特殊角有０°、３０°、４５°６０°、９０°，它們的三角函數(shù)值如下表：α０°

３０°４５°６０°９０°三角函數(shù)值tan

０１０

123233

22１

12

１０不存在

不存在

3１０3注意：記憶特殊角的三角函數(shù)值，可用下述方法：０°３０°、４５°、０°、９０°的弦值分別是/

角類角類013420、、、、，它們的余弦值分別是、、、、；22222３０°、４５°、６０°的正切分別是知識點6：用計算器計算三角函值

22、、，它們的余切值分別是、、。11用計算器求已知銳角的三角函數(shù)值和由三角函數(shù)值求對應的銳角是必須掌握的。知識點7：解直角三角形的類型解法：三

形

已型

知

與

解

法

已知條件

解法步驟兩直角邊（，）

a、tanA=b、B＝°∠A

求∠A兩

、c＝

2

2

……Rt△ABCC=90°

邊

斜邊c,直角邊a

a、sinA=c、B＝°∠A

求A、＝

2

—

2

……、B＝°∠A圖計算邊的口訣：有斜求對乘正弦有斜求鄰乘余弦無斜求對乘正切無斜求鄰乘余切

一邊一角

直角邊、一銳角

銳角∠A、銳角∠A的邊銳角∠A、銳角∠A的邊a

a、tanA=a＝·bbb、cosAccosA、B＝°∠Ab、cotA＝·cotAaaa、sinA=c=csinA、B＝°∠A斜邊c、銳角∠A

、sinA=、cosA

acbc

·sinA·已知一銳角、斜邊，求對邊，用銳角正弦求鄰邊，用銳角余弦已知一銳角、鄰邊，求對邊，用銳角正切求斜邊，用銳角余弦。已知一銳角、對邊，求鄰邊，用銳角余切求斜邊，用銳角正弦。解直角三角形口(一)

已知一邊一銳角，求其余邊和余角．求出它們很是繞，概括三句口訣妙．/

求直角邊用乘，求斜邊用除靈．是對邊用正，是鄰邊用余．有斜邊用弦，無斜邊用切．[注]余邊余角即其余邊和其余角．已知角的三角函數(shù)，求直角邊用乘，求斜邊用除．當已知為斜邊時，求對邊用正弦，求鄰邊用余弦．已知一直角邊求另一直角邊用正切和余切．口訣(二)—選用關系式歸納為口：已知斜邊求直邊，正弦余弦很方便；已知直邊求直邊，正切余切理當然；已知兩邊求一邊，勾股定理最方便；已知兩邊求一角，函數(shù)關系要選好；已知銳角求銳角，互余關系要記好；已知直邊求斜邊，用除還需正余弦；計算方法要選擇，能用乘法不用除。注：直角三角形的邊角關系可以從以下幾個方面加以歸納：（１）三邊之間的關系：

222

（勾股定理（２）銳角之間的關系：∠Ａ＋∠Ｂ＝９０°（３）邊角之間的關系：ｓｉｎＡ＝

a，ｃｏｓＡ＝，ｔａｎＡ＝，ｏｔＡ＝。cb“有斜（斜邊）用弦（正弦、余弦用切（正切、余切，寧乘毋除，取原避中的意思是：當已知或求解中有斜邊時，就用正弦或余弦，無斜邊時，就用正切或余切；當所求的元素既可乘法又可用除法時，則用乘法，不用除法；既可以由已知數(shù)據(jù)又可由中間數(shù)據(jù)求解時，則用已知數(shù)據(jù)，盡量避用中間數(shù)據(jù)。對于非直角三角形，往往要通過作輔助線構(gòu)造直角三角形來解，作輔助線的一般思路是：（１）作垂線構(gòu)成直角三角形利用圖形本身的性質(zhì)，如等腰三角形頂角平分線垂直于底邊知識點8：有關名詞、術(shù)語的意及高度的測量的方法、鉛線：重力線方向的直線。、水線：垂直于鉛垂線的一條直線。、仰與俯角：在進行測量時，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角。、坡的坡度（或坡比坡面的鉛垂高度）和水平長度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比

hi.記作i即l、坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作a有

i＝

hl

圖、高度的測量的方法：構(gòu)造兩個相似的直角三角形，利用相似三角形的對應邊成比。（1用平行的太陽光線（用桿與量角儀（3用物理的光學知識與平面鏡/

bcbc知識點8：三角形的面積公式：已知ABC中∠、∠、C的對邊分別是a、、，圖2，過點A作AD⊥于點D。在ABD

中，

sin

AD

，即：

BS

ABC

111BCaac222

（其中：∠為a、c的角）同理可得：S

ABC

111BbcsinabC222

（三角形的面積公式）注：三角形的面積等于兩邊與夾角正弦乘積的一半補充：基本公式S

1bc（2）海公式2

(p)()()知識點：正弦定理、余弦定理由面積公式可得：

11sinbc22兩邊同時除于

1ac得asinsinA2AsinB同理可得，正弦定理：

acsinBC正弦定理：任一個三角形中，邊和它所對角的正弦的比相等。即余弦定理

===2R（R為△ABC外圓半徑）sisinBC如圖2：

ADC，CD

，在eq\o\ac(△,Rt)ABD中由勾股定理得：

BD

C)

C)

整理得：c

2

2

sin

2

2

2

cos

2

c

2

2

2

2

C

2

cos

2

2

2

abcosC

整理得到余弦定理：

2

2

2

ab

（∠C為

、

b

的夾角）同理可得弦理及其變形

22

bccos

22

22

cos

2

2

2/

c

2

abC

cos

2ab余弦定理：對于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角的弦的兩倍積知識點10：三角函數(shù)與相似三角、射影定理：如圖5，可以利用相似進行求解，也可以利用三角函數(shù)進行求：cosA

AD3.2DEBCx如6，610AE4備注：三角函數(shù)，在解決直角三角形的一些問題中，有時候會比相似書寫更簡潔一些三角函數(shù)與直角三角形的射影定理：直角三角形與射影定理CD

2AD2

AD

Ctan

2CDBDBCDCDADADCD

A

D

BACADBCcosAAC2ADACABBC

射影定理角三角形中斜上高線是兩條直角邊在斜邊上的射影的比例中,每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中.知識點11角數(shù)與一次函設一次函數(shù)ykx

經(jīng)過點

()1

與

()22

那么我們可以列出方程組：

y1y2

則可以得到：

k

yx

如圖所示：

k

/

2222知識點12：角函數(shù)的高中定中圓半徑為單位1如圖3，

yyy同可得：cos，tanrx

，

cot

如圖4也以得到相同的結(jié)論，但是此時要特別注意三角函數(shù)的符號所發(fā)生的變化，從而使三角函數(shù)擺脫僅限于銳角的尷尬境。知識點3：解直角三角形的幾種本圖形補充練習蕪湖）已知銳角A滿關系式2sinA﹣7sinA+3=0，的為。、已知：∠A為角且sinA=

，則tanA的為_________．濟南）如圖，AOB放置在正方形網(wǎng)格中的一個角，則cosAOB的是．遵義）如圖所示是重疊的兩個直角三角形．將其一個直角三角形沿BC方平移得DEF如果，，，則圖中陰影部分面積為cm．/

（?吉林）將寬為的長方形紙條折疊成如圖所示的形狀，那么折痕的是。州）安裝在屋頂?shù)奶柲軣崴鞯臋M截面示意圖如圖所示．已知集熱管AE與架BF所直線相交于水箱橫截面的圓心OO的半徑為0.2mAO與面的角為32°，與鉛垂線的角為40°，⊥于BOD⊥DAB=2m，求屋面AB的度和支架BF的長．（參數(shù)據(jù)：≈，tan32°

，tan40°≈

樂）如圖，小山上有一棵樹．現(xiàn)有測角儀和皮尺兩種測量工具，請你設計一種測量方案，在山腳水平地面上測出小樹頂端A到平地面的距離．要求）出測量示意圖）出測量步驟（測量數(shù)據(jù)用字母表示據(jù)）中的數(shù)據(jù)計算．?株）如圖，eq\o\ac(△,Rt)ABC中A=90°，tanB=，點在段上動，點、別在線段BCAC上且使得邊形是形．設AP的為x，矩形的面積為