現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制校內(nèi)講稿演示文稿

現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制校內(nèi)講稿演示文稿目前一頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)優(yōu)選現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制校內(nèi)講稿ppt目前二頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)6.9Bang-Bang控制目前三頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)教學(xué)要求：1.學(xué)習(xí)泛函變分法，理解最優(yōu)控制的一般概念2.掌握利用變分法求最優(yōu)控制方法3.掌握狀態(tài)調(diào)節(jié)器，極小值原理重點(diǎn)內(nèi)容：最優(yōu)控制的一般問題及類型，泛函與變分，歐拉方程，橫截條件。變分法求有約束和無約束的最優(yōu)控制。連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理。有限和無限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器方法，Riccati方程求解。目前四頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)2.最優(yōu)控制：在系統(tǒng)狀態(tài)方程和約束條件給定的情況下，尋找最優(yōu)控制律，使衡量系統(tǒng)的性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)（最小或最大）極值控制。1.最優(yōu)控制理論是現(xiàn)代控制理論的核心，20世紀(jì)50年代發(fā)展起來的，已形成系統(tǒng)的理論。某一性能指標(biāo)最優(yōu)：時(shí)間最短，燃料消耗最少。3.主要內(nèi)容：變分法、極小值原理（龐特里亞金1958）、動(dòng)態(tài)規(guī)劃（貝爾曼1957)6.1概述目前五頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)例6.1.1最優(yōu)分配問題。有甲乙兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)，分別有水泥1500和1800包，向A、B、C三個(gè)工地運(yùn)送。甲庫(kù)1500包乙?guī)?800包A工地需900包B工地600包C工地1200包問題：如何發(fā)運(yùn)水泥，使運(yùn)費(fèi)最省。目前六頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)約束條件性能指標(biāo)選擇使運(yùn)費(fèi):線性最優(yōu)化問題不等式約束線性最優(yōu)化問題靜態(tài)最優(yōu)化問題目前七頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)例6.1.2飛船軟著陸問題。問題：如何選擇推力，使燃料消耗最少。2)末端條件邊界條件1)初始條件：目前八頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)3)控制約束（發(fā)動(dòng)機(jī)最大推力）燃料最省4)性能指標(biāo)選擇使動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題各個(gè)變量均是時(shí)間函數(shù)基本約束條件系統(tǒng)狀態(tài)方程控制約束控制域（取值范圍）性能指標(biāo)泛函求泛函極值一般形式目前九頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)6.2研究最優(yōu)控制的前提條件1.給出受控系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)描述（狀態(tài)方程）離散系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)2.明確控制域（容許控制）控制約束控制集（取值范圍）6.2.1前提條件3.明確初始條件初始狀態(tài)給定固定始端初始狀態(tài)任意自由始端初始狀態(tài)有約束可變始端若系統(tǒng)的初始時(shí)刻t0給定，則：目前十頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)4.明確終端條件若系統(tǒng)的終端時(shí)刻給定，則：終端狀態(tài)給定固定終端終端狀態(tài)任意自由終端終端狀態(tài)有約束可變終端5.給出性能指標(biāo)1）積分型性能指標(biāo)（拉格朗日問題）動(dòng)態(tài)指標(biāo)目前十一頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)2）終端型性能指標(biāo)（梅耶問題）終端指標(biāo)3）綜合型性能指標(biāo)（鮑爾扎問題）最優(yōu)控制問題（控制集）最優(yōu)控制問題的解存在條件：完全能控目前十二頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)6.2.2常見的最優(yōu)控制1.最少時(shí)間控制

它要求設(shè)計(jì)一個(gè)快速控制系統(tǒng)，使系統(tǒng)在最短時(shí)間內(nèi)從初態(tài)

終態(tài)2.最少燃料3.最少能量控制與消耗的功率成正比，如：通信衛(wèi)星的太陽能電池。推力，如：航天器攜帶燃料正比于推力目前十三頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)線性調(diào)節(jié)器（狀態(tài)調(diào)節(jié)器）1)有限時(shí)間：2)無限時(shí)間二次型性能指標(biāo)常見便于實(shí)現(xiàn)（線性反饋）目前十四頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)有限時(shí)間：5.線性跟蹤器線性狀態(tài)跟蹤線性輸出跟蹤無限時(shí)間目前十五頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)研究最優(yōu)控制的前提條件1.給出受控系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)描述（狀態(tài)方程）2.明確控制域（容許控制）控制約束控制集（取值范圍）3.明確初始條件最優(yōu)控制問題（控制集）4.明確終端條件5.給出性能指標(biāo)目前十六頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)6.2.3主要數(shù)學(xué)方法最優(yōu)控制前提條件一組方程或不等式解析法數(shù)值計(jì)算法，多項(xiàng)式插值目前十七頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)6.3靜態(tài)最優(yōu)化問題的解6.3.1一元函數(shù)的極值設(shè)：上的單值連續(xù)可微函數(shù)則1)2)最小(大)值：上極小(大)值中的最小(大)值目前十八頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)6.3.2多元函數(shù)的極值設(shè)：目前十九頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)海賽矩陣為正定矩陣目前二十頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)6.3.3具有等式約束條件的極值方法轉(zhuǎn)成無約束條件問題嵌入法拉格朗日乘子法設(shè)連續(xù)可微的目標(biāo)函數(shù)：等式約束條件為：目前二十一頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)拉格朗日乘子法設(shè)連續(xù)可微的目標(biāo)函數(shù)：等式約束條件為：式中構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：目前二十二頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)拉格朗日函數(shù)：則H取極值的必有條件變分法目前二十三頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)6.4離散時(shí)間系統(tǒng)的最優(yōu)控制（不考）6.4.1基本形式設(shè)離散系統(tǒng)n維狀態(tài)矢量r維輸入矢量最優(yōu)控制問題：尋求輸入矢量目標(biāo)函數(shù)J最小動(dòng)態(tài)指標(biāo)終端指標(biāo)1問題提出目前二十四頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)注意：對(duì)應(yīng)變量增加N倍離散系統(tǒng)如連續(xù)系統(tǒng)n維2.拉格朗日乘子法設(shè)目標(biāo)函數(shù)：約束條件為：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：目前二十五頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)：約束條件：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：目前二十六頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)極小值的必要條件：轉(zhuǎn)成無約束條件問題目前二十七頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)邊界條件6.4.2具有二次型性能指標(biāo)的線性系統(tǒng)設(shè)離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)目前二十八頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)尋求輸入矢量目標(biāo)函數(shù)J最小二次型性能指標(biāo)目前二十九頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)邊界條件目前三十頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)6.5連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)最優(yōu)控制的離散化處理（不考）設(shè)連續(xù)系統(tǒng)尋求輸入矢量目標(biāo)函數(shù)J最小1將系統(tǒng)離散化目前三十一頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)2離散系統(tǒng)最優(yōu)解3連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)解目前三十二頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)目前三十三頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)6.6泛函及其極值－－變分法6.6.1變分法的基本概念1.泛函：例：如圖求平面上兩固定點(diǎn)間的弧長(zhǎng)。解：目前三十四頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)這里自變量仍是一個(gè)函數(shù)，故泛函也稱函數(shù)的函數(shù)。宗量自變量宗量函數(shù)宗量函數(shù)的泛函設(shè)對(duì)于自變量，存在一類函數(shù)，對(duì)于每個(gè)函數(shù)，有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，則變量稱為依賴于函數(shù)的泛函數(shù)，簡(jiǎn)稱泛函，記為。1.泛函：目前三十五頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)2.泛函的極值如可積若泛函在任何一條與接近的曲線上都有：泛函若則若則求泛函的極值問題稱為變分問題，其方法為變分法。目前三十六頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)3.泛函的變分1)函數(shù)的微分2)泛函的變分設(shè)函數(shù)則其微分：求極值必要條件：設(shè)泛函則其增量：dx的線性連續(xù)函數(shù)目前三十七頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)的線性連續(xù)函數(shù)泛函的一階變分為：例6.6.1的高階無窮小項(xiàng)目前三十八頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)3)泛函變分的計(jì)算a.利用定義式計(jì)算b.利用下式計(jì)算例6.6.1(續(xù))目前三十九頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)證明：的線性連續(xù)函數(shù)的高階無窮小項(xiàng)目前四十頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)4.泛函的極值多元泛函的極值上達(dá)到極值的必要條件：可微泛函極小值極大值則同樣其取極值的必要條件為：設(shè)多元泛函為多元泛函的變分多元函數(shù)目前四十一頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)多元函數(shù)的極值設(shè)：目前四十二頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)例6.6.2求泛函的變分。解：目前四十三頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)6.6.2泛函極值的必要條件－－歐拉方程求極值軌線在上二次連續(xù)可微，且設(shè)泛函極值的必要條件：即泛函的一階變分：目前四十四頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)其中：uv/目前四十五頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)故泛函取極值的必要條件：不受約束任意歐拉方程目前四十六頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)橫截條件展開上式：繼續(xù)目前四十七頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)求極值軌線在上二次連續(xù)可微，且設(shè)泛函極值的必要條件：即泛函的一階變分：目前四十八頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)其中：對(duì)自由始端成立，則對(duì)固定始端更是成立。歐拉方程依然成立返回目前四十九頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)例：如圖求平面上兩固定點(diǎn)連線最短的曲線。解：目前五十頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)1).歐拉方程由邊界條件確定。四種邊界條件：a.固定端點(diǎn)：目前五十一頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)b.兩端自由：同理：目前五十二頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)c.始端自由：d.終端自由：目前五十三頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)6.6.2泛函極值的必要條件－－歐拉方程求極值軌線在上二次連續(xù)可微，且設(shè)泛函故：極值的必要條件：目前五十四頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)故泛函取極值的必要條件：歐拉方程橫截條件目前五十五頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)說明：1.歐拉方程和橫截條件只是泛函存在的必要條件，至于所求極值是極大值還是極小值應(yīng)由充分條件來定。

2.對(duì)于多數(shù)工程問題，可根據(jù)實(shí)際問題的物理含義直接作出判斷。目前五十六頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)6.6.3多元泛函極值的必要條件故泛函取極值的必要條件：1.歐拉方程求極值軌線在上二次連續(xù)可微，且設(shè)泛函目前五十七頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)2.橫截條件分四種情況（略）例：求下述泛函的極值曲線：邊界條件為：目前五十八頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)例：求下述泛函的極值曲線：邊界條件為：解：歐拉方程目前五十九頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)解(1)(2)式得：由邊界條件知為固定端點(diǎn)問題：目前六十頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)待求量6.6.4可變端點(diǎn)問題求極值軌線在上二次連續(xù)可微，已知設(shè)泛函（固定始端）攔截問題終端可沿著靶線變動(dòng)，且具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)。目前六十一頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)故泛函取極值的必要條件：求極值軌線待求量目前六十二頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)1).歐拉方程2).橫截條件固定始端終端橫截條件展開得：二者關(guān)系目前六十三頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)二者關(guān)系終端橫截條件:目前六十四頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)分析：終端橫截條件:a.若靶線為平行于t軸的直線，即則上式為：b.若靶線為垂直于t軸的直線，即則上式為：目前六十五頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)3).若終端固定，始端沿給定曲線D(t)變動(dòng)，則有a.若D(t)為平行于t軸的直線，即則上式為：b.若D(t)為垂直于t軸的直線，即則上式為：目前六十六頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)4).同理對(duì)多變量泛函，有矢量形式：歐拉方程終端橫截條件終端約束曲面目前六十七頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)例：求從到直線距離最短的曲線。1).歐拉方程目前六十八頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)3).初始條件最優(yōu)軌線：最優(yōu)終端時(shí)刻：2).終端橫截條件:目前六十九頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)6.6.5具有綜合型性能泛函的情況綜合型性能指標(biāo)積分型性能指標(biāo)終端型性能指標(biāo)狀態(tài)矢量泛函取極值的必要條件：1).歐拉方程2).橫截條件固定始端終端條件目前七十頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)6.7用變分法求解連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制問題－－有約束條件的泛函極值6.7.1拉格朗日問題設(shè)系統(tǒng)其中n維連續(xù)可微的矢量函數(shù)設(shè)性能泛函求（固定始端）終端狀態(tài)自由目前七十一頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)有約束條件的泛函極值分析思路：利用拉格朗日乘子法將有約束條件的泛函極值問題轉(zhuǎn)換為無約束條件的泛函極值問題有約束條件的泛函極值分析方法：1.寫出約束方程：2.構(gòu)造增廣泛函：目前七十二頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)2.構(gòu)造增廣泛函：則：哈密頓函數(shù)式中：拉格朗日乘子矢量令：無約束條件的泛函極值問題狀態(tài)方程約束目前七十三頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)3.泛函極值的必要條件其中：故目前七十四頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)哈密頓函數(shù)狀態(tài)方程伴隨方程（協(xié)態(tài)方程）哈密頓正則方程控制方程橫截條件(U不受約束)受約束極小值原理故也可直接用歐拉方程推導(dǎo)。目前七十五頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)增廣泛函:歐拉方程:目前七十六頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)橫截條件a.固定端點(diǎn)：b.自由端點(diǎn)：終端自由目前七十七頁\總數(shù)八十九頁\編于五點(diǎn)4.求最優(yōu)控制的步驟：4)利用邊界條件定解。例:已知系統(tǒng)性能泛函且有求1)