城市用水量預(yù)測數(shù)學(xué)建模論文

PAGEPAGE4城市供水量預(yù)測模型摘要水是生命之源，地球上水的總量雖然巨大，但能夠被人類利用的淡水資源卻極其匱乏，而且分布極不平衡。淡水資源的短缺給人們的生產(chǎn)生活帶來了諸多不變，因此我們應(yīng)該珍惜水資源，對水資源要合理且可持續(xù)的利用。本文以兩個自來水廠2001—2007年間每天的供水量為依據(jù)，運(yùn)用灰色系統(tǒng)理論、模糊線性回歸、二元線性回歸、組合預(yù)測等數(shù)學(xué)方法對所給問題建立模型并對結(jié)果進(jìn)行了分析。關(guān)鍵詞：灰色系統(tǒng)理論模糊線性回歸組合預(yù)測matlab問題分析該問題是根據(jù)日供水量記錄估計未來一時間段的用水量，只有一些數(shù)據(jù)內(nèi)部機(jī)理不明確屬于灰色系統(tǒng)問題。我們需要在一定的假設(shè)下，對已知數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析，并運(yùn)用一些方法完成對未來一時間段用水量的預(yù)測。對問題（1）的分析：為預(yù)測2008年上半年日用水量，我們考慮到溫度與用水量的正相關(guān)性，需先對溫度進(jìn)行預(yù)測。由于我們只需預(yù)測出2008年上半年的日用水量，并且通過對2005-2007年每年相應(yīng)時段內(nèi)的日用水量及溫度的散點(diǎn)圖觀察分析，我們知道這幾年里相應(yīng)時段內(nèi)溫度及用水量均穩(wěn)定在某一值附近。故我們可以以三年內(nèi)相應(yīng)時間段溫度及相應(yīng)的日用水量的平均值作為數(shù)據(jù)基礎(chǔ)建立數(shù)學(xué)模型，所建模型可以很好的表征用水量在一年中（此模型只考慮上半年）隨時間的變化趨勢及相關(guān)制約因素的作用，故我們用其進(jìn)行預(yù)測是合理有效的。首先，我們建立一年內(nèi)上半年溫度隨時間（天）變化的線性回歸模型，得到上半年溫度與時間序列（天）的關(guān)系，進(jìn)而可以預(yù)測出2008年上半年每天的溫度。然后，為找出溫度與用水量的關(guān)系，以所求得的用水量與溫度的均值為基礎(chǔ)，分別建立了二元線性回歸模型和模糊線性回歸模型，表示出了每天最高溫度、最低溫度與用水量的關(guān)系。通過觀察2001-2007年用水量整體隨時間變化的關(guān)系圖，我們很明顯的看到用水量變化總體來說是呈增長趨勢的。以上模型只是以2005-2007年三年的相關(guān)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，沒有考慮到溫度、用水量長時期內(nèi)整體隨時間（年）的變化規(guī)律。為彌補(bǔ)這個缺陷我們建立了GM（1，1）模型單獨(dú)對2008日用水量進(jìn)行預(yù)測。但該模型沒有表示出溫度對用水量的影響。以上模型各有利弊，為了綜合上述模型的優(yōu)點(diǎn)，我們以它們?yōu)榛A(chǔ)又建立了組合預(yù)測模型，很好的提高了預(yù)測精度。對問題（二）的分析：通過對所給數(shù)據(jù)觀察，我們可以得出任何時段內(nèi)該城市的日用水量與兩水廠的供水量之和均相等的結(jié)論。以這個結(jié)論為前提，利用問題（一）所求結(jié)果，我們只需對一號水廠或是二號水廠2008年上半年日供水量進(jìn)行預(yù)測，從而可以得到另一水廠2008年上半年日供水量。對問題（三）的分析：為確定能使2008年8月份的總用水量不超過5045萬噸的水價調(diào)整方案，只需找出各年8月份用水量與對應(yīng)水價之間的關(guān)系，通過這個關(guān)系即可以確定滿足上述條件的水價調(diào)整方案。但本題所給數(shù)據(jù)較少，我們利用GM（1，1）理論分別對8月份用水量及相應(yīng)水價進(jìn)行了預(yù)測擴(kuò)充，得出了2008~2010年的相關(guān)數(shù)據(jù)。接著，我們根據(jù)那些數(shù)據(jù)建立了一元直線回歸模型，得出了8月份用水量與相應(yīng)水價的關(guān)系，繼而得到相應(yīng)的水價調(diào)整方案。模型假設(shè)與符號說明模型假設(shè)：自來水廠提供的七年來每天的供水量數(shù)據(jù)是真實(shí)可靠的每天的自來水的需求量與當(dāng)天的溫度有關(guān)人們對自來水的價格有一定的敏感性，既提高價格能抑制自來水的需求量每天的溫度是相對獨(dú)立的自來水廠有足夠的水資源來滿足用戶的需求該城市的用水量僅有一號和二號這兩個水廠供應(yīng)。符號說明：表示第i年第j天的用水量。（，）表示第i年第j天的最高溫度。（，）表示第i年第j天的最低溫度。（，）表示2005~2007年相應(yīng)天數(shù)的平均最高溫度。（t=1,2,…,180）表示2005~2007年相應(yīng)天數(shù)的平均最低溫度。（t=1,2,…,180）表示第一個水廠第i年第j天的供水量（，）表示第二個水廠第i年第j天的供水量（，）表示第i年八月份水價（）表示第i年八月份用水總量（）表示第i年第j天用水量的實(shí)際值表示第I個模型第i年第j天供水量的預(yù)測值表示第II個模型第i年第j天供水量的預(yù)測值模型的建立與求解問題（一）的求解：圖（三）2001~2007年日用水量的變化曲線我們先把2001~2007年上半年的日用水量（i=1,2,…,7j=1,2,…,180）的j列進(jìn)行累加生成得到累加生成序列，然后按照模型準(zhǔn)備部分的步驟得到該列對應(yīng)的灰微分方程為（j=1,2,…,180）其中，（j=1,2,…,180）,對數(shù)列進(jìn)行累減還原得到原始數(shù)列擬合序列為：然后利用matlab編程循環(huán)即可預(yù)測出每一年前180天的日用水量。我們用2005~2007年上半年的相關(guān)數(shù)據(jù)按月（30天）進(jìn)行累加（方便作圖），然后對其進(jìn)行誤差檢驗(yàn)，見圖（四），得到2005~2007年上半年每個月平均誤差系數(shù)分別為：0.0069587、0.010846、0.00036306。由此可知該模型的預(yù)測精度比以上兩個模型均有所提高。模型IV：最優(yōu)組合預(yù)測模型模型III考慮了溫度對日用水量的影響，但沒有考慮日用水量各年整體的變化趨勢，而模型III考慮了日用水量各年整體的變化趨勢但忽略了溫度對日用水量的影響，它們各有利弊。由于模型I比模型II預(yù)測精度更高，而模型III預(yù)測精度比前兩者均更高，所以我們把模型I和模型III進(jìn)行組合：，（2）其中（j）+（j）=1建立下列式子：

令,則使最小令R=(1,1),則上述問題可歸結(jié)為以下優(yōu)化問題:利用拉格朗日乘子法求條件極值，設(shè)：則函數(shù)L的極值比滿足即解得，又由于RK=1，因此最后得到組合系數(shù)為利用已知數(shù)據(jù)通過matlab編程即可得到系數(shù)矩陣，（j=1,2,…,180）見附表1將，（j=1,2,…,180）代入式子（2）即可得組合后的模型，為了與前面所建模進(jìn)行對比我們用2005~2007年上半年的相關(guān)數(shù)據(jù)按月（30天）進(jìn)行累加（方便作圖），然后對其進(jìn)行誤差檢驗(yàn)，見圖（四），得到2005~2007年上半年每個月平均誤差系數(shù)分別為：0.0034153、0.0084898、0.0011233。該模型的預(yù)測精度已經(jīng)非常高了，故我們用其對2008年上半年的日用水量進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果見附表2圖（四）對問題（一）所建模型的誤差評判注：圖中直方圖、黑色曲線、紅色曲線、藍(lán)色曲線分別為模型I、模型II、模型III、模型IV所擬合出的2005~2007年上半年各個月用水總量，為預(yù)測值?！畂’為2005~2007年上半年各個月用水總量實(shí)測值。問題（二）的求解：由上面的問題分析可知，我們只需預(yù)測出一號水廠在2008年上半年的日供水量，然后依據(jù)問題（一）的求解結(jié)果即可預(yù)測出二號水廠在2008年上半年的日供水量。首先，我們依據(jù)一號水廠2001~2007年上半年日供水量，建立GM（1，1）模型完成對2008年上半年的日供水量預(yù)測，然后我們用2002~2007的相關(guān)數(shù)據(jù)對其進(jìn)行誤差檢驗(yàn)，見圖（五），對2002~2007年上半年預(yù)測的各年的平均誤差系數(shù)分別：0.020128、0.01469、0.026702、0.022941、0.025683、0.00035384。由此可知該模型對一號水廠的預(yù)測精度比較高。圖（五）對2002~2007年上半年各月一號水廠供水總量的預(yù)測值與觀察值的比較灰色關(guān)聯(lián)度的計算：按照模型準(zhǔn)備部分介紹的一種新的關(guān)聯(lián)度計算方法，我們用matlab編程得到前半年每天的用該模型對供水量的預(yù)測值與觀測值的關(guān)聯(lián)度見附表3，對180天的關(guān)聯(lián)度求平均為0.52596，按照這種關(guān)聯(lián)度計算法的等級要求預(yù)測精度已經(jīng)比較好。綜合誤差系數(shù)和灰色關(guān)聯(lián)度這兩項(xiàng)指標(biāo)，該模型的預(yù)測精度相當(dāng)高，所以我們用它對2008年上半年一號水廠的供水量進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果見附表四。從而可以得到2008年上半年二號水廠的供水量結(jié)果，見附表五。問題（三）的求解：根據(jù)問題分析部分對該問題的描述，由于所給數(shù)據(jù)較少，我們先分別用GM（1，1）模型對各年8月份用水總量及相應(yīng)水價進(jìn)行了預(yù)測，得到2008~2010年每年8月份用水總量及相應(yīng)水價如下表所示：20012002200320042005200620072008200920108月份用水總量43823000446500004579400046613000477150004852600049713000507150005180000052898000調(diào)整價格33.43.94.34.755．25.86.36.88月份用水總量與調(diào)整水價之間的相關(guān)系數(shù)為：=0.99666，所以說明調(diào)整價格與8月份用水總量之間有很強(qiáng)的線性關(guān)系，接著我們直接建立調(diào)整水價對8月份用水總量的線性回歸模型，求得結(jié)果如圖（六）所示，圖（六）8月份用水總量與水價的擬合曲線由圖中所作曲線可以看出擬合吻合度很高，對應(yīng)的曲線方程為,我們把（噸）代入得模型的評價與改進(jìn)模型的評價：模型優(yōu)點(diǎn)：在問題（一）的求解中，我們利用三種方法分別建立了2008年上半年日用水量的預(yù)測模型，通過誤差分析我們可知模型I較模型II有更高的預(yù)測精度，模型III采用了灰色預(yù)測法，預(yù)測精度比前兩者均要高，最后建立的最優(yōu)組合預(yù)測模型很好的表現(xiàn)出了溫度等因素對用水量的影響，已經(jīng)達(dá)到了非常高的預(yù)測精度。問題（一）求解中所用模糊線性回歸模型能夠很好的處理影響用水量變化的各種不確定性因素。在問題（二）的求解中，我們利用了GM（1，1）理論對一號水廠2008年上半年的日供水量進(jìn)行了預(yù)測，具有較高的預(yù)測精度，并且所用方法簡單解決問題很有效。在問題（三）的求解中，鑒于提高水價可以限制供水量，我們建立了水價和供水量之間的線性回歸方程，結(jié)合灰色理論對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行擴(kuò)展，解決了數(shù)據(jù)量不足的缺點(diǎn)。本文中采用了圖表相結(jié)合的方法對問題進(jìn)行說明解釋，簡潔直觀。模型缺點(diǎn)：求解問題（一）所建立的模型I、模型II，由于只是基于2005~2007三年的數(shù)據(jù)進(jìn)行的計算分析，雖然預(yù)測精度較高但是只適用于對未來短期內(nèi)用水量的預(yù)測。影響用水量的因素有很多如：人口增長、地理位置、降雨量、經(jīng)濟(jì)增長等，但由于數(shù)據(jù)不全面，模型并沒有反應(yīng)上述因素對用水量的影響。對問題（一）、（二）的求解均是對每年的前180天的日用水量及水廠供水量進(jìn)行分析預(yù)測，這與所要求的對2008年上半年的日用水量的預(yù)測嚴(yán)格來說有微小的偏差。模型的改進(jìn)推廣對于本題中所提出的那些預(yù)測問題我們還可以運(yùn)用其它方法加以預(yù)測如：偏最小二乘回歸預(yù)測法，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測法等。它們都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，我們可以嘗試綜合起來運(yùn)用，最大的提高預(yù)測精度。水價的調(diào)整模型還可以用來預(yù)測其它調(diào)價問題如：電費(fèi)的調(diào)整，天然氣費(fèi)用的調(diào)整等。本文中那些預(yù)測方法