課題 反函數(shù)概念

課題

反函數(shù)的概松江二中黃紅一、教設(shè)計(jì)思考．教材分析：“反函數(shù)的概念”一課選自高中一年級(jí)數(shù)>一學(xué)期上教第一課時(shí)，是對(duì)函數(shù)概念在認(rèn)識(shí)上深化和提高，又是為后繼對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備。教材的編排思路是先借助攝氏與華氏兩種溫度度量制的相互轉(zhuǎn)換的實(shí)例，從圖像、表格和函數(shù)解式三方面，揭示華氏溫度關(guān)于攝氏溫度的函數(shù)和攝氏溫度關(guān)于華氏溫度的函數(shù)，從特例中讓學(xué)初步感受反函數(shù)的概念，在此基礎(chǔ)上，定義反函數(shù)，然后揭示互為反函數(shù)的兩函數(shù)關(guān)系，通過(guò)例題解答示反函數(shù)的求法，最后提出同一坐標(biāo)系中函數(shù)

yx)

的圖像和它的反函數(shù)

y

()

的圖像的關(guān)系問(wèn)題，以特例加以說(shuō)明樣編排生于反函數(shù)概念的理解和把握一般都是建立在教師的明確指引和調(diào)之下，學(xué)生相對(duì)獨(dú)立的探索空間不夠，而與此同時(shí)，學(xué)生對(duì)于為什么學(xué)習(xí)反函數(shù)、什么樣的函數(shù)存在函數(shù)、同一坐標(biāo)系下

f(x)與f

1

(y

的圖像有何關(guān)系、將

f

(y)

改寫(xiě)為

(x)

的必要性等問(wèn)題無(wú)從感受或體驗(yàn)不深。我的教學(xué)對(duì)像是重點(diǎn)中學(xué)學(xué)生，認(rèn)知水平較高，善于思考，探究欲望強(qiáng)但是對(duì)于概念學(xué)習(xí)重視不夠，這是一個(gè)普遍存在的現(xiàn)象。為了讓學(xué)生不僅獲得反函數(shù)知識(shí),而更重要的是體驗(yàn)知識(shí)的形成過(guò)程,以及形成過(guò)程中的思想方法和思維過(guò)程，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念興趣。我將反函數(shù)的教學(xué)分為兩課時(shí)完成，本課為第一課時(shí)，確立以“問(wèn)題解決”為中心，將反函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)成“活中有實(shí)，實(shí)中見(jiàn)活”的探究性學(xué)習(xí)的課堂教學(xué)，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和能力是一定幫助的。．教案亮點(diǎn)：以反函數(shù)概念教學(xué)為核心，以“函數(shù)的定義和圖像特征”為主線，通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題，將學(xué)生現(xiàn)的知識(shí)經(jīng)函概念為知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)導(dǎo)生從原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中“生長(zhǎng)”出新的知識(shí)經(jīng)函數(shù)概念立理解和記憶念，展示學(xué)生是感知和形成概念的主體；重視自主探究與小組合作相結(jié)合，引發(fā)認(rèn)知沖突，以師生和生生間交流、互評(píng)的方式，促進(jìn)學(xué)生的思維能真正動(dòng)起來(lái),展示學(xué)是理解和深化概念的主體；在概念形成、理解、深化和應(yīng)用中，結(jié)合媒體實(shí)驗(yàn)，展示學(xué)生是體驗(yàn)概念究方法和數(shù)形結(jié)合思想的主體。二、教目標(biāo)．知識(shí)目標(biāo)：正確理解反函數(shù)的定義，初步掌握由原來(lái)函數(shù)求反函數(shù)的方法。．能力目標(biāo)：體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，感受具體到抽象到具體的概念學(xué)習(xí)的方法，培養(yǎng)觀察、分析和抽象括的能力。．情感目標(biāo)：在建立反函數(shù)定義的探究中培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性；在理解互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)之間的內(nèi)在系中，培養(yǎng)學(xué)生樹(shù)立對(duì)立統(tǒng)一的辯證思維觀點(diǎn)；在師生間平等、和諧的交流中，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)的熱情。三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：反函數(shù)的定義及反函數(shù)的求法。教學(xué)難點(diǎn)：反函數(shù)存在的條件。四、教學(xué)方法及手段：教學(xué)方法：探究、討論式。/

教學(xué)手教

問(wèn)題情景

師生活動(dòng)

設(shè)計(jì)意圖學(xué)環(huán)節(jié)實(shí)例

引：學(xué)們，有人說(shuō)，今天上海地區(qū)最高氣溫86度你們信不信？生：華氏度（幾乎齊聲答。師：我國(guó)氣象學(xué)和人們生活中，通常采用的是攝氏溫度，但在說(shuō)英語(yǔ)的國(guó)家如：英國(guó)、美國(guó)、加拿大等國(guó)，大多采用華氏溫度。華氏與攝氏溫度如何轉(zhuǎn)化，請(qǐng)思考下面問(wèn)題。問(wèn)攝氏與華氏兩種溫度度量制的相互轉(zhuǎn)換是一次函數(shù)的關(guān)系。

從生活實(shí)際出發(fā)數(shù)學(xué)源于生活。引入

攝氏溫度

()

華氏溫度y

(F)、復(fù)習(xí)函

冰點(diǎn)0沸點(diǎn)100根據(jù)以上信息，1）請(qǐng)你建立華氏溫度

y(

)

關(guān)于攝氏溫度

32212()的數(shù)系；

實(shí)例引入取本質(zhì)函概念、圖像特征，數(shù)概

（）華氏溫度為23F、F時(shí)請(qǐng)分別計(jì)算相應(yīng)的攝氏溫度。

在解決問(wèn)題的過(guò)程中反函數(shù)念

在學(xué)生完成解答后，討論下列問(wèn)題1、為什么說(shuō)

yx

表示華氏溫度

y(

)

關(guān)

學(xué)習(xí)的必要性時(shí)為突破本課重于攝氏溫度

()的

函數(shù)？、般地，對(duì)于定義域?yàn)榈臄?shù)

yf()

是如何定義的？

點(diǎn)和難點(diǎn)埋下伏筆。3、函關(guān)系在圖像上是如何反映的？請(qǐng)結(jié)合屏幕上

yx

的圖像說(shuō)明。4、y

和

y86

分別解-和，當(dāng)華氏溫度為23F、86F時(shí)攝溫度分別為-5

和

。師：如果我再給你們10個(gè)氏溫度的值，你還打算這樣計(jì)算嗎？生：不會(huì)。由函數(shù)

yx

變形，得到

x

y，然后逐一代入。5、x1.8

這是攝氏溫度

關(guān)于華氏溫度

y(

)

函數(shù)嗎？為什么？6、請(qǐng)思函數(shù)y(x與數(shù)x()則都相同的函數(shù)是相同函數(shù)。

y321.8

是相同函數(shù)嗎？強(qiáng)調(diào)：定義域和對(duì)應(yīng)法師：從以上討論可以看到：

y(x

和

x(y

y321.8

分別表示華氏溫度

y(

)

關(guān)于攝氏溫度

()的

函數(shù)和攝氏溫度

關(guān)于華氏溫度

y(

)

函數(shù)是一對(duì)相互關(guān)聯(lián)的函數(shù)，今天我們就來(lái)研究這樣的問(wèn)題——反函數(shù)的概念。/

生對(duì)生對(duì)A2初步形成反函數(shù)的概

問(wèn)什是反函數(shù)呢？顧名思義過(guò)老邊說(shuō)邊板書(shū)，留下空，讓學(xué)生填來(lái)也是函數(shù)也函數(shù)。一地，空。對(duì)于函數(shù)yf()設(shè)的定義域?yàn)橹涤虻娜我庖粋€(gè)值在D中為果總惟一確定的值它對(duì)應(yīng)，使得到x關(guān)y的函數(shù)叫函f(x)。介紹對(duì)應(yīng)則記數(shù)yf()的函數(shù)。作x(y)出義域A(A。反數(shù)定一地，對(duì)于函數(shù)yfx)，結(jié)實(shí)例函數(shù)yx與設(shè)它的定義域?yàn)?，域?yàn)椤Ｈ绻麑?duì)于A中y32x述數(shù)的的任意一個(gè)值y在D中有一確定的x值1.8

突出概念中果白，為學(xué)生理解概念的本質(zhì)奠定基礎(chǔ)，也為下文研究反函數(shù)存在的條件作好鋪墊。念

與它對(duì)應(yīng)

yf(x)

樣得到

關(guān)于

y

的反數(shù)是

x

y1.8

或函數(shù)函數(shù)叫函數(shù)

yf(x)

的反函數(shù)。記作

x

y1.8

是

的反函數(shù)。()(A

。

師：由此，你認(rèn)為反函數(shù)概念的本質(zhì)是什么？請(qǐng)同學(xué)們思考后，小組交流。生：反函數(shù)也是函數(shù)，它是由原來(lái)所給函數(shù)而確定的，未必所有函數(shù)都有反函數(shù)。（1）

42

的值域?yàn)镽，在反判斷下列各函數(shù)否存在反函數(shù)？如果存在，求出它的解析式，并求它的定義域；如

函數(shù)

x

y4

，定義域?yàn)镽；2）反

果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。1y422x3。

3

；

yx的值域?yàn)镽，在反函數(shù)xy3，定義域?yàn)镽；（）yx2值域?yàn)椋?/p>

強(qiáng)化反函數(shù)概念的理解和記憶。函數(shù)存在

在反函數(shù)。

，定義域?yàn)榈臈l件

師：在黑板上解答，屏幕上顯示答案。并不斷重于A的任意一個(gè)值y，在D中總有惟一確定的與它對(duì)應(yīng)，使

yf(x)

”的敘述，強(qiáng)調(diào)反函數(shù)的定義域是原來(lái)函數(shù)的值域，不是由反函數(shù)的解析式確定的。/

判斷2

根據(jù)下列所給關(guān)x函數(shù)的圖像，分別判斷它們是否存在反函數(shù)？為什么？首先，師生共同討論這兩個(gè)圖像為什么反映了y關(guān)x的數(shù)關(guān)系？因?yàn)槿我恢本€

x(aD)

與函數(shù)

yf()

都師：從數(shù)和形兩方面，緊扣定義請(qǐng)總結(jié)反函數(shù)存在和不存在的條件。生：歸納：定義在D上函數(shù)f()，它的值域?yàn)?，存在反函?shù)的條件：

有唯一的交點(diǎn)。然后引導(dǎo)學(xué)生研究：是否存在反函數(shù)，在圖像上有何特征。生：因?yàn)槿我恢本€與函數(shù)yf()都有唯一的交點(diǎn)，所以（1）存在反函數(shù)。師：你們說(shuō)，她回答正確嗎？生：對(duì)。師：當(dāng)我將直線y移動(dòng)到與x軸重合，怎么沒(méi)交點(diǎn)了？生：因?yàn)榇藭r(shí)A，以應(yīng)回答任一

從正個(gè)方面研究函數(shù)存在反函數(shù)和不存在反函數(shù)的條件，并從數(shù)與形兩個(gè)方面反函數(shù)存在的充要條件，（）取

在D中總有唯一確定的

值

直線

y

A

函

yf()

都

突破本課難點(diǎn)。與它對(duì)應(yīng)，使

f()

。

有唯一的交點(diǎn)，所以1存在反函數(shù)。師：很好，這也就是從形的角度回答：（2）函數(shù)

f()

的圖像與任一直線

函數(shù)存在反函數(shù)的條件。那么(2)？生：不存在反函數(shù)，因?yàn)橛袩o(wú)數(shù)多條直（b）有且只有一個(gè)公共。

線

y

（

）與函數(shù)

yf()

都定義在上的函數(shù)

f()

，不在函

有兩個(gè)交點(diǎn)。的件舉反例）：

師：要說(shuō)函數(shù)不存在反函數(shù)，有必要尋（）在

xxD且x

，而

找無(wú)數(shù)多條直線y（b）嗎？f(x)fx)12

。

生不存在反函數(shù)反例只要尋找一個(gè)。（2）在一直線

（

）與函數(shù)f()

的圖像公共點(diǎn)多于一個(gè)。/

yyyy問(wèn)

學(xué)生答案不一，其中有一位學(xué)生代表拿著他分別畫(huà)有一條直線的兩張紙，將兩下

yf(x)與xf

1

(y

何

張紙疊在一起，具體闡明兩個(gè)圖像關(guān)于y請(qǐng)以y321.8說(shuō)明請(qǐng)思后小組討。

為實(shí)例

對(duì)。幾乎所有同學(xué)被該學(xué)生的描述折服了。師：事實(shí)上，他畫(huà)的兩條直線是在兩個(gè)不同的坐標(biāo)系下所得，線

通過(guò)對(duì)同一坐標(biāo)系下函數(shù)f(x)與形成反函數(shù)的完整定義

yx以軸橫軸、y軸縱軸的直角坐標(biāo)系下而得，而線yx在以y軸橫、x軸為縱1.8軸的直角坐標(biāo)系下而得，即使兩紙疊在一起，還是不同坐標(biāo)系下的兩圖像。所以他研究的過(guò)程不符合我所問(wèn)的前提條件。生：在同一直角坐標(biāo)系xoy，通過(guò)選取兩組有序數(shù)（32-523，得到兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，從而得到兩條重合的直線。

f1()的像研究為么在同一坐標(biāo)系下不同的函數(shù)卻有相同的圖像發(fā)認(rèn)知沖突理解互換x、的必要性。反函數(shù)

一般地，對(duì)于函數(shù)f()，它的定義域?yàn)椋驗(yàn)?。果?duì)于A中任意一個(gè)值

師：看著大家的表情，猜測(cè)大家難以接受兩個(gè)不同的函數(shù)yx32與的完

y

，在D總有惟一確定的

值與它對(duì)應(yīng)，

x

y1.8

在同一坐標(biāo)系下有相同圖整定義

使數(shù)

yf(x)yf()

這樣得到x關(guān)的數(shù)叫函的反函數(shù)。記作f(y)。

像的事實(shí)。事實(shí)上，我們習(xí)慣于在橫軸上選取自變量的值，在縱軸上選取相應(yīng)的函數(shù)值而得到函數(shù)圖像的應(yīng)點(diǎn)。而且我們也知道一個(gè)函數(shù)與兩變量字母慣，它寫(xiě)

y

(x)(xA

。

的選擇形式無(wú)關(guān)。所以下面我們對(duì)反函數(shù)的定義特地作出補(bǔ)充規(guī)定：習(xí)慣上，(y)將改寫(xiě)為(x)(xAy。問(wèn)互

x、

后的反函數(shù)

y

(x)

與原來(lái)函數(shù)

(x)

的

、y

有何關(guān)系。

從函數(shù)三要提示：從函數(shù)三要素出發(fā)，請(qǐng)討論互為反函數(shù)的兩函數(shù)關(guān)系。

素出發(fā)互在討論中達(dá)到共識(shí)：（1）

y

(x的、y分對(duì)應(yīng)著

f(x)的，母形

反函數(shù)的兩函數(shù)關(guān)系反函數(shù)互為反

式不同相函中的自變量量的地位互換的定義域，值域如下：

2yf()

與

yf

()

的性質(zhì)對(duì)函數(shù)概念的完整/

步驟步驟。2數(shù)的

定義域

f()D

yfA

(x)

理解。兩函

值域

A

D數(shù)關(guān)

（3）yf()與yf

()

互為反函數(shù)。系師：還有什么補(bǔ)充的嗎？生：yf()

與

yf

()

的對(duì)應(yīng)法則互逆，而且成立

f

f()

x

，f)

。師：很好，研究得很有深度，這兩個(gè)等式成立與否留給同學(xué)們課后研究。問(wèn)

求反函數(shù)的步驟？

師：強(qiáng)調(diào)從

yf(x)

中，解得唯一的應(yīng)用

學(xué)生總結(jié)：（1）從

f()

中，解得唯一的

()

，確認(rèn)存在反函數(shù)。

與前面的判斷題形成呼應(yīng)概念

f(y)

（）出所給函數(shù)的值,為反

生：噢，就是前面的判斷題。調(diào)求反函數(shù)的三師：屏幕切換到前面判斷題的答案，在（求

函數(shù)的定義域A；（）互換x與y，函數(shù)寫(xiě)

此基礎(chǔ)上請(qǐng)同學(xué)口答各小題。生：齊聲回答。所給函

成

(x)(x)

的形式．

師：強(qiáng)調(diào)互換x與y，函寫(xiě)成yf)(A的式數(shù)

練習(xí)求下列函數(shù)的反函數(shù)：的

（）

；反函數(shù)

（）

yx

；）

（）

yx

2

0)

。問(wèn)

函數(shù)

y

（

x

否在反函數(shù)？生1函數(shù)

y

2

（

x

）不存在反

通過(guò)討論的深化概

為什么？如果存在，求出反函數(shù)？如果不存在，請(qǐng)適當(dāng)改變函數(shù)y2（x的定義域，

函數(shù)因?yàn)楫?dāng)y時(shí)兩不同的值-1與之對(duì)應(yīng)。

層層深入概念本質(zhì)的理解念

使所得函數(shù)存在反函數(shù)。師：借助幾何畫(huà)板顯示：直線

y

與函數(shù)

生改變定義域?yàn)?/p>

/

y

2

（）圖交點(diǎn)不惟一，說(shuō)明函數(shù)

等，可使

y

2

存在y2（x）不在反函數(shù)。借助幾何畫(huà)板顯示：任一直線y（b

反函數(shù)。生3定域?yàn)?/p>

可使

2x

的圖像有且只有

y

2

存在反函數(shù)。一個(gè)公共點(diǎn)，說(shuō)明函數(shù)

y

2

生4：實(shí)有無(wú)數(shù)多個(gè)答案，還能定（

x

）存在反函數(shù)。

義域適當(dāng)改寫(xiě)為三個(gè)區(qū)間、四個(gè)區(qū)間或五個(gè)區(qū)間的并集等也可使

y

2

存在反函數(shù)。師：對(duì)呀，說(shuō)明同學(xué)們能靈活應(yīng)用反函數(shù)的概念解決問(wèn)題了。反函數(shù)的定義；2數(shù)存在反函數(shù)的條件；

突出重點(diǎn)求函數(shù)

f()

（

xD

）的反函數(shù)的一師：通過(guò)這課的學(xué)習(xí)，你有哪些收

時(shí)整理；生生互課堂小

般步驟；4.感受具體到抽象到具體的概念學(xué)習(xí)的方法；體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。

獲？多名學(xué)生發(fā)言，互相補(bǔ)充。

動(dòng)生同學(xué)發(fā)言時(shí)受啟發(fā)。結(jié)A必題：課本125頁(yè)習(xí)題．4

第1題、第2題；

對(duì)于學(xué)生在課堂討論中出現(xiàn)作業(yè)

補(bǔ)充題已函數(shù)

f(x)xx

的反函數(shù)為

f

(x)

，求

f

(3)

的值。

的關(guān)于互為反函數(shù)的函數(shù)關(guān)系的布

B選題：

其它性質(zhì)業(yè)置

探討在同一坐標(biāo)系中函數(shù)

yfx)

的圖像和它的反函數(shù)

y

()

的圖像、

的形式留給同學(xué)性質(zhì)間的關(guān)系，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？六、教學(xué)建議與說(shuō)明：

們課外探究。反函數(shù)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，為了突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，我設(shè)計(jì)了以下的教學(xué)環(huán)節(jié)。首先用課本實(shí)例，滲透函數(shù)的三種表示形式，帶動(dòng)復(fù)習(xí)函數(shù)定義及函數(shù)圖像的特征，從而加強(qiáng)學(xué)生對(duì)函概念的認(rèn)識(shí)，為引入新課打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。其次我根據(jù)重點(diǎn)中學(xué)學(xué)生實(shí)際（認(rèn)知水平較好在反函數(shù)念”的建立過(guò)程中，以“函數(shù)定義和圖像研究”相結(jié)合、以“黑板板書(shū)和P顯示幾何畫(huà)板實(shí)驗(yàn)”相結(jié)合，貫穿教學(xué)全過(guò)程，組織了六個(gè)層面的活動(dòng)實(shí)分析、抽取本質(zhì)，復(fù)習(xí)函數(shù)概念，初步建立“反函數(shù)概念引學(xué)生在對(duì)具體函數(shù)的研究中緊函數(shù)定義從與形的兩個(gè)角度探索存在反函數(shù)的條件，達(dá)到對(duì)反函數(shù)概念本質(zhì)的理解。（3）過(guò)對(duì)同一坐標(biāo)系下

f(x)與f1y

的圖像研究，引發(fā)認(rèn)知沖突，從而理解互換

x、

的必要性。4）探討互為反函數(shù)函數(shù)關(guān)系，理解反函數(shù)的性質(zhì)與求法，并在解題的應(yīng)用中，強(qiáng)化反函數(shù)概念。（5）引導(dǎo)學(xué)生思考題的探究，深化反函數(shù)概念）生自我總結(jié)，進(jìn)一步體會(huì)反函數(shù)概念及其研究方法。最后，對(duì)于學(xué)生在課堂討論中出現(xiàn)的關(guān)于互為反函的函數(shù)關(guān)系的其它性質(zhì)，以作業(yè)形式留給同學(xué)們課外探究，然后在后面的課時(shí)中再研究。七、教學(xué)反思：/

1、緊扣課本，但又不死扣課建構(gòu)主義提倡情境式教學(xué)多數(shù)學(xué)習(xí)應(yīng)與具體情境有關(guān)在決與現(xiàn)實(shí)世界相關(guān)聯(lián)的問(wèn)題中，所建構(gòu)的知識(shí)才將更豐富、更有效和易于遷移。所以，我仍然應(yīng)用課本實(shí)例引入，但不同的是設(shè)計(jì)了幾個(gè)具體問(wèn)題，并抽取本質(zhì)帶動(dòng)復(fù)習(xí)函數(shù)概念，并在實(shí)際應(yīng)用中，讓學(xué)生感受反過(guò)來(lái)研x

是否是y

的函數(shù)的必要性，即讓學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)反函數(shù)的必要性，為引入新課作了鋪墊。同時(shí)，又設(shè)計(jì)函x32

與函數(shù)

x

y1.8

是否為相同函數(shù)問(wèn)題，一方面再次復(fù)習(xí)函數(shù)概念，另一方面為后面一般研究

(x)

與f

(y

的關(guān)系服務(wù)，達(dá)到分散難點(diǎn)的目的。在形成反函數(shù)概念的過(guò)程中，我拆成了三個(gè)環(huán)節(jié)教學(xué)，（）初步形成概念；2探究反函數(shù)存在的條件；）互換

x、

的必要性。我認(rèn)為這樣的處理，學(xué)生獲得的雙基是扎實(shí)的，對(duì)反函數(shù)概念的知識(shí)形成的體會(huì)是深刻的。我又應(yīng)用課本例題——求下函數(shù)的反函數(shù)但我分為兩環(huán)節(jié)應(yīng)用第一環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)成判斷題是否存在反函數(shù)并答為什么用理概念；第二環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)成書(shū)本問(wèn)題，用于鞏固反函數(shù)的求法，強(qiáng)化三個(gè)步驟。所不同的是，我又設(shè)計(jì)了個(gè)用圖像法表示的函數(shù)作為是否存在反函數(shù)的判斷題，通過(guò)幾何畫(huà)板實(shí)驗(yàn)，研究函