第五章剛體的轉(zhuǎn)動改

第五章剛體的轉(zhuǎn)動§5-1剛體的平動、轉(zhuǎn)動和定軸轉(zhuǎn)動§5-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量§5-3轉(zhuǎn)動動能力矩的功§5-4角動量角動量守恒定律理解描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的基本物理量的定義和性質(zhì)；理解力矩、轉(zhuǎn)動動能和轉(zhuǎn)動慣量的物理意義；掌握定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律和角動量定理；掌握定軸轉(zhuǎn)動的機械能守恒定律和角動量守恒定律。教學(xué)要求§5-1剛體的平動、轉(zhuǎn)動和定軸轉(zhuǎn)動一、剛體（理想模型）剛體上的任一直線，在各時刻的位置始終保持彼止平行的運動，叫做平動。因為在平動時剛體上各點的運動軌跡、各時刻的位移、速度、加速度都相同，整個剛體可當作質(zhì)點來處理。二、平動和轉(zhuǎn)動（剛體的二種基本運動形態(tài)）1、平動在任何外力作用下，形狀大小均不發(fā)生改變的物體稱為剛體?；蛘哒f運動中物體上任二點的間距不變。1.理想模型；2.在外力作用下，任意兩點間均不發(fā)生相對位移；3.內(nèi)力無窮大的特殊質(zhì)點系。AB剛體的平動如果剛體上的任意一條直線的方位在運動中變了，則稱剛體作轉(zhuǎn)動。若軸線固定不動，則稱定軸轉(zhuǎn)動。2、轉(zhuǎn)動

剛體的一般運動可視為平動和轉(zhuǎn)動的合成運動。如：滾動—軸心的平動+繞軸心的轉(zhuǎn)動拋體—質(zhì)心的拋物線運動+繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動進動—繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動+轉(zhuǎn)軸繞定軸的轉(zhuǎn)動描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量1.角位置，角位移yx0P(t)P(t+dt)d運動方程：角位置：位矢與ox

軸夾角。角位移d：dt

時間內(nèi)角位置增量。1、剛體上各質(zhì)點的角位移，角速度和角加速度均相同；2、各質(zhì)點都在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)運動，且作圓周運動。圓心在轉(zhuǎn)軸上。三、定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動的特點：定軸轉(zhuǎn)動只有兩個轉(zhuǎn)動方向。3.線量與角量的關(guān)系方向垂直于和組成的平面2.角速度和角加速度規(guī)定：位矢從ox

軸逆時針方向轉(zhuǎn)動時角位置為正，反之，為負。yx0△θ△s若是定值，剛體的運動稱為：若是定值，剛體的運動稱作：勻角速轉(zhuǎn)動勻變速轉(zhuǎn)動（或勻加速轉(zhuǎn)動)剛體的定軸轉(zhuǎn)動的公式與一維直線運動的公式相似：為恒矢為恒值例1、一飛輪作減速運動，其角加速度與角速度關(guān)系為解：⑴ω0α=-

kω，k為比例系數(shù)，設(shè)初始角速度為ω0。求：

⑴飛輪角速度與時間的關(guān)系；

⑵當角速度由ω0→ω0/2時，在此時間內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。(2)當角速度由ω0→ω0/2時,所需時間為t：在此時間內(nèi)車輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)=一、力矩

1、定義：轉(zhuǎn)軸到力的作用點的矢徑與作用力的叉積。力矩的表示式：大小：2、注意：①合力矩≠合力的力矩合力矩=力矩的和(矢量和）（對定軸轉(zhuǎn)動而言為代數(shù)和）

②合力為零，合力矩不一定為零方向：F1F2

轉(zhuǎn)軸（F1=F2）§5-2力矩、轉(zhuǎn)動定律、轉(zhuǎn)動慣量合力矩為零，合力不一定為零④當力不在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)，只有對轉(zhuǎn)軸力矩有貢獻。問：一對作用力與反作用力的力矩和等于多少？零由此推知：質(zhì)點組對任一軸的內(nèi)力矩之和為零。F1F2力矩合力③中心力（過轉(zhuǎn)軸的力）的力矩≡0。力矩：垂直和構(gòu)成的平面。中學(xué)表為：合力矩：M只有兩個方向，可用正、負表示。而且有：與轉(zhuǎn)動垂直但通過轉(zhuǎn)軸的力對轉(zhuǎn)動不產(chǎn)生力矩；與轉(zhuǎn)軸平行的力對轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩；剛體內(nèi)各質(zhì)點間內(nèi)力矩的合為零。歸結(jié)起來：odP∥⊥力矩是改變轉(zhuǎn)動狀態(tài)（即產(chǎn)生角加速度）的原因。轉(zhuǎn)動物體也有保持原有轉(zhuǎn)動狀態(tài)不變的慣性——轉(zhuǎn)動慣性，實驗發(fā)現(xiàn)：物體的角加速度與力矩成正比，與轉(zhuǎn)動慣性成反比。若用J表示轉(zhuǎn)動慣性（J稱為轉(zhuǎn)動慣量）則有：在國際單位制中，k=1則上式為它說明了力矩的瞬時作用規(guī)律。轉(zhuǎn)動定律相當重要，其在轉(zhuǎn)動中的地位就相當于質(zhì)點運動中的牛頓第二定律。二、轉(zhuǎn)動定律把剛體看作質(zhì)元的集合，對用牛頓第二定律的切向式與法向式。設(shè)一剛體繞定軸轉(zhuǎn)動，某質(zhì)元受內(nèi)力和外力作用轉(zhuǎn)動定律可由牛頓第二定律推求：矢量式：法向式：切向式：轉(zhuǎn)軸以遍乘切向式兩端：將遍貪乘悼后的張切向熱式求綁和得糠：剛體慌所受慢的合百外力尾矩：（內(nèi)綠力不幕改變嗚角動眼量）定義：轉(zhuǎn)動煎定律注意：（葉1）M,J,均對料同一孫軸而執(zhí)言，出且具乞有瞬煎時性；（2依）改無變剛興體轉(zhuǎn)碑動狀針態(tài)的劍是力竄矩；（3識）轉(zhuǎn)劇動慣槐量是猴剛體政轉(zhuǎn)動擾慣性汪的度蠟量。牛頓洪第二防定律穗與轉(zhuǎn)貸動定鏟律的約對應(yīng)攤關(guān)系物理怒量：盆質(zhì)點m剛體JM規(guī)織律：莖質(zhì)點肉牛獅頓第躲二定俘律剛體羅轉(zhuǎn)考動定圍律不一代定例：射問：議力矩M大，青是否大？不一寶定大，繼是否M大元？（M大，大，的變貌化大取?？蔀槟?）（大，珠并不榨代表愁它的糠變化壁大，謀有可伍能它血的M=帖0，勻角遼速轉(zhuǎn)痕動。奮）對分曠離的蒸質(zhì)點敬組：2、轉(zhuǎn)動供慣量賴的物慣理意握義：J是描昌述剛稠體轉(zhuǎn)貸動慣背性大危小的簡量度鍋。三、既轉(zhuǎn)動備慣量1、光轉(zhuǎn)動粱慣量菠的定賴義：對單趟個質(zhì)北點：m1r1m2r2m3r3轉(zhuǎn)軸對質(zhì)秋量連發(fā)續(xù)分冶布的呀剛體淡：轉(zhuǎn)軸dmJ=mr2，r為質(zhì)響點到蹄轉(zhuǎn)軸醫(yī)的距旗離。①與剛保體的秋總質(zhì)儉量有濃關(guān)②與質(zhì)顧量的趨分布懶有關(guān)③與轉(zhuǎn)乘軸的映位置州有關(guān)4、轉(zhuǎn)動似慣量J的計算握方法：（可將伯質(zhì)量逆元變附為線緊元、嬸面元司、體理元積桐分求變得）3、J與下驕列因波素有咸關(guān)：例1、有菜一均園勻細逗桿，附桿長乓為l，質(zhì)量憲為m，c為桿褲的中恥點。笨設(shè)轉(zhuǎn)宵軸oo’通過c點且借與桿灑垂直徑，桿延繞軸率轉(zhuǎn)動倍，求敗轉(zhuǎn)動下慣量Jc=？解：評取x軸方勢向如犁圖，罷桿的裳線密破度為叉=m/l，取小墳質(zhì)元dm=嚇dx，則0x0’0xdxC若將勉轉(zhuǎn)軸封移到A點，倉求JA=？仍有盤小質(zhì)奧元dm淺=dx，（=照m/社l）x0’xdxA0C可見皺轉(zhuǎn)軸廟不同致，轉(zhuǎn)翻動慣蕩量是室不同償?shù)?。泄那么需將轉(zhuǎn)崖軸從C點平敲行移潤到A點轉(zhuǎn)促動慣駱量改需變了私多少新？移項忌得：JA=績JC+md2x0’xdxA0Cdd是轉(zhuǎn)軸0’0到質(zhì)牌心的遼距離惹。剛體曬對某澆軸的垃轉(zhuǎn)動橡慣量J，等于眼剛體檔對通扇過質(zhì)爸心的平行憤軸的轉(zhuǎn)內(nèi)動慣辜量Jc，加上析剛體潑質(zhì)量m乘以創(chuàng)兩平饒行軸吵之間甜的距障離d的平孝方。序即：dCB過質(zhì)心平行軸平行蝴軸定守理：圓環(huán)轉(zhuǎn)軸通過中心與環(huán)面垂直圓環(huán)轉(zhuǎn)軸沿直徑圓盤轉(zhuǎn)軸通過中心與盤面垂直圓筒轉(zhuǎn)軸沿幾何軸圓柱體轉(zhuǎn)軸沿幾何軸圓柱體轉(zhuǎn)軸過中心與幾何軸相垂細棒轉(zhuǎn)軸過中心與棒相垂細棒轉(zhuǎn)軸過端點與棒相垂球體轉(zhuǎn)軸沿直徑球殼轉(zhuǎn)軸沿直徑幾種宏常用疲簡單課幾何前形狀增、密貸度均劣勻物殿體的低轉(zhuǎn)動躲慣量例2、質(zhì)量漿為m、長度熟為l的均紅質(zhì)細持直棍，對富通過并其中叢心O且與糊棍斜靠交成避角的廳軸的呼轉(zhuǎn)動信慣量夕。解：山取OX軸如煩圖所每示，振則棍相上任一段變元dx的質(zhì)允量歡，至轉(zhuǎn)脖軸的吹距離轉(zhuǎn)動罩慣量這：XdxOrx②過俱棒一修端O’、仍與畏棍斜抱交成營角的軸究的轉(zhuǎn)娛動慣將量Jo’。討論晶：①當床時，盒即籌為棍地對于疫過它將的中籮心且晨與棍垂墳直的販轉(zhuǎn)軸平的轉(zhuǎn)價動慣轟量。XdxdOrxO

’由平功行軸樓定理萄：例3、求輝質(zhì)量詳為m，半徑神為R的細宣圓環(huán)富對過規(guī)環(huán)心港垂直則于環(huán)晨面的姨轉(zhuǎn)軸邊的轉(zhuǎn)襲動慣需量。解：予圓環(huán)腫的線止密度耽為敢=m/巴2盆R環(huán)上卻取小紫質(zhì)元dm杰=慣d換l拴=跡R姥d顆則dld軸例4、求遵質(zhì)量個為m，半徑慣為R的薄棟圓盤努對過輕圓心概垂直睜于盤隙面的膝轉(zhuǎn)軸自的轉(zhuǎn)狂動慣埋量。解：蜜圓盤箱的面孕密度泳為慕=m/跟R2取一檢半徑班為r，寬為dr的圓鋼環(huán)為也質(zhì)元dm=著2rd盆r注意燭：轉(zhuǎn)動氏慣量云的計挪算只稠能對尊規(guī)則砌物體鉛進行奇，不圣規(guī)則鬼的物概體的季轉(zhuǎn)動蠅慣量舞通常敬只能伐用實炭驗的主方法妥測量吳。rdr軸即圓磚盤對牧其中亞心軸桿的轉(zhuǎn)漁動慣鉗量為J墓=m耳R2/2。例5、如脆圖所犬示，沉求大史圓盤莊的實國心部柔分對O軸（繭垂直塊于盤黨面）漂的轉(zhuǎn)造動慣擇量。也（惹已知調(diào)大盤禽半徑R=塊2r，質(zhì)量輝為M）解：裁先將螺小盤唯補上樂面密惰度相損同的交剛體切，使觀之質(zhì)丑量變春為M’，而小拼盤的氣質(zhì)量趨為m，由于暢轉(zhuǎn)動配慣量謊有可屬加性污，可痰以先盡分別借求出段大盤士和小皆盤對O軸的碰轉(zhuǎn)動尿慣量們，再革把小門盤的祖除去孔即得剩大盤笨實心捎部分恩對O軸的某轉(zhuǎn)動佳慣量揪。補齊掏后大白盤對O軸的僵轉(zhuǎn)動幅慣量漏：J1=萄M’R2/2小盤勉對O軸的躬轉(zhuǎn)動釣慣量防：J2=饅mr2/2+伶mr2=3mr2/20RMrrm所以嗓實心叼部分社對O軸的棄轉(zhuǎn)動艙慣量懲為：例6、一收質(zhì)量汁為M、半徑捎為R的定耗滑輪洪上面柜繞有作細繩童，繩介的一姐端固僅定在拐滑輪群上（傷略去鼻輪軸挨處的減摩檫撇，繩稼不可箱伸長拼不計葬質(zhì)量陵），耀另一錯端掛弄有一畜質(zhì)量否為m的物斤體而劇下垂蹲。求犧物體m由靜亞止下遮落h高度都時的背速度哪和此蹦時輪自的角牢速度引。解：薪①對基象：M剛體m質(zhì)點②受霜力分猜析：語如圖樸所示③依英牛頓撕第二懸定律根與轉(zhuǎn)倘動定魂律列檢方程露（注努意T1=T2=T）對物浙體有里：mg-T會=攀m惕a對滑記輪有援：TR=J=M燃R2/2角量窗和線扔量的俱關(guān)系晃：a困=跨R運動張學(xué)關(guān)罰系：v2=v02+2ah蛙=2ahhT1T2mgmmM④解甩方程扁得：在該蠟題中變?nèi)绻以诨幂喩嫌杉右徊春懔鹁?，加使物制體以v0的速引度勻優(yōu)速上渡升，科撤去盤力矩象后，況問過唉多少糖時間借后滑立輪開鎮(zhèn)始反催向運研動？解：樂分析般：撤邀去力偉矩后拘，滑胞輪和巖物體題受力壺和前簽面完筍全一妨樣掛。因騎此對該物體搜應(yīng)用陣牛頓亮第二翠定律斗和對貼滑輪遞應(yīng)用肢轉(zhuǎn)動政定律栗的形獨式完苗全一工樣。T1T2mgmMv0對物穴體有置：mg-T診=墓m劍a①對滑趁輪有岸：TR=J=MR2/2富②角量卵和線睬量的貢關(guān)系務(wù)：a緒=瀉R③運動相學(xué)關(guān)理系：v=v0+戀at揮=首0④由第征1、身2、衡3個隨方程昂可解紀得：由第己4個殲方程御可解階得：T1T2mgmMv0右圖森中，件滑輪橡兩邊爐張力棉不相宿同橫，兩物坑體的魚加速常度相鍛同。傅（繩眉不可阻伸長鏟）M1m1m2T2T1T2T12aam1gm2gM2TT1Mm1m2T1T1aam1gm2gT2T2解：（1）選細桿、剛體為研究對象受力與受力矩分析如圖由轉(zhuǎn)動定律有方程：（2磁）由于槽力矩M=尚m愚g（l擺/2存）co或s屬變漏力矩冒，故煮由求角鐘速度時用鑄積分匪法。得例7、質(zhì)精量m、長為l的均昌質(zhì)細漲桿，名可繞撕過固娘定端O的水銜平軸排轉(zhuǎn)動衡，將袖桿從薪水平欲位置侄由靜膨止釋顏放，神如圖姿。試砌求：吳⑴轉(zhuǎn)鏈到任鹿一角時，弱桿的些角加古速度等于倦多少紙？⑵此時絡(luò)的角強速度等于進多少惠？lrmgO②當普=爬/2（桿熟轉(zhuǎn)到怎豎直睡位置功）時夕，討論齊：①越小市，值越多??；越大姨，值越腿大。所以抄剛體頸的轉(zhuǎn)蚊動動專能:一、恭轉(zhuǎn)動粒動能剛體盾轉(zhuǎn)動叫時，幼各質(zhì)扒點都后繞定菌軸作湯圓運建動，滅都具斑有動域能。郵剛體魔的轉(zhuǎn)惕動動遺能就抓等于嗎剛體更中所顧有質(zhì)毛點的紋動能閉之和蓬。第i個質(zhì)狹點的域動能倆為1/難2mivi2=1/弊2miri22則剛貪體總要動能溉為與平企動動窮能形待式相矩同，執(zhí)量綱隊也相灣同，辛單位澡也相肉同。[Ek]顛=凳[m徐][吹r2][2]做=你ML2T-2§5潛-3旁轉(zhuǎn)動腎動能勺、力霧矩的血功轉(zhuǎn)軸dm剛體昏轉(zhuǎn)過d角，合外竭力F作的莫元功飛為：二、繞力矩痰的功M：Xd

rds0當剛域體在F力作跳用下葡，從1轉(zhuǎn)到2時所稅作的緩功為咸：因為煉外力咐的功屈也就畝是外瘡力矩全的功揮，所吸以有朋：轉(zhuǎn)動花動能搞定理：合轟外力愛(矩遷)對捧剛體釣所作雀的功龍，等聚于剛堂體轉(zhuǎn)猜動動鄙能的費增量宣。使用座中應(yīng)鉤注意：凡是岸涉及董桿的挎轉(zhuǎn)動守問題郵，應(yīng)鎖使用嚇轉(zhuǎn)動治動能哨定理每。①Ek轉(zhuǎn)是相使對量濾；②事轉(zhuǎn)動您動能蕩定理掀的表動達式篩為標稈量式踐。③粒應(yīng)用別該定惠理時逃只需口分析破始態(tài)殺與末楊態(tài)。解：紅對象財：桿由轉(zhuǎn)看動動煩能定雙理有聯(lián)：lrmgO下面董用轉(zhuǎn)屯動動觸能定揭理求幅解例6求解桿的角速度時，用轉(zhuǎn)動動能定理比用轉(zhuǎn)動定律簡單。求角加速度又是用轉(zhuǎn)動定律為簡單?？梢姡褐挥秀Q保守取力作禿功時考，機城械能飄守恒筋，即例用機綱械能負守恒癢定律衡求解糞例6中的解：缸在桿墨轉(zhuǎn)動采的過斷程中爬，由司于只套有重裝力作候功，輛故機漸械能忠守恒拒。取劫桿的掃水平揪位置狀為勢脖能零腸點，麻有三、皺機械冶能守食恒定閑律lrmgO一、宿質(zhì)點馳的角胳動量陪（動侍量矩六）和碎角動帳量守丸恒定棉律質(zhì)點粗的角亞動量：§5-4角動駕量定勁理艘角判動量波守恒貫定律質(zhì)點咱角動懸量原太理：質(zhì)點始所受代沖量劑矩牧=年質(zhì)點絡(luò)角動后量的口增量當質(zhì)道點所磚受合棚外力孤矩M=0時，爽質(zhì)點馳角動庫量守詠恒?！蕾|(zhì)點創(chuàng)角動勿量守承恒定覺律。例1、一礦小球精在光絲式滑平算面上森作圓即運動奴，小挑球被淹穿過延中心泄的線濫拉住劑。員開始螺時繩前半徑耀為r1，小球診速率濃為v1；后來么，往呼下拉哭繩子昨，使封半徑掀變?yōu)閞2，小球糕速率驅(qū)變?yōu)関2，求v2=？解：織受力求分析顛如圖釣。mg=N而T為小閘球圓傻運動史的向任心力筒，所業(yè)以合杜外力飽不等稠于T，但過六轉(zhuǎn)軸槐而無紐奉力矩炮。合喬外力錦矩為較0舟，勁小球翠角動良量守敢恒。有：L=mvr=恒量認即：mv1r1=mv2r2二、棕繞定址軸轉(zhuǎn)魂動的微剛體身的角獵動量在和角南動量該守恒裁定律剛體徹對定說軸轉(zhuǎn)度動的免角動極量等趁于剛品體中柴所有惹質(zhì)點蛛對轉(zhuǎn)尸軸的緊角動性量之駐和：由剛?cè)w的盡轉(zhuǎn)動申定律串：z0mi①暈剛體幕的角葛動量②響剛體岡的角丑動量挽定律剛體挑的角滋動量叨定理補：——滿剛體廳定軸匪轉(zhuǎn)動委的角喘動量封守恒辦定律當M=拋0時，即：葬剛體分受外就力矩夢為零助時，客動量賴矩（題角動迅量）梨保持厭不變卵。③剛體劫定軸娛轉(zhuǎn)動膨的角疾動量紫守恒獎定律合外翁力矩凝的沖表量矩燦=爽角計動量隙的增魚量。ⅲ.山推廣寺至人帆：人例非剛償體，案只要拼滿足孟人所火受的則人犁的角片動量綿也守筋恒。2。使用邀中的行幾種毯情況：ⅰ.姜一個箱剛體償（質(zhì)弊點）做：J不變皇，場不穴變，L=恒量帆。④塘注意賢守恒酸定律伯的使模用1。條件憲分析畢：育，即脊力矩葉的和肺為零漏。ⅱ.迎幾個恨剛體悟（幾水個質(zhì)共點）平：J變，隊變，嗎不飽變。合力叔=0，合恭力矩夏不一津定等呆于零添。合力傻矩而=0，合骨力不代一定藝等于揮零。但例2、一手根長氧為l、質(zhì)量盒為m1的均噸勻細魂棒，氏其一故端掛不在一疏個水還平光穗滑軸厘上而深靜止般于豎爸直位詞置。喂今有然一質(zhì)辨量為m2的子厭彈以錘水平炒速度v0射入尼棒下賣端距爆軸高鐵度為a處如舞圖。局子彈夜射入謠后嵌棟入其雅內(nèi)并請與棒撓一起鍋轉(zhuǎn)動止偏離駐鉛直制位置30o，求子揪彈水眠平速破度v0的大背小？解：墨①對妖象：妖棒：梯剛訴體子彈讓：排質(zhì)點②過程程分輔析：第一感階段鴉：m2與m1碰撞第二桃階段砍：m1+m2一起突轉(zhuǎn)動角動斧量守究恒：只有旱重力隱作功真，故機惡械能享守恒紋。am2m1③列茅方程仔（取擺炭軸處信為重返力勢騎能的濁零勢壯點）解得漁：例3、質(zhì)爪量為M、長為L的均騎勻直垃棒，貞可繞撕垂直唇于棒默的一豬端的虛水平好軸O無摩麥擦地澡轉(zhuǎn)動害。它帽原來屯靜止蠶在平慣衡位摸置上薪，現(xiàn)祝在有間一質(zhì)東量為m的彈倆性小孝球飛覽來，揀正好糞在棒芽下端話與棒扮垂直芝相碰清撞，唱碰撞叉后，澆棒從舟平衡揚位置覺處擺脫動到角最大街角度=300，如跪圖所沾示。求：擺（1）小棟球碰觀撞前娘的速康度v0=汽？（2）碰撞恒時，鐘小球借受到主多大緞的沖猜量？解（1垮）選小炒球和寸棒為科研究與對象辟，儉碰遭撞時坦系統(tǒng)睜所受把合外尊力矩踩為0，系個統(tǒng)角夕動量熄守恒議，有蓄：LmO由于是彈性碰撞，動能守恒有：碰撞雹后棒偵從平鉗衡位元置擺怕到角的渡過程陣中，臟系統(tǒng)對只有粉重力食作功賽，機霉械能勝守恒桌。有刻