22-1函數(shù)的極限定義、性質(zhì)

x的變化趨勢(shì)有:自變量的變化過(guò)程5/25/20231福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院一、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限問(wèn)題:5/25/20232福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院1.xx0時(shí)f(x)的極限定義若存在常數(shù)A,對(duì)任意給定的正數(shù)>0,總存在正數(shù)>0,只要f的定義域中的點(diǎn)x滿足0<|xx0|<時(shí)，恒有|f(x)A|<成立，則稱常數(shù)

A是函數(shù)f(x)

當(dāng)xx0時(shí)的極限,簡(jiǎn)稱A是f(x)在

x0處的極限.5/25/20233福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院幾何意義5/25/20234福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院說(shuō)明5/25/20235福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院例1證5/25/20236福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院例2證函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒(méi)有定義.5/25/20237福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院例3證5/25/20238福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院例4證5/25/20239福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院用定義證明的過(guò)程：1.把|f(x)A|化簡(jiǎn)為|f(x)A|k|xx0|;2.要|f(x)A|,只要k|xx0|;4.驗(yàn)證.5/25/202310福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院幾何意義5/25/202311福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院性質(zhì)11.極限的局部保序性、保號(hào)性二、函數(shù)極限的性質(zhì)5/25/202312福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院證上兩式同時(shí)成立,5/25/202313福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院性質(zhì)2(保序性)推論(不等式性質(zhì))證明:反設(shè)A>B,則由定理3,5/25/202314福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院性質(zhì)3(局部保號(hào)性)5/25/202315福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院性質(zhì)35/25/202316福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院性質(zhì)4若極限(或)存在，則極限是惟一的.2.極限的惟一性5/25/202317福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院證不妨設(shè)AB,由定義,對(duì)故極限若存在則必唯一.5/25/202318福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院性質(zhì)6性質(zhì)63.有極限的函數(shù)的局部有界性5/25/202319福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院4.函數(shù)極限的歸并性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)定義性質(zhì)7利用函數(shù)極限的歸并性,我們可以利用數(shù)列極限的結(jié)論來(lái)推導(dǎo)函數(shù)極限的類似結(jié)論.5/25/202320福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院證:必要性5/25/202321福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院……………充分性5/25/202322福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院于是,可得一數(shù)列{xn→x0},xn≠x0,而右邊一列則說(shuō)明數(shù)列{f(xn)}不以A為極限,此與假設(shè)矛盾.充分性得證.函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.定理給出了函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系:5/25/202323福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院例如,5/25/202324福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院判別極限不存在的一個(gè)方法5/25/202325福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院例1證5/25/202326福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院二者不相等,5/25/202327福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院準(zhǔn)則I稱為夾逼準(zhǔn)則.性質(zhì)5.收斂準(zhǔn)則Ⅰ5.極限收斂準(zhǔn)則5/25/202328福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院證利用數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則得:由函數(shù)極限的歸并性,就證明了函數(shù)極限:5/25/202329福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院例15/25/202330福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院極限的運(yùn)算法則

1.極限運(yùn)算法則定理5/25/202331福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院證利用數(shù)列極限的四則運(yùn)算法制則得:從而就證明了函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則.5/25/202332福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院推論1即：常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.極限運(yùn)算的線性性質(zhì)：極限運(yùn)算的線性性質(zhì)可推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形.5/25/202333福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院推論2有限個(gè)函數(shù)乘積的極限等于各函數(shù)極限的乘積.推論35/25/202334福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院2.求極限方法舉例例1解5/25/202335福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院小結(jié):5/25/202336福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院解商的法則不能用由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得例25/25/202337福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院解例3(消去零因子法)5/25/202338福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院例4解5/25/202339福州大