人教A版必修第二冊831棱柱棱錐棱臺的表面積和體積作業(yè)

課時作業(yè)(二十一)棱柱、棱錐、棱臺的外表積和體積一、選擇題1.如圖，高為3的棱柱ABC－A1B1C1的底面是邊長為1的正三角形，那么三棱錐B－AB1C的體積為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),6) D.eq\f(\r(3),4)答案：DABCD－A1B1C1D1的棱長為1，點P是面A1B1C1D1內(nèi)任意一點，那么四棱錐P－ABCD的體積為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)答案：B3.(多項選擇)以下結(jié)論中，正確的選項是()S等于底面周長乘側(cè)棱長ABC－A′B′C中，VA′－ABC＝VB′－ABCP－ABC中，S側(cè)＝eq\f(1,2)ch(其中c為底面周長，h為斜高)答案：BC解析：直棱柱的側(cè)面積是底面周長乘側(cè)棱長，選項A錯誤；依據(jù)棱錐的體積公式可知選項B正確；選項C正確；等底等高的棱錐體積是棱柱體積的三分之一，選項D錯誤．應(yīng)選BC.4.如圖，正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長為4，動點E，F(xiàn)在棱AB上，且EF＝2，動點Q在棱D′C′上，那么三棱錐A′－EFQ的體積()E，F(xiàn)的位置有關(guān)Q的位置有關(guān)E，F(xiàn)，Q的位置都有關(guān)E，F(xiàn)，Q的位置均無關(guān)，是定值答案：D5.一個封閉的正三棱柱容器，高為3，內(nèi)裝水假設(shè)干(如圖甲，底面處于水平狀態(tài))，將容器放倒(如圖乙，一個側(cè)面處于水平狀態(tài))，這時水面與各棱交點E，F(xiàn)，F(xiàn)1，E1分別為所在棱的中點，那么圖甲中水面的高度為()A.eq\f(3,2) B.eq\f(7,4)C.2 D.eq\f(9,4)答案：D6.(多項選擇)如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，側(cè)面AA1C1C中心為O，點E是側(cè)棱BB1上的一個動點，那么以下推斷中，正確的選項是()A.直三棱柱的側(cè)面積是4＋2eq\r(2)eq\f(1,3)E－AA1O的體積為定值D.AE＋EC1的最小值為2eq\r(2)答案：ACD解析：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，底面ABC和A1B1C1是等腰直角三角形，側(cè)面全是矩形，所以其側(cè)面積為1×2×2＋eq\r(12＋12)×2＝4＋2eq\r(2)，故A正確；直三棱柱的體積為V＝S△ABC·AA1＝eq\f(1,2)×1×1×2＝1，故B不正確；由BB1∥平面AA1C1C，且點E是側(cè)棱BB1上的一個動點，∴三棱錐E－AA1O的高為定值eq\f(\r(2),2)，S△AA1O＝eq\f(1,4)eq\r(2)×2＝eq\f(\r(2),2).∴VE－AA1O＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,6)，故C正確；將四邊形BCC1B1沿BB1翻折，使四邊形ABB1A1與四邊形BCC1B1位于同一平面內(nèi)，連接AC1與BB1相交于點E，此時AE＋EC1最小，即AE＋EC1＝AC1＝eq\r(AA\o\al(2,1)＋A1C\o\al(2,1))＝2eq\r(2)，故D正確.二、填空題S－ABC的棱長均為4，那么該三棱錐的體積是________.答案：eq\f(16\r(2),3)8．(2019·全國卷Ⅲ)同學(xué)到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體ABCD－A1B1C1D1挖去四棱錐O－EFGH后所得的幾何體．其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為________g.答案：9.如圖，在多面體ABCDEF中，ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，那么該多面體的體積為________.答案：eq\f(\r(2),3)a，高為eq\f(\r(6),6)a，那么此棱錐的外表積為________.答案：eq\f(3＋\r(3),4)a2解析：如圖，在三棱錐S－ABC中，AB＝a，SO＝eq\f(\r(6),6)a，于是OD＝eq\f(1,3)×AB×sin60°＝eq\f(\r(3),6)a，從而SD＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)a))2)＝eq\f(a,2)，故三棱錐的外表積S＝3×eq\f(1,2)×a×eq\f(a,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)a×a＝eq\f(3＋\r(3),4)a2.11.用一張正方形的紙把一個棱長為1的正方體禮品盒完全包住，不將紙撕開，那么所需紙的最小面積是________.答案：8三、解答題12.正四棱錐底面正方形的邊長為4，高與斜高的夾角為30°，求正四棱錐的側(cè)面積和外表積.解：如圖，正四棱錐的高PO，斜高PE，底面邊心距OE組成Rt△POE.由于OE＝2，∠OPE＝30°，所以PE＝2OE＝4.因此S側(cè)＝4×eq\f(1,2)PE×BC＝4×eq\f(1,2)×4×4＝32，S表＝S側(cè)＋S底＝32＋16＝48.13.如圖，在多面體ABCDEF中，平面ABCD是邊長為4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一點到平面ABCD的距離均為3，求該多面體的體積.解：如圖，連接EB，EC，AC.V四棱錐E－ABCD＝eq\f(1,3)×42×3＝16.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF，∴V三棱錐F－EBC＝V三棱錐C－EFB＝eq\f(1,2)V三棱錐C－ABE＝eq\f(1,2)V三棱錐E－ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)V四棱錐E－ABCD＝4.∴多面體的體積V＝V四棱錐E－ABCD＋V三棱錐F－EBC＝16＋4＝20.14.正四棱臺(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面邊長為6，高和下底面邊長都是12，求它的側(cè)面積.解：如圖，E，E1分別是BC，B1C1的中點，O，O1分別是下、上底面正方形的中心，那么O1O為正四棱臺的高，那么O1O＝12.連接OE，O1E1，那么OE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×12＝6，O1E1＝eq\f(1,2)A1B1＝3.過E1作E1H⊥OE，垂足為H，那么E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，HE＝OE－O1E1＝6－3＝3.在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝153，所以E1E＝3eq\r(17).所以S側(cè)＝4×eq\f(1,2)×(B1C1＋BC)×E1E＝2×(6＋12)×3eq\r(17)＝108eq\r(17).E，F(xiàn)是三棱柱ABC－A1B1C1側(cè)棱BB1和CC1上的點，且B1E＝CF，三棱柱的體積為m，求四棱錐A－BEFC的體積.解：如下圖，連接AB1，AC1.設(shè)AA1＝h，由于B1E＝CF，所以梯形BEFC的面積等于梯形B1EFC1的面積.又由于四棱錐A－BEFC的高與四棱錐A－B1EFC1的高相等，所以VA－BEFC＝VA－B1EFC1＝eq\f(1,2)VA－BB1C1C.又VA－A1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·h