計(jì)算聲學(xué)第三章非線性方程的數(shù)值解法

第三章非線性方程的數(shù)值解法科學(xué)技術(shù)研究與工程實(shí)踐中，經(jīng)常會(huì)遇到求解非線性方程的問題，一般歸納為求解方程其中是一元非線性實(shí)函數(shù)。根據(jù)是代數(shù)多項(xiàng)式還是超越函數(shù)（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等），方程分別稱為代數(shù)方程或超越方程。次代數(shù)方程：超越方程：目前一頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)第三章非線性方程的數(shù)值解法對(duì)于代數(shù)方程，根的數(shù)目與方程的次數(shù)相同，不高于4次的代數(shù)方程已有求根公式，高于4次的代數(shù)方程沒有精確的求根公式；超越方程則復(fù)雜得多，如果有解，可能是一個(gè)或多個(gè)，或無窮多個(gè)，沒有精確的求解公式。因此，需要研究如何采用一定的數(shù)值算法求得滿足一定精度要求的近似根。內(nèi)容提要：隔根區(qū)間的確定、二分法、迭代法、牛頓迭代法、弦截法重點(diǎn)內(nèi)容：迭代法、牛頓迭代法目前二頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)第三章非線性方程的數(shù)值解法數(shù)值方法求方程根的近似值，要解決三個(gè)問題：1、根的存在性：方程有沒有根，如果有根，有幾個(gè)；2、根的隔離：找出有根區(qū)間，把有根區(qū)間分成較小的子區(qū)間，每個(gè)子區(qū)間只有一個(gè)根（隔根區(qū)間）；3、根的精確化：確定了隔根區(qū)間后，可以用各種方法將某一近似根逐步精確化。按照一定的方法產(chǎn)生一個(gè)序列，此序列在一定的條件下收斂于方程的根。產(chǎn)生序列的不同方法就構(gòu)成了不同的方程求根方法。目前三頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)第三章非線性方程的數(shù)值解法應(yīng)用舉例：本征聲線求解本征聲線：從聲源出發(fā)經(jīng)過一定的傳播路徑到達(dá)接收點(diǎn)的聲線，接收點(diǎn)處的聲場是所有本征聲線能量疊加的結(jié)果。折射定律(Snell)：目前四頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)第三章非線性方程的數(shù)值解法對(duì)于給定的海洋環(huán)境，每條聲線的軌跡由聲線的起始掠射角唯一決定。設(shè)聲源位于處，接收點(diǎn)位于處，聲線軌跡方程：需要導(dǎo)出聲線以掠射角從聲源出發(fā)，經(jīng)過一定水平距離到達(dá)深度的計(jì)算公式，有改變，給定精度要求，進(jìn)行求解。目前五頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)第三章非線性方程的數(shù)值解法目前六頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§1根的搜索與二分法根的搜索定義（隔根區(qū)間）：如果在區(qū)間內(nèi)只有方程的一個(gè)根，則稱區(qū)間為隔根區(qū)間。隔根區(qū)間的確定描圖法逐步搜索法目前七頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)介值定理：定理1：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且，則方程在上至少有一個(gè)根。定理2：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)連續(xù)函數(shù)，且，則方程在有且僅有一個(gè)根?！?根的搜索與二分法目前八頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§1根的搜索與二分法描圖法：畫出的簡圖，由曲線與軸的交點(diǎn)位置確定出隔根區(qū)間?；蛘邔⒎匠痰葍r(jià)變形為，畫出函數(shù)和的簡圖，從兩條曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)位置確定隔根區(qū)間。例：求方程的隔根區(qū)間。解：由圖可知，方程僅有一個(gè)實(shí)根，隔根區(qū)間為。

目前九頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§1根的搜索與二分法逐步搜索法：首先確定方程的實(shí)根所在區(qū)間再按照選定的步長（n為正整數(shù)），逐點(diǎn)計(jì)算處的函數(shù)值，當(dāng)與異號(hào)時(shí)，則即為方程的一個(gè)隔根區(qū)間。對(duì)于次代數(shù)方程其根的絕對(duì)值的上下界有如下結(jié)論：（1）如果，則方程的根的絕對(duì)值小于；（2）如果，則方程根的絕對(duì)值大于。

目前十頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§1根的搜索與二分法例：求方程的隔根區(qū)間。解：利用逐步搜索法設(shè)方程的根為，則

即根的所在區(qū)間為和。取計(jì)算，隔根區(qū)間為-4.2…-0.7-0.20.20.71.21.72.2…4.2-137.72…-2.440.281.060.910.20-0.310.14…26.42目前十一頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§1根的搜索與二分法二分法基本思想：通過計(jì)算隔根區(qū)間的中點(diǎn)，逐步縮小隔根區(qū)間，從而得到方程的近似根序列。過程：設(shè)為連續(xù)函數(shù)，方程的隔根區(qū)間為，則函數(shù)值異號(hào)。（1）將區(qū)間二分得到中點(diǎn)，計(jì)算函數(shù)值；（2）根據(jù)計(jì)算得到的函數(shù)值進(jìn)行判斷，如果，則方程的根為；否則判斷的符號(hào)，如果其與異號(hào)，則隔根區(qū)間變?yōu)?；如果其與異號(hào)，則隔根區(qū)間變?yōu)?；目前十二頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§1根的搜索與二分法（3）把新的隔根區(qū)間記為，繼續(xù)按照上述規(guī)則對(duì)隔根區(qū)間進(jìn)行二分。滿足精度要求則停止。通過不斷的二分，就得到一系列隔根區(qū)間有。由于后一區(qū)間的長度都是前一區(qū)間長度的一半，所以的長度為當(dāng)時(shí)，區(qū)間的長度趨于零，即區(qū)間最終會(huì)收斂于方程的解。實(shí)際計(jì)算中，只要二分的次數(shù)足夠多，可取最后區(qū)間中點(diǎn)作為方程根的近似值，即目前十三頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§1根的搜索與二分法誤差：如果事先給定精度要求為，則滿足

時(shí)，停止計(jì)算。目前十四頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§1根的搜索與二分法例：用二分法求方程在內(nèi)的根的近似值，要求絕對(duì)誤差不超過。解：

即嚴(yán)格單調(diào)增加，又，所以方程在上有唯一實(shí)根。令，得到，取，即至少二分7次。計(jì)算過程如下：目前十五頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§1根的搜索與二分法functionf=f3(x)f=x^3+4*x*x-10;a0=1;b0=2;k=0;while1k=k+1;x=(a0+b0)/2;iff3(x)*f3(a0)<0b0=x;elsea0=x;endif(b0-a0)/2<0.005break;endendx=(b0+a0)/2;目前十六頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§1根的搜索與二分法隔根區(qū)間11.52.375[1,1.5]21.25-1.7969[1.25,1.5]31.3750.1621[1.25,1.375]41.3125-0.8484[1.3125,1.375]51.34375-0.3510[1.34375,1.375]61.359375-0.0964[1.359375,1.375]71.36718750.0324[1.359375,1.3671875]所以最后得

目前十七頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§1根的搜索與二分法例：用二分法求方程在內(nèi)的根，要求精確到小數(shù)點(diǎn)后第三位小數(shù)，需要二分多少次？

解：設(shè)，由于，所以在區(qū)間內(nèi)方程有唯一實(shí)根。令，求得所需對(duì)分次數(shù)至少是10次。特點(diǎn)：運(yùn)算簡單，方法可靠，對(duì)函數(shù)只要求在區(qū)間上連續(xù)；但收斂速度慢，不能用來求復(fù)數(shù)根及偶數(shù)重根。常用于為其它求根方法提供較好的近似初始值。目前十八頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§2迭代法及其迭代收斂的加速方法迭代法（逐次逼近）基本思想：利用某種遞推算式，使某個(gè)預(yù)知的近似根（初值）逐次精確化，直到得到滿足精度要求的近似根。算法：給定方程，其中在有根區(qū)間上連續(xù)。設(shè)是方程的一個(gè)近似根，將方程改寫為，代入初值構(gòu)造迭代序列目前十九頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§2迭代法及其迭代收斂的加速方法這種求方程近似根的方法稱為迭代法（或簡單迭代法），稱為迭代函數(shù)。如果由迭代法產(chǎn)生的迭代序列極限存在，即，則稱收斂，否則稱發(fā)散。稱為迭代函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，或是方程的解。由轉(zhuǎn)化為時(shí)，迭代函數(shù)不是唯一的，不同，會(huì)產(chǎn)生不同的序列，從而收斂情況也不一樣。目前二十頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§2迭代法及其迭代收斂的加速方法幾何意義：求方程的根，在幾何上就是求直線與曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖所示。從圖中可以看出，當(dāng)?shù)瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)在根處滿足不同條件時(shí)，迭代過程的收斂情況也有所不同。所以迭代過程的收斂依賴于迭代函數(shù)的構(gòu)造，為使迭代法有效，必須保證其收斂性。目前二十一頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§2迭代法及其迭代收斂的加速方法目前二十二頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§2迭代法及其迭代收斂的加速方法目前二十三頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§2迭代法及其迭代收斂的加速方法例：已知方程在內(nèi)有一個(gè)根，用兩種不同的迭代公式（1）；（2）進(jìn)行迭代，觀察所得序列的收斂性。解：計(jì)算結(jié)果如表所示k

（1）

（2）00.30.31-0.00470.36172-1.01080.37323-1.90250.37534-1.98750.3757目前二十四頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§2迭代法及其迭代收斂的加速方法x0=0.3;k=0;while1k=k+1;xk=10^x0-2; %公式1%xk=log10(x0+2) %公式2ifabs(xk-x0)<=0.0005break;endx0=xk;end目前二十五頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§2迭代法及其迭代收斂的加速方法例：對(duì)于方程，試采用如下迭代法求方程的根(1)；(2)；(3)選取初值。解：計(jì)算結(jié)果見下表(1)(2)(3)01.501.501.50110.39061.16500.151721.2585e+0061.1374-1.000131.1350-0.499941.1347-0.969751.1347-0.53846-0.95677-0.5551目前二十六頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)x0=1.5;k=0;while1k=k+1;xk=x0^6-1;%公式1，發(fā)散%xk=(x0+1)^(1/6);%公式2，收斂%xk=1/(x0^5-1);%公式3，發(fā)散ifabs(xk-x0)<=0.0005break;endx0=xk;end§2迭代法及其迭代收斂的加速方法目前二十七頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§2迭代法及其迭代收斂的加速方法迭代法收斂定理：設(shè)方程，若迭代函數(shù)在有根區(qū)間上滿足：（1）當(dāng)時(shí)，；（2）在上可導(dǎo)，且有，；則有（1）方程在上有唯一的根；（2）對(duì)任意初值，迭代公式產(chǎn)生的數(shù)列收斂于方程的唯一根，即；（3）誤差估計(jì)

目前二十八頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§2迭代法及其迭代收斂的加速方法拉格朗日中值定理：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)使得目前二十九頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§2迭代法及其迭代收斂的加速方法證明：（1）根的存在性：令，則在上連續(xù)，由條件1有由連續(xù)函數(shù)的介值定理，必存在使得，即為方程的根。根的唯一性：假設(shè)另有也是方程的根，則有兩式相減并應(yīng)用微分中值定理得目前三十頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§2迭代法及其迭代收斂的加速方法式中在和之間，所以，由條件（2）有上式不成立，所以有。（2）收斂性：取時(shí)，有，，由微分中值定理可知，在和之間存在使得：反復(fù)應(yīng)用上述關(guān)系可得由條件（2），所以即目前三十一頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§2迭代法及其迭代收斂的加速方法（3）誤差估計(jì)：由微分中值定理，在和之間存在使得同樣得到同時(shí)即因?yàn)樗苑磸?fù)應(yīng)用，最后得到目前三十二頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§2迭代法及其迭代收斂的加速方法迭代次數(shù)估計(jì)：給定精度要求，即，只要

從而迭代次數(shù)滿足目前三十三頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§2迭代法及其迭代收斂的加速方法注意：由式可以看出，當(dāng)越小時(shí)，序列收斂越快。只要相鄰兩次迭代的偏差足夠小，就可以保證近似解有足夠的精度。所以，常采用條件來控制迭代次數(shù)。目前三十四頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§2迭代法及其迭代收斂的加速方法例：求方程的最大根，要求精度。解：（1）求隔根區(qū)間方程變?yōu)?，做和的圖形，由圖可知方程的最大根在區(qū)間內(nèi)。目前三十五頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§2迭代法及其迭代收斂的加速方法2）建立迭代公式，判斷收斂性。方程變形為，迭代公式為在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，并且單調(diào)遞增。又，所以，當(dāng)時(shí)，由于，所以迭代法收斂。目前三十六頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§2迭代法及其迭代收斂的加速方法（3）迭代計(jì)算過程如下表所示。所以方程的最大根03.513.7720340.27203423.7882880.01625433.7892210.00093343.7892750.000054目前三十七頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)x0=3.5;k=0;while1k=k+1;xk=(log10(x0)+7)/2;ifabs(xk-x0)<=0.0001break;endx0=xk;end§2迭代法及其迭代收斂的加速方法目前三十八頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§2迭代法及其迭代收斂的加速方法定理（局部收斂性定理）：設(shè)是方程的根，在的某一鄰域連續(xù)，且，則必存在的一個(gè)鄰域，對(duì)任意選取的初值，迭代公式產(chǎn)生的數(shù)列收斂于方程的根，稱迭代法在的鄰域具有局部收斂性。目前三十九頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)注意：在實(shí)際應(yīng)用中事先不知道，因此條件無法驗(yàn)證。但是如果已知根的初始值在根的附近，又根據(jù)的連續(xù)性，可采用條件來代替?！?迭代法及其迭代收斂的加速方法目前四十頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§2迭代法及其迭代收斂的加速方法例：用迭代法求方程在隔根區(qū)間內(nèi)的根，要求精確到小數(shù)點(diǎn)后第4位。解：(1)構(gòu)造迭代公式：，迭代公式為(2)判斷收斂性：由局部收斂性定理，所以迭代法收斂目前四十一頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§2迭代法及其迭代收斂的加速方法(3)迭代計(jì)算過程如下表所示：01.511.48124800.018752021.47270570.008542331.46881730.003888441.46704800.001769351.46624300.000805061.46587680.000366271.46571020.000166681.46563450.000075791.46560000.0000345目前四十二頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§2迭代法及其迭代收斂的加速方法x0=1.5;k=0;while1k=k+1;xk=(x0*x0+1)^(1/3);ifabs(xk-x0)<=0.00005break;endx0=xk;end目前四十三頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§2迭代法及其迭代收斂的加速方法用迭代法求方程根的近似值的計(jì)算步驟如下：(1)準(zhǔn)備：選定初值，確定方程的等價(jià)方程(2)迭代：按迭代公式計(jì)算出(3)判別：如果，則終止迭代計(jì)算，取作為方程的近似根。否則，轉(zhuǎn)到第(2)步繼續(xù)迭代計(jì)算。目前四十四頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§2迭代法及其迭代收斂的加速方法迭代收斂的加速方法迭代-加速公式:記，則由微分中值定理有其中在和之間。設(shè)在根附近變化不大，又設(shè)，由迭代收斂條件，有上式整理為目前四十五頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§2迭代法及其迭代收斂的加速方法上式說明作為根的近似值時(shí)絕對(duì)誤差大致為如果把該誤差作為一種補(bǔ)償，可以得到更好的近似值記得到迭代-加速公式目前四十六頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§2迭代法及其迭代收斂的加速方法例:用迭代-加速公式求在區(qū)間內(nèi)的根。解:，加速-迭代公式為01.511.48124801.46590550.034094521.46572331.46557420.000331331.46557261.46557130.0000029目前四十七頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§2迭代法及其迭代收斂的加速方法x0=1.5;k=0;while1k=k+1;xk1=(x0*x0+1)^(1/3);xk=20*xk1/11-9*x0/11;ifabs(xk-x0)<=0.00005break;endx0=xk;end目前四十八頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§3牛頓（Newton）迭代法應(yīng)用范圍：用于求解高次代數(shù)方程、超越方程等非線性方程；可求方程的實(shí)根、復(fù)根，也可求單根和重根。基本思想：將非線性方程逐步轉(zhuǎn)化為線性方程來進(jìn)行求解。牛頓迭代法的最大優(yōu)點(diǎn)是在方程的單根附近具有較高的收斂速度，是一種將近似根精確化的相當(dāng)有效的迭代法。目前四十九頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§3牛頓（Newton）迭代法對(duì)于非線性方程，設(shè)連續(xù)可微，將在處泰勒（Taylor）展開如果，則可在點(diǎn)附近取線性部分近似替代，得到的近似方程進(jìn)行變換，得目前五十頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§3牛頓（Newton）迭代法由迭代法思想，上式寫為迭代公式的一般形式稱上式為牛頓（Newton）迭代公式，其迭代函數(shù)為

目前五十一頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§3牛頓（Newton）迭代法幾何意義：目前五十二頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§3牛頓（Newton）迭代法如圖所示，假設(shè)是非線性方程在隔根區(qū)間內(nèi)的根，在內(nèi)可導(dǎo)，且對(duì)于有。 任取初值，過曲線上的點(diǎn)作切線以其作為曲線的近似表達(dá)式。切線交軸于，則以作為方程根的第一次近似值。同理，過曲線上點(diǎn)做切線目前五十三頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§3牛頓（Newton）迭代法切線交軸于，則然后以作為方程根的第二次近似值。反復(fù)作切線，第k+1條切線方程為它與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為

由此得到方程的近似根數(shù)列。幾何意義即依次用切線代替曲線，用線性函數(shù)的零點(diǎn)作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值，牛頓迭代法又稱為切線法。目前五十四頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§3牛頓（Newton）迭代法初始值的選取：定理（局部收斂性定理）：設(shè)是方程的根，若（1）函數(shù)在的鄰域內(nèi)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)；（2）在的鄰域內(nèi)，則存在的某個(gè)鄰域，對(duì)于任意的初值，由牛頓迭代法產(chǎn)生的數(shù)列收斂于根。目前五十五頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§3牛頓（Newton）迭代法證明：迭代函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為由條件(1)和(2)可知，在的鄰域內(nèi)可導(dǎo)。又，所以在的某個(gè)鄰域內(nèi)恒有

目前五十六頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§3牛頓（Newton）迭代法定理（非局部收斂定理）：設(shè)是方程在隔根區(qū)間內(nèi)的根，如果（1）對(duì)于連續(xù)且不變號(hào)；（2）選取初始值，使，則由牛頓迭代公式產(chǎn)生的數(shù)列收斂于根。如果在上的符號(hào)不容易判斷，則利用下式確定初值即如果在處，滿足上式，并且，則大多數(shù)情況下可以保證牛頓迭代法是收斂的。目前五十七頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§3牛頓（Newton）迭代法計(jì)算步驟：1.選定初值，構(gòu)造迭代公式；2.迭代計(jì)算，得到；3.迭代終止判斷，由迭代終止控制條件控制迭代計(jì)算是否終止；4.迭代計(jì)算終止，得到方程根的近似值。目前五十八頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§3牛頓（Newton）迭代法例：用牛頓迭代法求方程在隔根區(qū)間內(nèi)的根，要求精確到小數(shù)點(diǎn)后第4位小數(shù)。解:(1)令，牛頓迭代公式為(2)判斷收斂性所以取時(shí)滿足，牛頓迭代法收斂。目前五十九頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§3牛頓（Newton）迭代法(3)計(jì)算過程如下表01.511.4666670.03333321.4655720.00109531.4655710.000001目前六十頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)x0=1.5;k=0;while1k=k+1;xk=(2*x0^3-x0^2+1)/(3*x0^2-2*x0);ifabs(xk-x0)<=0.00005break;endx0=xk;end§3牛頓（Newton）迭代法目前六十一頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§3牛頓（Newton）迭代法例：用牛頓迭代法求方程在附近的根，精確到小數(shù)點(diǎn)后第4位。解：所以由此成立，所以可取為初始值。迭代公式為：目前六十二頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§3牛頓（Newton）迭代法迭代計(jì)算過程如下表所示0-11-0.9772730.0227272-0.9604610.0168123-0.9533910.0070704-0.9525000.0008915-0.9524840.000016目前六十三頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)x0=-1;k=0;while1k=k+1;xk=(40*x0^41+2*x0^3-1)/(41*x0^40+3*x0^2);ifabs(xk-x0)<=0.00005break;endx0=xk;end§3牛頓（Newton）迭代法目前六十四頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§3牛頓（Newton）迭代法例：用牛頓迭代法建立計(jì)算近似值的迭代公式。解：令，則以上問題化為求方程的正根，牛頓迭代公式為

繼續(xù)證明對(duì)于任意初值，上面迭代公式恒收斂。證明：對(duì)于任意有

即序列有下界；目前六十五頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§3牛頓（Newton）迭代法又即單調(diào)下降，所以迭代公式收斂。計(jì)算的近似值。的值在10~11之間，取初值，迭代公式為目前六十六頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§3牛頓（Newton）迭代法x0=10;C=115;k=0;while1k=k+1;xk=(x0+C/x0)/2err=abs(xk-x0)iferr<=0.000005break;endx0=xk;end目前六十七頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§3牛頓（Newton）迭代法迭代計(jì)算過程如下（）：010110.750.75210.723837210.02616279310.723805290.00003192410.72380529目前六十八頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)迭代過程的收斂速度定義：如果從任何可取得的初始值出發(fā)，由迭代法產(chǎn)生的迭代序列都收斂于方程的根，則稱該迭代法是大范圍收斂；如果選取的初始值充分接近于方程的根，或者說存在根的某一鄰域，使得在其中任意選取初始值，迭代序列都收斂于方程的根，則稱該迭代法為局部收斂。一種迭代法具有使用價(jià)值，不但需要是收斂的，還要求收斂的比較快。所謂迭代過程的收斂速度，是指在接近收斂時(shí)迭代誤差的下降速度。目前六十九頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)迭代過程的收斂速度定義：設(shè)迭代法產(chǎn)生的數(shù)列收斂于的根，令誤差，如果存在某個(gè)實(shí)數(shù)以及正常數(shù)，使

則稱數(shù)列是階收斂的，相應(yīng)的迭代法是階方法，常數(shù)稱為漸進(jìn)誤差常數(shù)。目前七十頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)迭代過程的收斂速度可以看出，和為同階無窮小量，即以為基本無窮小量時(shí)，為階無窮小量，階數(shù)越高，收斂速度越快。收斂速度是誤差的收縮率，階數(shù)越高，誤差下降的越快。當(dāng)時(shí)，稱數(shù)列線性收斂；當(dāng)時(shí)，稱數(shù)列為平方收斂（或二階收斂）；當(dāng)時(shí)，稱數(shù)列為超線性收斂。顯然，越大，數(shù)列收斂的越快，所以迭代法的收斂階是對(duì)迭代法收斂速度的一種度量。目前七十一頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)迭代過程的收斂速度證明簡單迭代法是線性收斂：設(shè)是方程的根，在的某一鄰域連續(xù)，在鄰域內(nèi)有，且，則簡單迭代法線性收斂。證明：設(shè)迭代過程收斂于，則式中在和之間。令，則于是

迭代過程一階收斂（線性收斂）。目前七十二頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)迭代過程的收斂速度證明牛頓迭代法平方收斂：設(shè)是在隔根區(qū)間內(nèi)的根，如果（1）對(duì)于連續(xù)且不變號(hào)；（2）選取初始值，使，則牛頓迭代法平方收斂。證明：將在處做泰勒展開，有

式中介于之間。整理上式得目前七十三頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)迭代過程的收斂速度即兩邊取極限，并利用得

所以牛頓迭代法平方收斂。目前七十四頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§4弦截法如果函數(shù)比較復(fù)雜，求導(dǎo)可能比較困難，有時(shí)甚至導(dǎo)函數(shù)不存在。尤其是當(dāng)很小時(shí)，計(jì)算中容易產(chǎn)生很大的誤差。這時(shí)可將牛頓迭代公式中的用差商來代，即

就得到求解非線性方程的弦截法。目前七十五頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§4弦截法目前七十六頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§4弦截法設(shè)方程的一個(gè)隔根區(qū)間為，如圖所示。連結(jié)曲線上的兩點(diǎn)得到弦AB，令，則弦AB的方程為則弦AB與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為以作為方程根的一個(gè)近似值。目前七十七頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§4弦截法然后過曲線上的兩點(diǎn)做弦，得到其與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為于是把作為方程根的一個(gè)新的近似值。反復(fù)做弦，得到迭代公式的一般形式為利用上述公式求方程根的近似值的方法就叫做弦截法。目前七十八頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§4弦截法幾何意義：依次用弦來代替曲線，用線性函數(shù)的零點(diǎn)作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值。定理（弦截法收斂定理）：如果在根的某個(gè)鄰域內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且對(duì)任意，有，則當(dāng)鄰域充分小時(shí)，對(duì)鄰域內(nèi)任意的，由弦截法迭代公式得到的近似值序列收斂到方程的根。并可證明弦截法是按階收斂的。目前七十九頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§4弦截法計(jì)算步驟：（1）準(zhǔn)備：選定初始近似值，并計(jì)算；（2）迭代計(jì)算：依迭代公式計(jì)算得到，并計(jì)算；（3）控制：如果或，則終止迭代。否則以分別代替，轉(zhuǎn)（2）繼續(xù)迭代計(jì)算。弦截法和牛頓法比較：都是先把線性化，但方式不同，牛頓法用切線方程來近似代替非線性方程，而弦截法是用弦線來近似代替非線性方程。目前八十頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§4弦截法例：用弦截法求方程在區(qū)間內(nèi)根的近似值。精確到小數(shù)點(diǎn)后第4位。解：令，取，弦截法迭代公式為目前八十一頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§4弦截法迭代計(jì)算過程如下表所示：00.51120.5755900.42441030.5995400.02395040.6106930.01115350.6103580.00033560.6103620.000003目前八十二頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)§4弦截法x0=0.5;x1=1;k=0;while1k=k+1;xk=x1-(exp(2*x1)+x1-4)*(x1-x0)/(exp(2*x1)+x1-exp(2*x0)-x0);ifabs(xk-x0)<=0.00005break;endx0=x1;x1=xk;end目前八十三頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)課后題1、二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的根，要求誤差不超過。2、已知方程在區(qū)間內(nèi)有一根，試問用二分法求根，使其具有5位有效數(shù)字至少應(yīng)二分多少次？3、判斷下列方程由幾個(gè)根，求出隔根區(qū)間，并寫出收斂的迭代公式。（1）（2）5、用迭代法求的正根，要求準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第5位。目前八十四頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)課后題4、方程在1.5附近有根，把方程寫成4種不同的等價(jià)形式，并建立相應(yīng)的迭代公式：判斷每種迭代公式產(chǎn)生的數(shù)列在1.5附近的收斂性，并用（1）的迭代公式求方程的根，要求誤差不超過。目前八十五頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)課后題6、用迭代法求方程的根，要求準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第4位。7、用迭代-加速公式求方程在附近的根，要求準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第4位。9、應(yīng)用牛頓法于方程和，分別導(dǎo)出求的迭代公式，并求10、用牛頓法求方程在附近的根，要求準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第3位。目前八十六頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)課后題11、證明計(jì)算的牛頓迭代公式為取，計(jì)算，要求。12、用弦截法求的根，取，計(jì)算到為止。目前八十七頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)1、解：令，則所以單調(diào)增；所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)減。又，，所以方程有唯一實(shí)根。有課后題隔根區(qū)間10.35-0.035[0.3,0.35]20.3250.036[0.325,0.35]30.33750.000475[0.3375,0.35]40.34375-0.017[0.3375,0.34375]目前八十八頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)2、解：根的區(qū)間為，近似值具有5位有效數(shù)字，則精確到小數(shù)點(diǎn)后4為小數(shù)，即取。4、解：（1），，所以迭代公式收斂。課后題目前八十九頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)（2），收斂（3）（4）利用公式（1）計(jì)算方程的根，列表如下課后題01.511.4812480.01875261.4658770.000366目前九十頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)5、解：方程變形為，分別畫出和的圖形，可知交點(diǎn)在的范圍；取，則，可知交點(diǎn)在的范圍，所以隔根區(qū)間可取為。令，，

從而單調(diào)減；單調(diào)增；，滿足條件1；，滿足條件2，所以迭代公式收斂。課后題目前九十一頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)迭代公式為：計(jì)算過程如下：課后題0111.0371370.03713721.0434790.00634031.0445460.00106841.0447260.00017951.04475661.0447671.04476目前九十二頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)6、解：（1）求隔根區(qū)間方程變形為，做和的圖形。由圖可知，方程的根在區(qū)間內(nèi)。（2）建立迭代公式，判斷其收斂性將方程等價(jià)變形為，迭代函數(shù)，迭代公式為。課后題目前九十三頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)因?yàn)?，?dāng)時(shí)，所以單調(diào)遞減；又，所以；，，所以；由定理可知，迭代公式收斂。（3）計(jì)算：取，列表計(jì)算課后題0010.10.120.0894830.01051750.0905260.000013目前九十四頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)7、解：取，迭代-加速公式為：計(jì)算過程如下：

課后題00.510.566580.0665820.567130.000550230.56714目前九十五頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)9、證明：（1）對(duì)于方程，，牛頓迭代公式為所以課后題目前九十六頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)（2）對(duì)于方程，，牛頓迭代公式為所以課后題目前九十七頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)10、解：令，，牛頓迭代公式為牛頓迭代公式為滿足局部收斂性定理，計(jì)算過程如下表所示課后題0211.8888890.11111121.8794520.00943731.8793850.000067目前九十八頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)11、證明：由，，牛頓迭代公式為取，計(jì)算過程如下：課后題0111.6666670.666666721.4711110.195555631.4428120.028299041.44225051.442250目前九十九頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)課后題12、解：令，，滿足收斂條件，取，弦截法迭代公式為計(jì)算過程如下表所示001120.5430440.05978930.5080930.00539540.5109860.000023目前一百頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)第三章非線性方程的數(shù)值解法主要內(nèi)容：1.確定隔根區(qū)間；2.二分法；3.簡單迭代法；4.迭代收斂的加速方法；5.牛頓迭代法；6.弦截法；7.迭代法的收斂階。目前一百零一頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)第三章非線性方程的數(shù)值解法二分法：目前一百零二頁\總數(shù)一百一十五頁\編于九點(diǎn)迭代法收斂定理：設(shè)方程，若迭代函數(shù)在有根區(qū)間上滿足：（1）當(dāng)時(shí)，；（2）在上可導(dǎo)，且有，；則有（1）方程在上有唯一的根；（2）對(duì)任意初值，迭代公式產(chǎn)生