2022年第六章數(shù)列第一節(jié)等差數(shù)列等比數(shù)列的概念及求和

歷年高考真題考點(diǎn)概括2022年第六章數(shù)列第一節(jié)等差數(shù)列、等比數(shù)列的觀點(diǎn)及求和一、選擇題1．（天津理4）已知為等差數(shù)列，其公差為-2，且是與的等比中項(xiàng)，為的前項(xiàng)和，nN*，則的值為A．-110B．-90C．90D．110【答案】D2．（四川理8）數(shù)列的首項(xiàng)為，為等差數(shù)列且bnan1an(nN*)．若則b32，b1012，則A．0B．3C．8D．11【答案】B【解析】由已知知bn2n8,an1an2n8,由疊加法(a2a1)(a3a2)(a8a7)64202460a8a133．（全國綱領(lǐng)理4）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若a11，公差d2，Sk2Sk24，則A．8B．7C．6D．5【答案】D4．（江西理5）已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和知足：SnSmSnm，且=1．那么=A．1B．9C．10D．55【答案】A二、填空題5．（湖南理12）設(shè)是等差數(shù)列(nN)，的前項(xiàng)和，且a11,a47，則=．【答案】256．（重慶理11）在等差數(shù)列中，a3a737，則a2a4a6a8__________【答案】7417．（北京理11）在等比數(shù)列{an}中，a1=2

，a4=-4，則公比q=______________；a1a2...an____________?！?2n11【答案】28．（廣東理11）等差數(shù)列前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和．若a11,aka40，則=____________．【答案】109．（江蘇13）設(shè)1a1a2a7，其中a1,a3,a5,a7成公比為q的等比數(shù)列，a2,a4,a6成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是________【答案】三、解答題10．（江蘇20）設(shè)Ｍ部分為正整數(shù)組成的會(huì)合，數(shù)列{an}的首項(xiàng)a11，前n項(xiàng)和為，已知對(duì)隨意整數(shù)M，當(dāng)整數(shù)nk時(shí),SnkSnk2(SnSk)都建立（1）設(shè)M{1},a22,求a5的值；2）設(shè)M{3,4},求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式本小題考察數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系、等差數(shù)列的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考察考生剖析探究及邏輯推理的能力，滿分16分。解：（1）由題設(shè)知，當(dāng)n2時(shí),Sn1Sn12(SnS1)，即(Sn1Sn)(SnSn1)2S1，進(jìn)而an1an2a12,又a22,故當(dāng)n2時(shí),ana22(n2)2n2.所以的值為8。（2）由題設(shè)知，當(dāng)kM{3,4},且nk時(shí),SnkSnk2Sn2Sk且Sn1kSn1k2Sn12Sk，兩式相減得an1kan1k2an1,即an1kan1kan1an1k所以當(dāng)n8時(shí),an6,an3,an,an3,an6成等差數(shù)列，且an6,an2,an2,an6也成等差數(shù)列進(jìn)而當(dāng)時(shí)，2anan3an3an6an6.（*）且an6an6an2an2,所以當(dāng)n8時(shí),2anan2an2，即an2ananan2.于是當(dāng)n9時(shí),an3,an1,an1,an3成等差數(shù)列，進(jìn)而an3an3an1an1，故由（*）式知2anan1an1,即an1ananan1.當(dāng)時(shí)，設(shè)danan1.當(dāng)2m時(shí),m68，進(jìn)而由（*）式知2am6amam128故2am7am1am13.進(jìn)而2(am7am6)am1am(am13am12)，于是am1am2ddd.因此，an1and對(duì)隨意都建立，又由SnkSnk2Sk2Sk(k{3,4})可知(SnkSn)(SnSnk)2Sk,故9d2S3且16d2S4，a47d,進(jìn)而a23d,a1d.解得222因此，數(shù)列為等差數(shù)列，由a11知d2.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an2n1.11．（北京理20）若數(shù)列Ana1,a2,...,an(n2)知足an1a11(k1,2,...,n1)，數(shù)列為數(shù)列，記S(An)=a1a2...an．（Ⅰ）寫出一個(gè)知足a1as0，且S(As)〉0的數(shù)列；（Ⅱ）若a112，n=2000，證明：E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是=2022；（Ⅲ）對(duì)隨意給定的整數(shù)n（n≥2），是否存在首項(xiàng)為0的E數(shù)列，使得SAn=0如果存在，寫出一個(gè)知足條件的E數(shù)列；如果不存在，說明原因。解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具知足條件的E數(shù)列A5。（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個(gè)知足條件的E的數(shù)列A5）（Ⅱ）必要性：因?yàn)镋數(shù)列A5是遞增數(shù)列，所以ak1ak1(k1,2,,1999)所以A5是首項(xiàng)為12，公差為1的等差數(shù)列所以a2000=12（2000—1）×1=2022充分性，由于a2000—a1000≤1，a2000—a1000≤1a2—a1≤1所以a2000—a≤19999，即a2000≤a11999又因?yàn)閍1=12，a2000=2022,所以a2000=a11999故an1an10(k1,2,,1999),即An是遞增數(shù)列綜上，結(jié)論得證。（Ⅲ）令ckak1ak10(k1,2,,n1),則cA1.因?yàn)閍2a1c1a1a1c1c2ana1c1c2cn1,所以S(An)na1(n1)c1(n2)c2(n3)c3cn1n(n1)[(1c1)(n1)(1c2)(n2)(1cn1)].2因?yàn)閏k1,所以1ck為偶數(shù)(k1,,n1).所以*1c1)(n1)(1c2)(n2)(1cn)為偶數(shù),S(An)0,必須使n(n1)所以要使2為偶數(shù),即4整除n(n1),亦即n4m或n4m1(mN*)當(dāng)n4m1(mN*)時(shí),E數(shù)列An的項(xiàng)知足a4k1a4k10,a4k21,a4k1(k1,2,,m)時(shí)，有a10,S(An)0;a4k1(k1,2,,m),a4k10時(shí),有a10,S(An)0;當(dāng)n4m1(mN*)時(shí),E數(shù)列An的項(xiàng)知足，a4k1a3k30,a4k21,當(dāng)n4m2或n4m3(mN)時(shí),n(m1)不能被4整除，此時(shí)不存在E數(shù)列An，使得a10,S(An)0.12．（廣東理20）annban1(n2)an12n設(shè)b>0,數(shù)列知足a1=b，2．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；anbn11.（2）證明：關(guān)于一切正整數(shù)2n1n，解：a1b0,知annban1n12n1an12n20,.（1）由anbban1Ann,A11令anb，n2時(shí),An12An1當(dāng)bb122n22n1bb2bn1bn1A1122n22n1bb2bn1n.b①當(dāng)時(shí)，1(12n)bn2nAnbb,2bn(b12)bb2時(shí),Ann.②當(dāng)2annbn(b2),b2bn2n2,b2annbn(b2)bn11,只需證nbn(bn1bn2nbnn2n12n11)2）（2）當(dāng)時(shí)，（欲證2b(2n1bn1)bn2n(2n1bn1)(bn12bn22n1)b22n1bn12n2bn222nb2n2b2n12n1bn12nbn(2222nbnbn1b)bb2bn2n2n122nbn(222)2n2nbnn2n1bn，nbn(b2)bn11.an2n2n1bnb2時(shí),an2bn11.2n1當(dāng)anbn11.2n1綜上所述13．（湖北理19）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且知足：a1a(a0)，an1rSnN*，rR,r1)．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若存在N*，使得，，成等差數(shù)列，是判斷：關(guān)于隨意的N*，且m2，，，是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論．本小題主要考察等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考察推理論證能力，以及特殊與一般的思想。（滿分13分）解：（I）由已知an1rSn,可得an2rSn1，兩式相減可得an2an1r(Sn1Sn)ran1,即an2(r1)an1,又a2ra1ra,所以r=0時(shí)，數(shù)列為：a，0，，0，；當(dāng)r0,r1時(shí)，由已知a0,所以an0（nN*），an2r1(nN)an2(r1)an1,an1于是由可得，a2,a3,,an成等比數(shù)列，當(dāng)n2時(shí)，anr(r1)n2a.anann1,r(r1)n2a,n2綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為（II）關(guān)于隨意的mN*，且m2,am1,am,am2成等差數(shù)列，證明如下：ama,n1,0,n2當(dāng)r=0時(shí)，由（I）知，關(guān)于隨意的mN*，且m2,am1,am,am2成等差數(shù)列，當(dāng)，r1時(shí)，Sk2Skak1ak2,Sk1ak1.若存在kN*，使得Sk1,S1,Sk2成等差數(shù)列，則Sk1Sk22Sk，2Sk2ak1ak22Sk,即ak22ak1,由（I）知，a2,a3,,am,的公比r12，于是關(guān)于隨意的mN*，且m2,am12am,進(jìn)而am24am,am1am22am,即am1,am,am2成等差數(shù)列，綜上，關(guān)于隨意的mN*，且m2,am1,am,am2成等差數(shù)列。14．（遼寧理17）已知等差數(shù)列{an}知足a2=0，a6a8=-10（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；an（II）求數(shù)列2n1的前n項(xiàng)和．解：a1d0,（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由已知條件可得2a112d10,a11,解得d1.故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an2n.5分{an1}的前n項(xiàng)和為SnSna2an,故S112na1n1（II）設(shè)數(shù)列，即22，Sna1a2an.2242n所以，當(dāng)時(shí)，Sna1a2a1anan1an222n12n1(1112n)242n12n1(1n11)2nn22nn.2Sn2nn1.{ann1}的前n項(xiàng)和Sn2nn1.2121520111.a101an11annbn1an1,記Snbk,證明：Sn1.nk1111,I1an11an{1}1an111,故11n.a11anan11.nIIIbn1an1,nn1nn1n11nn18nn111Snbk1.()1n1k1k1kk112分16．（山東理20）等比數(shù)列中，a1,a2,a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且a1,a2,a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列．第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列知足：bnan(1)lnan，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（I）當(dāng)a13時(shí)，不合題意；當(dāng)a12時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a26,a318時(shí)，切合題意；當(dāng)a110時(shí)，不合題意。因此a12,a26,a318,所以公式q=3，故an23n1.（II）因?yàn)閎nan(1)nlnan23n1(1)n(23n1)23n1(1)n[ln2(n1)ln3]23n1(1)n(ln2ln3)(1)nnln3,所以S2n2(1332n1)[111(1)2n](ln2ln3)[125(1)nn]ln3,所以S213nnln3n132當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，3nnln31;2S213n(ln2ln3)(n1n)ln3n132當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，3nn1ln3ln21.2綜上所述，3nnln31,n為偶數(shù)Sn2n1ln3-ln2-1,n為奇數(shù)3n-217．（上海理22）已知數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為an3n6，bn2n7（nN*），將集合{x|xan,nN*}{x|xbn,nN*}中的元素從小到大依次排列，組成數(shù)列c1,c2,c3,,cn,。1）求c1,c2,c3,c4；（2）求證：在數(shù)列中．但不在數(shù)列中的項(xiàng)恰為a2,a4,,a2n,；（3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：⑴c19,c211,c312,c413；⑵①隨意nN*，設(shè)a2n13(2n1)66n3bk2k7，則k3n2，即a2n1b3n2②假定a6n6b2k7k3n1N*a2nk2（矛盾），∴2nn∴在數(shù)列中．但不在數(shù)列中的項(xiàng)恰為a2,a4,,a2n,。⑶b3k22(3k2)76k3a2k1，b3k16k5，a2k6k6，b3k6k7∵6k36k56k66k7∴當(dāng)時(shí)，依次有b1a1c1,b2c2,a2c3,b3c4，6k3(n4k3)cn6k5(n4k2),kN*6k6(n4k1)∴6k7(n4k)。18．（天津理20）3(1)n已知數(shù)列與知足：bnanan1bn1an20,bn2，nN*，且a12,a24．（Ⅰ）求a3,a4,a5的值；（Ⅱ）設(shè)cna2n1a2n1,nN*，證明：是等比數(shù)列；4nSk7*)（III）設(shè)Ska2k,kN*,證明：k1ak(nNa2a46．本小題主要考察等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考察運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合剖析和解決問題的能力及分類議論的思想方法滿分14分bn3(1)n,nN*,（I）解：由2bn1,n為奇數(shù)2,n為偶數(shù)可得又bnanan1bn1an20,當(dāng)n=1時(shí),a1+a2+2a3=0,由a1=2,a2=4,可得a33;當(dāng)n=2時(shí),2a2+a3+a4=0,可得a45;當(dāng)n=3時(shí),a3+a4+2a5=0,可得a44.（II）證明：對(duì)隨意nN*,a2n1a2n2a2n10,①2a2na2n1a2n20,②a2n1a2n22a2n30,③②—③，得a2na2n3.④將④代入①，可得a2n1a2n3(a2n1a2n1)即cn1cn(nN*)又c1a1a31,故cn0,cn11,所以{cn}因此cn是等比數(shù)列（III）證明：由（II）可得a2k1a2k1(1)k，于是，對(duì)隨意kN*且k2，有a1a31,(a3a5)1,a5a71,(1)k(a2k3a2k1)1.將以上各式相加，得a1(1)ka2k1(k1),即a2k1(1)k1(k1)，此式當(dāng)=1時(shí)也建立由④式得a(1)k1(k3).2k進(jìn)而S2k(a2a4)(a6a8)(a4k2a4k)k,S2k1S2ka4kk3.所以，對(duì)隨意nN*,n2，4nSnSSSSk(4m34m24m14m)k1akm1a4m3a4m2a4m1a4mnm1

(2m22m12m32m)2m2m22m12m3nm1

23()2m(2m1)(2m2)(2m2)2n5323m22m(2m1)(2n2)(2n3)1n533m2(2m1)(2m1)(2n2)(2n3)15[(11)(11)(111)]33235572n2n1(2n2)(2n3)155133622n1(2n2)(2n3).關(guān)于n=1，不等式顯然建立所以，對(duì)隨意nN*,S1S2S2n1S2na1a2a2n1a2nS1S2)(S3S4)S2n1S2n)(a2a3a4(a2na1a2n1(111(112)(11n)4)4242(424n(4n121)1)1112)(1n)n()(242(42n4n(4n41241)41)n(11)n1.412319．（浙江理19）已知公差不為0的等差數(shù)列的首項(xiàng)為a（aR）,設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且111a1，a2，a4成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及An111...1Bn1111...（2）記S1S2S3Sn，a1a2a22a2n，當(dāng)時(shí)，試比較與的大?。祟}主要考察等差數(shù)列、等比數(shù)列、求和公式、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考察分類議論思想。滿分14分。(1)211,（I）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由a2a1a4得(a1d)2a1(a13d)因?yàn)閐0，所以da所以anna1,Snan(n1).21211)（II）解：因?yàn)镾n(ann1，所以An11112(11)S1S2S3Snan1因?yàn)閍2n12n1a，所以1nBn111111(2)2(11).a1a2a22a2n1a11a2n2當(dāng)n2時(shí),2nCn0Cn1Cn2Cnnn1，1111n,即n12所以，當(dāng)a0時(shí),AnBn;當(dāng)a0時(shí),AnBn.2