高中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)3函數(shù)-單調(diào)性

2第章函2課題2.3的單調(diào)性1教學(xué)目：（1解單調(diào)函數(shù)、單調(diào)區(qū)間的概念：能說出單調(diào)函數(shù)、單調(diào)區(qū)間這兩個概念的大致意思（2解函數(shù)單調(diào)性的概念：能用自已的語言表述概念；并能根據(jù)函數(shù)的圖象指出單調(diào)性、寫出單調(diào)區(qū)間（3握運用函數(shù)的單調(diào)性定義解決一類具體問題：能運用函數(shù)的單調(diào)性定義證明簡單函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)重：數(shù)調(diào)性的概念；教學(xué)難：用單調(diào)的定義證明具體函數(shù)的單調(diào)性

y

y

2教學(xué)過：一、復(fù)習(xí)引入：⒈復(fù)們初經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)圖象的畫了函數(shù)的性質(zhì)，我們按照列表、描點、連線等步驟先分別畫函數(shù)

2

和

3

的圖.

圖

x

2

的圖象如圖1，

3

的圖象如圖2.

y⒉引：函的圖象（圖1）看到：2y圖象在軸的左側(cè)部分是下降的說

x

在區(qū)間

－

上取值時，

yx

3隨著x的大y值漸減小，即如果取

x∈－，得12

xy),=么x時>y.11221212圖象在

軸的右側(cè)部分是上升的，也就是說，x在區(qū)間[取隨

圖2著增應(yīng)y也隨著增大，即如果取那么當(dāng)x<x時有yy.1212二、講解新課：

x12

，+得

y1

=

1

,

y=2y

)2

,⒈增數(shù)減數(shù)

定義：對于函數(shù)

的定義域I內(nèi)個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x當(dāng)x<x時有))在這個區(qū)間上是增121212函數(shù)（如圖3當(dāng)xx時，都有))說在個區(qū)間1212上是減函數(shù)（如圖）.說明：函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)，是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言函數(shù)

)11圖3

)22x在一些區(qū)間上是增函數(shù)另些區(qū)間上不是增函函數(shù)

（圖

y1x∈[0,+是函，∈(-是.⒉單性單區(qū)若函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)的單間也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函.在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降說明：⑴函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集；

f(x))1x1圖4

)2x2x⑵應(yīng)是該區(qū)間內(nèi)任意的兩個實數(shù)，忽略需要任意取值這個條件，就不能保證函數(shù)是增函數(shù)（或減函數(shù)，5中

x12

那樣的特定位置上，雖然使得

1

>

)2

，但顯

21(xx)(xxx)xxx然此圖象表示的函21(xx)(xxx)xxx⑶除了嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)外有嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的義似述定，只要將上述定義中的“<))>,”1212“)或))可；1212⑷定義的內(nèi)涵與外延：內(nèi)涵是用自變量的大小變化來刻劃函數(shù)值的變化情況；外延①一般規(guī)律量的變化與函數(shù)值的變化一致時是單調(diào)遞增量的變化與函數(shù)值的變化相對時是單調(diào)遞.

1x15

2x2x②幾何特征：在自變量取值區(qū)間上，若單調(diào)函數(shù)的圖象上升，則為增函數(shù)，圖象下降則為減函.三、講解例題：例1.如圖6義在閉區(qū)[

y圖象，

y根據(jù)圖象說出

y的調(diào)區(qū)間在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)

y是數(shù)還是減函.解：函數(shù)

y的調(diào)區(qū)間[，

y在間上減函數(shù)，

-5-2

O

135x在區(qū)間[上增函.說明的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的于單獨的一點，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，因而沒有增減變化，所以不存在單調(diào)性問題；另外，中學(xué)階段研究的主要是連續(xù)函數(shù)或分段連續(xù)函數(shù)，對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)來說，只要在開區(qū)間上單調(diào)，它在閉區(qū)間上也就單調(diào)，因此，在考慮它的單調(diào)區(qū)間時，包括不包括端點都可以；還要注意，對于在某些點上不連續(xù)的函數(shù)，單調(diào)區(qū)間不包括不連續(xù)點例證明

1x

在(0,+是數(shù).

(,0)(0,)

上單調(diào)嗎？證明：設(shè)是(任意兩個實數(shù)，且x<x，1212則

)－)12

=

11xx－=,xxx1212由

x1

x2

∈(0,+得

xx12

>0,又由x<xx>0)－即)>12211212∴

在(0,+是函.依函數(shù)

1x

圖象可知：函數(shù)在

(,0)(0,)

上不是單調(diào)函數(shù)。例3斷并證明函數(shù)x3的調(diào)證明：設(shè)

x1

x2

則f(x))x121

3222121122∵

x1

x2

∴x

，x1

2212

1

x3x22224

2

0

,

1211211121121121121112112111112minmax1

即f(x))1

（注：關(guān)鍵)12

的判斷）∴x

在R是增函.例討論

x

1x

的單調(diào)性，并畫出其大致圖象。解：函數(shù)定義域∞＋任取定義域內(nèi)兩個值、x，x＜x．1－f(x－x)，又－x，1212x121∴當(dāng)＜x≤1－≤x時，有x＜0)在上函數(shù)．當(dāng)1≤x＜x或x＜x≤－1時xx－1＞0x＞0∞，，上增函數(shù)．根據(jù)上面討論的單調(diào)區(qū)間的結(jié)果時＝f(1)2時．上述的單調(diào)區(qū)間及最值可大致四、練習(xí)：

像如．3．判數(shù)

3x2

在R上是函數(shù)還是減函數(shù)？并證明你的結(jié).判數(shù)

kxb

在的單調(diào)性說明理.五、小結(jié)討論函數(shù)的單調(diào)性必須在定義域內(nèi)進(jìn)數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子討論函數(shù)的單調(diào)須確定函數(shù)的定義⒉根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是xx是12給定區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且x<x；差)－，此差式變形（要注意變形1212的程度斷)－的正負(fù)（要注意說理的充分性)－的1212號確定其增減

11212121212121222221222第11212121212121222221222課題2.3的單調(diào)性2教學(xué)目：鞏數(shù)單調(diào)性的概念；熟練掌握證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟；含數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)問題的求解；教學(xué)重：練函數(shù)單調(diào)性的方法和步.教學(xué)難：調(diào)綜合運用教學(xué)過：一、復(fù)習(xí)引入：對數(shù)

的定義域內(nèi)區(qū)間上的任意兩個自變量的值

x12⑴若當(dāng)，都有12

12

在這個區(qū)間上是增函數(shù)；⑵若當(dāng)，都有12

)說12

在這個區(qū)間上是減函.若

y某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)函數(shù)

y在一區(qū)間具格的）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)

y調(diào)區(qū)間也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函.判明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是設(shè)x是區(qū)間內(nèi)的任意兩個值xx作1212差)－，并將此差式變形（要注意變形的程度)的（要1212注意說理的充分性－符號確定其增減.12二、講解新課：函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例已知二次函數(shù)∈R圖是條口下對軸x＝3的拋物線，試比較大?。号c(2解的像開口向下，且對稱軸是＝3∴x≥3時函數(shù)，又＞4＞3對軸，＝而＜15＜4，f（2）∴f(，即(．

時為減函數(shù)．例已知x，滿足，[＋上函數(shù)，

2＞0，試比較大小關(guān).解：∵x＜0＞0，x＋x，∴－x＞2＋x，即x，2＋x＋，f(x)在[增－＋x＋x∴f(－x－x．例3論函數(shù)f(x)x

2

在(調(diào)性解：∵

2

2ax2

2

，對稱軸

a∴若ax

2

3(增函數(shù)；若則

2

在函增函數(shù)若

2

(減數(shù)例4數(shù)ax＋a在

＋

上是增函數(shù)，求實數(shù)a取值范圍．解：當(dāng)時，x在區(qū)[＋上增函數(shù)．

22122當(dāng)≠0，對軸＝，若＞0，由3a10．，若＜0時，解．的范圍是≤11若區(qū)間為結(jié)果如何？a,15

)例函數(shù)

是定義在

上的增函數(shù)滿

，

，f(2)1

。（1）求

值（2）求足

3)2

的

x

的取值范圍

3,4

）練習(xí)知函數(shù)2x＋bx可化為＋m)－4的式中b＞0增函數(shù)的區(qū)間．12.果二次函數(shù)f(x)=x區(qū)(，1是單調(diào)函數(shù)，求取值范圍2已數(shù)

y對意的

R，有且11，）證）證

1。90；y

0,

上單調(diào)遞減；（3）若

)9，m的。若

是二次函數(shù)，當(dāng)時

取得最值且

試比較大?。海?）f(3)與f(4)；（2）f(3)與求

y

xx3

(1x2)域。數(shù)

是定義在

上的增函數(shù)，且滿足

，

R

，f(2)1

。求

的求足

2

的

x

的取值范圍

3,4

）

第章函課題2.3的單調(diào)性3教學(xué)目：掌合函數(shù)單調(diào)性的判斷方會合函數(shù)的單調(diào)區(qū).確復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間是定義域的子.教學(xué)重：練復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的方法和步教學(xué)難：合的單調(diào)性教學(xué)過：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷對于函數(shù)

y和

ug(x)

，如果

ug(x)

在區(qū)間

是具有單調(diào)性，當(dāng)x

時

y在

上也具有單調(diào)性函數(shù)

y在區(qū)間

具調(diào)性的規(guī)律見下表：y增↗ug(x)增↗

減

減↘增↗

減↘y

增↗

減

減↘

增↗以上規(guī)律還可總結(jié)為，異向得減”或“同增異減.證明：①設(shè)

x12

，且

x1

x2∵

u在

是增函數(shù)，∴

g(x)g(x，且g(xg(x1212∵

y

上是增函數(shù)，∴

f(g(x)).12所以復(fù)合函數(shù)

y在區(qū)間

上函數(shù)②設(shè)

x12

，且

x1

x2

，∵

ug(x)

在

是增函數(shù)，∴

g(x)g(x，且g(xg(x1212∵

y

上是減函數(shù)，∴

f(g(x12所以復(fù)合函數(shù)

y在區(qū)間

上函數(shù)③設(shè)

x12

，且

x1

x2

，∵

ug(x)

在

是減函數(shù)，∴

g(x)，且g(xg(x1212∵

y在

上是增函數(shù)，∴

f(g(x))x.12所以復(fù)合函數(shù)

y在區(qū)間

上函數(shù)④設(shè)

x12

，且

x1

x2

，∵

ug(x)在

是減函數(shù)，∴

g(x)，且g(xg(x1212∵

y

上是減函數(shù)，∴

f(g(x)).12所以復(fù)合函數(shù)

y在區(qū)間

上函數(shù)例1函數(shù)

82)22

的值域，并寫出其單調(diào)區(qū)間

22解：題設(shè)函數(shù)由22

2u

2

和

g(x)2x

復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)

f

，函數(shù)

u

的值域是

(，uu

2

(u1

2在

(上域是

(.故函數(shù)

82)x2

的值域是

(.對于函數(shù)的單調(diào)性難知二次函數(shù)

2uu

2

在區(qū)間

(減函數(shù)區(qū)間

)上是增函數(shù)；二次函數(shù)

u

區(qū)間

(上函數(shù)，在區(qū)間

上增函數(shù)當(dāng)

u(，2

2

即2x1，x1或x1當(dāng)

u)

時，

2

)

，即

2x21

，

1x1

.因此，本題應(yīng)在四個區(qū)間

(,

，

[

，

，

上慮①當(dāng)

x(,時u2x

2

，而2x在(,

上是增函數(shù)，

2u

2

在

(是函數(shù)，所以，函數(shù)8

2

2

在區(qū)間

(,

上是增函數(shù)②當(dāng)

x[時，u

2

)

，而

u2x

2

在

[

上是增函數(shù)，

2

在

上減函數(shù)，所以，函數(shù)

82)x2

在區(qū)間

[

上是減函數(shù)③當(dāng)

x，x

2

，而

u2

在

上是減函數(shù)，

u

2

在

上是減函數(shù)，所以，函數(shù)

82)x2

在區(qū)間

上是增函數(shù)④當(dāng)

x)

時，

2

2

而

u2x

2

在

是增函數(shù)，