最大公因數(shù)最小公倍數(shù)習(xí)題

最大公因數(shù)最小公倍數(shù)習(xí)題------------------------------------最大公因數(shù)最小公倍數(shù)習(xí)題------------------------------------最大公因數(shù)最小公倍數(shù)習(xí)題最大公因數(shù)最小公倍數(shù)習(xí)題公約數(shù)、公倍數(shù)問(wèn)題，是指用求幾個(gè)數(shù)的（最大）公約數(shù)或（最?。┕稊?shù)的方法來(lái)解答的應(yīng)用題。這類(lèi)題一般都沒(méi)有直接指明是求公約數(shù)或公倍數(shù)，要通過(guò)對(duì)已知條件的仔細(xì)分析，才能發(fā)現(xiàn)解題方法。解答公約數(shù)或公倍數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵是：從約數(shù)和倍數(shù)的意義入手來(lái)分析，把原題歸結(jié)為求幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)問(wèn)題。例如：1、有一個(gè)長(zhǎng)方體的木頭，長(zhǎng)3.25米，寬1.75米，厚0.75米。如果把這塊木頭截成許多相等的小立方體，并使每個(gè)小立方體盡可能大，小立方體的棱長(zhǎng)及個(gè)數(shù)各是多少？解：根據(jù)題意，小立方體一條棱長(zhǎng)應(yīng)是長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、厚各數(shù)的最大公約數(shù)。即：（325、175、75）=25（厘米）因?yàn)?25÷25=13175÷25=775÷25=3所以13×7×3=273（個(gè)）答：能分為小立方體273個(gè)，小立方體的每條棱長(zhǎng)為25厘米。2、有一個(gè)兩位數(shù)，除50余2，除63余3，除73余1。求這個(gè)兩位數(shù)是多少？解：這個(gè)兩位數(shù)除50余2，則用他除48（52－2）恰好整除。也就是說(shuō)，這個(gè)兩位數(shù)是48的約數(shù)。同理，這個(gè)兩位數(shù)也是60、72的約數(shù)。所以，這個(gè)兩位數(shù)只可能是48、60、72的公約數(shù)1、2、3、4、6、12，而滿足條件的只有公約數(shù)12，即（48、60、72）=12。答：這個(gè)兩位數(shù)是12。幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)，其中最大的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。應(yīng)用最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)方法求解的應(yīng)用題，叫做公約數(shù)與公倍數(shù)問(wèn)題。解題的關(guān)鍵是先求出幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)或最小公倍數(shù)，然后按題意解答要求的問(wèn)題。三、考點(diǎn)分析最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的性質(zhì)。（1）兩個(gè)數(shù)分別除以它們的最大公因數(shù)，所得的商一定是互質(zhì)數(shù)。（2）兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的因數(shù)，都是這兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)，（3）兩個(gè)自然數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。四、典型例題例1、有三根鐵絲，一根長(zhǎng)18米，一根長(zhǎng)24米，一根長(zhǎng)30米?，F(xiàn)在要把它們截成同樣長(zhǎng)的小段。每段最長(zhǎng)可以有幾米？一共可以截成多少段？分析與解：截成的小段一定是18、24、30的最大公因數(shù)。先求這三個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，再求一共可以截成多少段。解答：（18、24、30）＝6（18+24+30）÷6＝12段答：每段最長(zhǎng)可以有6米，一共可以截成12段。例2、一張長(zhǎng)方形紙，長(zhǎng)60厘米，寬36厘米，要把它截成同樣大小的長(zhǎng)方形，并使它們的面積盡可能大，截完后又正好沒(méi)有剩余，正方形的邊長(zhǎng)可以是多少厘米？能截多少個(gè)正方形？分析與解：要使截成的正方形面積盡可能大，也就是說(shuō)，正方形的邊長(zhǎng)要盡可能大，截完后又正好沒(méi)有剩余，這樣正方形邊長(zhǎng)一定是60和36的最大公因數(shù)。解答：（36、60）＝12（60÷12）×（36÷12）＝15個(gè)答：正方形的邊長(zhǎng)可以是12厘米，能截15個(gè)正方形。例3、用96朵紅玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。若每個(gè)花束里的紅玫瑰花的朵數(shù)相同，白玫瑰花的朵數(shù)也相同，最多可以做多少個(gè)花束？每個(gè)花束里至少要有幾朵花？分析與解：要把96朵紅玫瑰花和72朵白玫瑰花做成花束，每束花里的紅白花朵數(shù)同樣多，那么做成花束的個(gè)數(shù)一定是96和72的公因數(shù)，又要求花束的個(gè)數(shù)要最多，所以花束的個(gè)數(shù)應(yīng)是96和72的最大公因數(shù)。解答：（1）最多可以做多少個(gè)花束（96、72）＝24（2）每個(gè)花束里有幾朵紅玫瑰花96÷24＝4朵（3）每個(gè)花束里有幾朵白玫瑰花72÷24＝3朵（4）每個(gè)花束里最少有幾朵花4+3＝7朵例4、公共汽車(chē)站有三路汽車(chē)通往不同的地方。第一路車(chē)每隔5分鐘發(fā)車(chē)一次，第二路車(chē)每隔10分鐘發(fā)車(chē)一次，第三路車(chē)每隔6分鐘發(fā)車(chē)一次。三路汽車(chē)在同一時(shí)間發(fā)車(chē)以后，最少過(guò)多少分鐘再同時(shí)發(fā)車(chē)？分析與解：這個(gè)時(shí)間一定是5的倍數(shù)、10的倍數(shù)、6的倍數(shù)，也就是說(shuō)是5、10和6的公倍數(shù)，“最少多少時(shí)間”，那么，一定是5、10、6的最小公倍數(shù)。解答：［5、10、6］＝30答：最少過(guò)30分鐘再同時(shí)發(fā)車(chē)。例5、某廠加工一種零件要經(jīng)過(guò)三道工序。第一道工序每個(gè)工人每小時(shí)可完成3個(gè)；第二道工序每個(gè)工人每小時(shí)可完成12個(gè)；第三道工序每個(gè)工人每小時(shí)可完成5個(gè)。要使流水線能正常生產(chǎn)，各道工序每小時(shí)至少安排幾個(gè)工人最合理？分析與解：安排每道工序人力時(shí)，應(yīng)使每道工序在相同的時(shí)間內(nèi)完成同樣多的零件個(gè)數(shù)。這個(gè)零件個(gè)數(shù)一定是每道工序每人每小時(shí)完成零件個(gè)數(shù)的公倍數(shù)。至少安排的人數(shù)，一定是每道工序每人每小時(shí)完成零件個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。解答：（1）在相同的時(shí)間內(nèi)，每道工序完成相等的零件個(gè)數(shù)至少是多少？［3、12、5］＝60（2）第一道工序應(yīng)安排多少人60÷3＝20人（3）第二道工序應(yīng)安排多少人60÷12＝5人（4）第三道工序應(yīng)安排多少人60÷5＝12人例6、有一批機(jī)器零件。每12個(gè)放一盒，就多出11個(gè)；每18個(gè)放一盒，就少1個(gè)；每15個(gè)放一盒，就有7盒各多2個(gè)。這些零件總數(shù)在300至400之間。這批零件共有多少個(gè)？分析與解：每12個(gè)放一盒，就多出11個(gè)，就是說(shuō)，這批零件的個(gè)數(shù)被12除少1個(gè)；每18個(gè)放一盒，就少1個(gè)，就是說(shuō)，這批零件的個(gè)數(shù)被18除少1；每15個(gè)放一盒，就有7盒各多2個(gè)，多了2×7＝14個(gè)，應(yīng)是少1個(gè)。也就是說(shuō)，這批零件的個(gè)數(shù)被15除也少1個(gè)。解答：如果這批零件的個(gè)數(shù)增加1，恰好是12、18和15的公倍數(shù)。1、剛好能12個(gè)、18個(gè)或15個(gè)放一盒的零件最少是多少個(gè)［12、18、15］＝1802、在300至400之間的180的倍數(shù)是多少180×2＝3603、這批零件共有多少個(gè)360-1＝359個(gè)例7、公路上一排電線桿，共25根。每相鄰兩根間的距離原來(lái)都是45米，現(xiàn)在要改成60米，可以有幾根不需要移動(dòng)？分析與解：不需要移動(dòng)的電線桿，一定既是45的倍數(shù)又是60的倍數(shù)。要先求45和60的最小公倍數(shù)和這條公路的全長(zhǎng)，再求可以有幾根不需要移動(dòng)。解答：1、從第一根起至少相隔多少米的一根電線桿不需移動(dòng)？［45、60］＝180（米）2、公路全長(zhǎng)多少米？45×（25-1）＝1080（米）3、可以有幾根不需要移動(dòng)？1080÷180+1＝7（根）例8、兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是4，最小公倍數(shù)是252，其中一個(gè)數(shù)是28，另一個(gè)數(shù)是多少？分析與解：根據(jù)“兩個(gè)自然數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積?！毕惹蟪?與252的乘積，再用積去除以28即可。4×252÷28=1008÷28=36【模擬試題】1、24的因數(shù)共有多少個(gè)？36的因數(shù)共有多少個(gè)？24和36的公因數(shù)是哪幾個(gè)？其中最大的一個(gè)是？2、一個(gè)長(zhǎng)方形的面積是323平方厘米，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬各是多少厘米？（長(zhǎng)和寬都是素?cái)?shù)）3、兩個(gè)自然數(shù)的乘積是420，它們的最大公因數(shù)是12，求它們的最小公倍數(shù)。4、兩個(gè)自然數(shù)相乘的積是960，它們的最大公因數(shù)是8，這兩個(gè)數(shù)各是多少？5、兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是126，最大公因數(shù)是6，已知兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)數(shù)是18，求另一個(gè)數(shù)。6、有一種長(zhǎng)51厘米，寬39厘米的水泥板，用這種水泥板鋪成一塊正方形地，至少需要多少塊水泥板？7、有三根鐵絲長(zhǎng)度分別為120厘米、90厘米、150厘米，現(xiàn)在要把它們截成相等的小段，每根無(wú)剩余，每段最長(zhǎng)多少厘米？一共可以截成多少段？8、有兩個(gè)不同的自然數(shù)，它們的和是48，它們的最大公因數(shù)是6，求這兩個(gè)數(shù)。9、同學(xué)們參加野餐活動(dòng)準(zhǔn)備了若干個(gè)碗，如果每人分得3個(gè)碗或4個(gè)碗或5個(gè)碗，都正好分完，這些碗最少有多少個(gè)？10、有A、B兩個(gè)兩位數(shù)，它們的最大公因數(shù)是6，最小公倍數(shù)是90，則A、B兩個(gè)自然數(shù)的和是多少？【試題答案】1、24的因數(shù)共有多少個(gè)？36的因數(shù)共有多少個(gè)？24和36的公因數(shù)是哪幾個(gè)？其中最大的一個(gè)是？答：24的因數(shù)共有8個(gè)，36的因數(shù)共有9個(gè)，24和36的公因數(shù)是1、2、3、4、6、12。其中最大的一個(gè)是12。2、一個(gè)長(zhǎng)方形的面積是323平方厘米，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬各是多少厘米？（長(zhǎng)和寬都是素?cái)?shù)）答：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是19厘米，寬是17厘米。3、兩個(gè)自然數(shù)的乘積是420，它們的最大公因數(shù)是12，求它們的最小公倍數(shù)。答：它們的最小公倍數(shù)是35。4、兩個(gè)自然數(shù)相乘的積是960，它們的最大公因數(shù)是8，這兩個(gè)數(shù)各是多少？答：這兩個(gè)數(shù)分別是24和40。5、兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是126，最大公因數(shù)是6，已知兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)數(shù)是18，求另一個(gè)數(shù)。答：另一個(gè)數(shù)是42。6、有一種長(zhǎng)51厘米，寬39厘米的水泥板，用這種水泥板鋪成一塊正方形地，至少需要多少塊水泥板？答：至少需要221塊水泥板。7、有三根鐵絲長(zhǎng)度分別為120厘米、90厘米、150厘米，現(xiàn)在要把它們截成相等的小段，每根無(wú)剩余，每段最長(zhǎng)多少厘米？一共可以截成多少段？答：每段最長(zhǎng)30厘米，一