23北京市西城區(qū)高三數(shù)學(xué)一模理科試題及答案

PAGE第9頁共16頁北京市西城區(qū)2023年高三一模試卷高三數(shù)學(xué)〔理科〕2023.4第一卷〔選擇題共40分〕一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分．在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．全集，集合，，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2．假設(shè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，那么實(shí)數(shù)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕3．執(zhí)行如下圖的程序框圖．假設(shè)輸出，那么輸入角〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕4．從甲、乙等名志愿者中選知名，分別從事，，，四項(xiàng)不同的工作，每人承當(dāng)一項(xiàng)．假設(shè)甲、乙二人均不能從事工作，那么不同的工作分配方案共有〔A〕種〔B〕種〔C〕種〔D〕種5．某正三棱柱的三視圖如下圖，其中正〔主〕視圖是邊長為的正方形，該正三棱柱的外表積是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕6．等比數(shù)列中，，那么“〞是“〞的〔A〕充分而不必要條件〔B〕必要而不充分條件〔C〕充分必要條件〔D〕既不充分也不必要條件7．函數(shù)，其中．假設(shè)對于任意的，都有，那么的取值范圍是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕8．如圖，正方體中，為底面上的動(dòng)點(diǎn)，于，且，那么點(diǎn)的軌跡是〔A〕線段〔B〕圓弧〔C〕橢圓的一局部〔D〕拋物線的一局部第二卷〔非選擇題共110分〕二、填空題：本大題共6小題，每題5分，共30分．9．曲線的參數(shù)方程為〔為參數(shù)〕，那么曲線的直角坐標(biāo)方程為．10．設(shè)等差數(shù)列的公差不為，其前項(xiàng)和是．假設(shè)，，那么______．11．如圖，正六邊形的邊長為，那么______．12．如圖，是圓的直徑，在的延長線上，切圓于點(diǎn)，于．假設(shè)，，那么圓的半徑長為______；______．13．在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱．點(diǎn)在拋物線上，且直線與的斜率之積等于，那么______．14．記實(shí)數(shù)中的最大數(shù)為，最小數(shù)為.設(shè)△的三邊邊長分別為，且，定義△的傾斜度為．〔ⅰ〕假設(shè)△為等腰三角形，那么______；〔ⅱ〕設(shè)，那么的取值范圍是______．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解容許寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15．〔本小題總分值13分〕函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是．〔Ⅰ〕求實(shí)數(shù)的值；〔Ⅱ〕設(shè)，求的單調(diào)遞增區(qū)間．16．〔本小題總分值13分〕某班有甲、乙兩個(gè)學(xué)習(xí)小組，兩組的人數(shù)如下：現(xiàn)采用分層抽樣的方法〔層內(nèi)采用簡單隨機(jī)抽樣〕從甲、乙兩組中共抽取名同學(xué)進(jìn)行學(xué)業(yè)檢測．〔Ⅰ〕求從甲組抽取的同學(xué)中恰有名女同學(xué)的概率；〔Ⅱ〕記為抽取的名同學(xué)中男同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．17．〔本小題總分值14分〕在如下圖的幾何體中，面為正方形，面為等腰梯形，//，，，．〔Ⅰ〕求證：平面；〔Ⅱ〕求與平面所成角的正弦值；〔Ⅲ〕線段上是否存在點(diǎn)，使平面平面？證明你的結(jié)論．18．〔本小題總分值13分〕函數(shù)，，其中．〔Ⅰ〕求的極值；〔Ⅱ〕假設(shè)存在區(qū)間，使和在區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，求的取值范圍．19．〔本小題總分值14分〕如圖，橢圓的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．當(dāng)直線經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，其傾斜角恰為．〔Ⅰ〕求該橢圓的離心率；〔Ⅱ〕設(shè)線段的中點(diǎn)為，的中垂線與軸和軸分別交于兩點(diǎn)．記△的面積為，△〔為原點(diǎn)〕的面積為，求的取值范圍．20．〔本小題總分值13分〕集合．對于，，定義；；與之間的距離為．〔Ⅰ〕當(dāng)時(shí)，設(shè)，．假設(shè)，求；〔Ⅱ〕〔ⅰ〕證明：假設(shè)，且，使，那么；〔ⅱ〕設(shè)，且．是否一定，使？說明理由；〔Ⅲ〕記．假設(shè)，，且，求的最大值．北京市西城區(qū)2023年高三一模試卷高三數(shù)學(xué)〔理科〕參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)2023.4一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分.1．B；2．A；3．D；4．B；5．C；6．B；7．D；8．A．二、填空題：本大題共6小題，每題5分，共30分.9．；10．；11．12．，；13．；14．，．注：12、14題第一問2分，第二問3分.三、解答題：本大題共6小題，共80分.假設(shè)考生的解法與本解答不同，正確者可參照評分標(biāo)準(zhǔn)給分.15．〔本小題總分值13分〕〔Ⅰ〕解：依題意，得，………………1分即，………………3分解得．………………5分〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕得．………………6分………………7分………………8分………………9分．………………10分由，得，．………………12分所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，．………………13分16．〔本小題總分值13分〕〔Ⅰ〕解：依題意，甲、乙兩組的學(xué)生人數(shù)之比為，……………1分所以，從甲組抽取的學(xué)生人數(shù)為；從乙組抽取的學(xué)生人數(shù)為．………2分設(shè)“從甲組抽取的同學(xué)中恰有名女同學(xué)〞為事件，………………3分那么，故從甲組抽取的同學(xué)中恰有名女同學(xué)的概率為．………………5分〔Ⅱ〕解：隨機(jī)變量的所有取值為．………………6分，，，．……………10分所以，隨機(jī)變量的分布列為:………………11分．………………13分17．〔本小題總分值14分〕〔Ⅰ〕證明：因?yàn)?，，在△中，由余弦定理可得，所以．……………?分又因?yàn)?，所以平面．……………?分〔Ⅱ〕解：因?yàn)槠矫?，所以．因?yàn)?，所以平面．……………?分所以兩兩互相垂直，如圖建立的空間直角坐標(biāo)系．………………6分在等腰梯形中，可得．設(shè)，所以．所以，，．設(shè)平面的法向量為，那么有所以取，得．………………8分設(shè)與平面所成的角為，那么，所以與平面所成角的正弦值為．………………9分〔Ⅲ〕解：線段上不存在點(diǎn)，使平面平面．證明如下：………………10分假設(shè)線段上存在點(diǎn)，設(shè)，所以．設(shè)平面的法向量為，那么有所以取，得．………………12分要使平面平面，只需，………………13分即，此方程無解．所以線段上不存在點(diǎn)，使平面平面．………………14分18.〔本小題總分值13分〕〔Ⅰ〕解：的定義域?yàn)椋?分且．………………2分①當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減．從而沒有極大值，也沒有極小值．………………3分②當(dāng)時(shí)，令，得．和的情況如下：↘↗故的單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為．從而的極小值為；沒有極大值．………………5分〔Ⅱ〕解：的定義域?yàn)?，且．……………?分③當(dāng)時(shí)，顯然，從而在上單調(diào)遞增．由〔Ⅰ〕得，此時(shí)在上單調(diào)遞增，符合題意．………………8分④當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不合題意．……9分⑤當(dāng)時(shí)，令，得．和的情況如下表：↘↗當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，由于在上單調(diào)遞減，不合題意．………………11分當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，由于在上單調(diào)遞減，符合題意．綜上，的取值范圍是．………………13分19．〔本小題總分值14分〕〔Ⅰ〕解：依題意，當(dāng)直線經(jīng)過橢圓的頂點(diǎn)時(shí)，其傾斜角為．………………1分設(shè)，那么．………………2分將代入，解得．………………3分所以橢圓的離心率為．………………4分〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕，橢圓的方程可設(shè)為．………………5分設(shè)，．依題意，直線不能與軸垂直，故設(shè)直線的方程為，將其代入，整理得．………………7分那么，，．………………8分因?yàn)?，所以，．……………?分因?yàn)椤鳌住?，所以……………?1分．………………13分所以的取值范圍是．………………14分20．〔本小題總分值13分〕〔Ⅰ〕解：當(dāng)時(shí)，由，得，即．由，得，或．………………3分〔Ⅱ〕〔ⅰ〕證明：設(shè)，，．因?yàn)?，使，所以，使得，即，使得，其中．所以與同為非負(fù)數(shù)或同為負(fù)數(shù)．………………5分所以．………………6分〔ⅱ〕解：設(shè)，且，此時(shí)不一定，使得．………………7分反例如下：取，，，那么，，，顯然．因?yàn)椋?，所以不存在，使得．……………?分〔Ⅲ〕解法一：因?yàn)?，設(shè)中有項(xiàng)為非負(fù)數(shù)，項(xiàng)為負(fù)數(shù)．不妨設(shè)時(shí)；時(shí)，．所以因?yàn)?，所以，整理得．所以．…………?0分因?yàn)?；又，所以．即．…………?2分對于，，有，，且，．綜上，的最大值為．