章數(shù)學(xué)課件第章微分中值定理及其應(yīng)用

§4函數(shù)的極值與最大(小)值二、最大值與最小值極大(小)值是局部的最大(小)值,它一、極值判別們將逐一研究函數(shù)的這些幾何特征.有著很明顯的幾何特征.在本節(jié)中,我返回2一、函數(shù)的極值及其求法3定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).4說明：1.極值不一定存在；2.極值必在定義區(qū)間的內(nèi)部取到；3.極值是局部性的概念,極大值不一定比極小值大.x

yO無極值.設(shè)函數(shù)

f在點(diǎn)

x0的某鄰域內(nèi)有定義,且在點(diǎn)

x0可定理5.3(費(fèi)馬定理)導(dǎo).如果

x0

是

f的極值點(diǎn)，則必有上述定理的幾何意義：如果

f在極值

x=x0處可導(dǎo)，則該點(diǎn)處的切線平行于

x軸.一、極值判別費(fèi)馬定理的逆命題亦不真.例如6此外,不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn),

x

yO但函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)也不一定是極值點(diǎn)，

x

yO7

這就是說,極值點(diǎn)要么是駐點(diǎn),要么是不可導(dǎo)點(diǎn),兩者必居其一.

我們把駐點(diǎn)和孤立的不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為極值可疑點(diǎn).

下面給出三個(gè)充分條件,用來判別這些極值可疑點(diǎn)是否為極值點(diǎn).

定理6.10(極值的第一充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在例1解穩(wěn)定點(diǎn)為

x=0，沒有不可導(dǎo)點(diǎn).為了更好地加以判別，我們列表如下：不存在即是極小值.不存在極小值

即-11-2-11(1)-1-11O1(2)定理6.11(極值的第二充分條件)設(shè)f(x)在點(diǎn)x0證同樣我們僅證(i).因?yàn)樗杂杀Ｌ?hào)性，由極值判別的第一充分條件得知:x0是極小值點(diǎn).解由定理6.11,

x=6是極小值點(diǎn),f(6)=108是極小值.試問這里為什么不考慮不可導(dǎo)點(diǎn)x=0?例2.定理6.平12(極值員的第錘三充軋分條搬件)設(shè)f在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)存在直到對(duì)于的情形,可借助于更高階的視導(dǎo)數(shù)旺來判饒別.(ii)n為奇數(shù)時(shí),

不是極值點(diǎn).證由泰基勒公轎式,有其中它在某鄰域內(nèi)恒與同號(hào).這就說明了

不是極值點(diǎn).例3所以由第二判別法,解求得極小值為因此x=1不是共極值鏟點(diǎn)(n=3是奇摧數(shù)).又因由于(n=

4是偶數(shù)).注第三頑充分詠條件臂并不遣是萬賠能的.例如x=宜0是22極值躲是局練部性季的,餓而最木值是捷全局榴性的揀.二、震最大妨值與倦最小囑值23具體改求法坐：例4在區(qū)間上的最大、最小值.解所以在x品=0連續(xù)脆，由導(dǎo)數(shù)捆極限沈定理推知故在x帳=0不可翅導(dǎo).所以這樣肝就得益到不值可導(dǎo)基點(diǎn)為0,穩(wěn)定繼點(diǎn)為1,卸2藏.又因27在許嘴多實(shí)沫際問部題中詠，往乎往用的到求材函數(shù)推最值韻的下修述方雖法：例5一艘廳輪船床在航范行中舞的燃草料費(fèi)繭和它瞧的速拘度的夸立方錯(cuò)成正靜比.已知茄當(dāng)速質(zhì)度為10泊(k診m/仗h)，燃炒料費(fèi)輕為每傲小時(shí)6元，來而其麗他與武速度遠(yuǎn)無關(guān)垂的費(fèi)熄用為采每小保時(shí)96元.問輪惠船的展速度唇為多耐少時(shí)叼，每拐航行1k午m所消圍耗的扮費(fèi)用雜最小逗？例6如圖借所示,剪去椒正方校形時(shí),盒子找