復變函數(shù)與積分變換-第三章

復變函數(shù)與積分變換-第三章第一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五2023/5/26復變函數(shù)與積分變換》4.1復數(shù)項級數(shù)與復變函數(shù)項級數(shù)1.復數(shù)序列概念收斂與發(fā)散定理4.1.1定理4.1.2第二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五2023/5/26復變函數(shù)與積分變換》2.復數(shù)項級數(shù)概念收斂與發(fā)散形如的表達式被稱為復數(shù)項級數(shù)，其中wn是復數(shù)。若的前n項和有極限（n）,則稱該級數(shù)收斂，且稱此極限值為該無窮級數(shù)的和；否則稱為發(fā)散。第三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五2023/5/26復變函數(shù)與積分變換》收斂的充分必要條件－－定理4.1.3絕對收斂與條件收斂—定義4.1.4設，則級數(shù)收斂的充分必要條件是和都收斂，其中un和vn皆為實數(shù)。稱級數(shù)是絕對收斂的，如果是收斂的稱級數(shù)是條件收斂的，如果是發(fā)散的，而是收斂的第四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五2023/5/26復變函數(shù)與積分變換》舉例考察級數(shù)的斂散性考察級數(shù)的斂散性考察級數(shù)的斂散性第五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五2023/5/26復變函數(shù)與積分變換》3.復變函數(shù)項級數(shù)概念收斂與發(fā)散形如的表達式被稱為復數(shù)項級數(shù)，其中wn(z)是復變函數(shù)。點收斂：域收斂：收斂稱之收斂，zB，稱之第六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五2023/5/26復變函數(shù)與積分變換》收斂的充分必要條件一致收斂—定理4.1.6級數(shù)收斂的充分必要條件是和都收斂，其中對于，稱它在B內(nèi)一致收斂于函數(shù)f(z)，如果>0，N()，當n>N()時，有M判別法第七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五2023/5/26復變函數(shù)與積分變換》性質(zhì)連續(xù)性--4.1.7可積性--4.1.8解析性—4.1.9級數(shù)在B內(nèi)一致收斂，且wn(z)連續(xù)，則該級數(shù)在B內(nèi)連續(xù)級數(shù)在C上一致收斂，且wn(z)在C上連續(xù)，則級數(shù)在B內(nèi)一致收斂f(z)，且wn(z)在B內(nèi)解析，則f(z)在B內(nèi)解析，且第八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五2023/5/26復變函數(shù)與積分變換》4.2冪級數(shù)1.冪級數(shù)概念形如的級數(shù)被稱為以z0為中心的冪級數(shù)，其中an是復變常數(shù)。定理4.2.1（阿貝爾定理）第九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五2023/5/26復變函數(shù)與積分變換》2.冪級數(shù)的收斂圓與收斂半徑若存在正數(shù)R，使得當|z-z0|<R時，級數(shù)收斂；而得當|z-z0|>R時，級數(shù)發(fā)散，則稱R為級數(shù)的收斂半徑，其中|z-z0|<R被稱為收斂圓。第十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五2023/5/26復變函數(shù)與積分變換》收斂半徑的求法：定理4.2.2；定理4.2.3D'Alembert公式Cauchy(根式)公式舉例求級數(shù)的斂散半徑及收斂圓求級數(shù)的斂散半徑及收斂圓第十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五2023/5/26復變函數(shù)與積分變換》內(nèi)閉一致收斂3.冪級數(shù)的性質(zhì)在收斂圓內(nèi)冪級數(shù)具有連續(xù)性、可積性4.2.5和解析性4.2.4冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)內(nèi)閉一致收斂4.冪級數(shù)的運算第十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五2023/5/26復變函數(shù)與積分變換》4.3Taylor級數(shù)表示1.Taylor展開定理設函數(shù)f(z)以z0為圓心的圓周CR內(nèi)解析，則對于圓內(nèi)任一點z，函數(shù)f(z)可寫成（定理4.3.1）z0zCRCR'RR'第十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五2023/5/26復變函數(shù)與積分變換》舉例函數(shù)f(z)=ez在z=0點的Taylor級數(shù)展開函數(shù)f(z)=sinz和f(z)=cosz

在z=0點的Taylor級數(shù)展開函數(shù)f(z)=Lnz

在z=1點的Taylor級數(shù)展開函數(shù)f(z)=(1+z)n在z=0點的Taylor級數(shù)展開第十四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五2023/5/26復變函數(shù)與積分變換》例2把函數(shù)展開成的冪級數(shù)解:函數(shù)在內(nèi)處處解析,由公式(4.1.7)把上式兩邊逐項求導,即得所求的展開式第十五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五2023/5/26復變函數(shù)與積分變換》解析函數(shù)的一個等價命題函數(shù)f(z)在B內(nèi)解析的充分必要條件為f(z)在B內(nèi)任一點的鄰域內(nèi)可展成冪級數(shù)（定理4.3.2）第十六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五2023/5/26復變函數(shù)與積分變換》2.幾個初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式直接方法間接方法函數(shù)f(z)=arctanz

在z=0點的Taylor級數(shù)展開函數(shù)f(z)=sinz

在z=0點的Taylor級數(shù)展開函數(shù)f(z)=1/(1-z)2

在z=0點的Taylor級數(shù)展開待定系數(shù)法函數(shù)f(z)=tanz

在z=0點的Taylor級數(shù)展開第十七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五2023/5/26復變函數(shù)與積分變換》4.4Laurent級數(shù)問題的提出已知結果：當f(z)在圓|z-z0|<R內(nèi)解析，Taylor定理告訴我們，f(z)必可展開成冪級數(shù)。問題是：當f(z)在圓|z-z0|<R內(nèi)有奇點時，能否展開成冪級數(shù)或展開成類似于冪級數(shù)的形式。第十八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五2023/5/26復變函數(shù)與積分變換》1.洛朗級數(shù)（雙邊冪級數(shù)）其中被稱為雙邊冪級數(shù)的正冪部分被稱為雙邊冪級數(shù)的負冪部分第十九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五2023/5/26復變函數(shù)與積分變換》收斂環(huán)的確定設正冪部分的收斂半徑為R1；而負冪部分在變換=1/(z-z0)下的級數(shù)的收斂半徑為1/R2

，則其在|z-z0|>R2外收斂。如果R2<R1，那么雙邊冪級數(shù)就在環(huán)狀域R2<|z-z0|<R1內(nèi)收斂，所以R2<|z-z0|<R1給出了雙邊冪級數(shù)的環(huán)狀收斂域，稱為收斂環(huán)。雙邊冪級數(shù)在收斂環(huán)內(nèi)絕對內(nèi)閉一致收斂。第二十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五2023/5/26復變函數(shù)與積分變換》正冪部分負冪部分R2R1z0R1z0|z-z0|<R1R2z0R2<|z-z0|收斂環(huán)R2<|z-z0|<R1第二十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五2023/5/26復變函數(shù)與積分變換》雙邊冪級數(shù)的性質(zhì)R2R1z0B定理設雙邊冪級數(shù)的收斂環(huán)B為R2<|z-z0|<R1，則(1)在B內(nèi)連續(xù)；(2)在B內(nèi)解析，且于B內(nèi)可逐項可導；(3)在B內(nèi)可逐項積分。第二十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五2023/5/26復變函數(shù)與積分變換》2.Laurent展開定理設函數(shù)f(z)在環(huán)狀域R2<|z-z0|<R1

的內(nèi)部單值解析，則對于環(huán)內(nèi)任一點z，f(z)可展開成zCR1CR2R2R1z0C第二十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五2023/5/26復變函數(shù)與積分變換》Laurent級數(shù)中的z0點可能是奇點，也可能不是奇點說明Laurent級數(shù)展開的唯一性收斂范圍的極限的確定第二十四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五2023/5/26復變函數(shù)與積分變換》舉例函數(shù)f(z)=sinz/z在0<|z|<內(nèi)的Laurent級數(shù)展開函數(shù)f(z)=1/(1-z2)

分別在1<|z|<和0<|z-1|<2內(nèi)的Laurent級數(shù)展開11-11<|z|<21-10<|z-1|<2第二十五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五2023/5/26復變函數(shù)與積分變換》例3把函數(shù)展開成的級數(shù)解:因為所以第二十六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五2023/5/26復變函數(shù)與積分變換》例4把函數(shù)在收斂圓環(huán)域

內(nèi)展開成羅倫級數(shù).解:因為所以,

第二十七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五2023/5/26復變函數(shù)與積分變換》例5把函數(shù)在收斂圓環(huán)域

內(nèi)展開成羅倫級數(shù).解:因為所以,

第二十八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五2023/5/26復變函數(shù)與積分變換》例5把函數(shù)在收斂圓環(huán)域

內(nèi)展開成羅倫級數(shù).解:因為所以,

第二十九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五2023/5/26復變函數(shù)與積分變換》通過例3、例4、例5可知同一個函數(shù)在不同的收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級數(shù)一般不同;由羅倫級數(shù)的唯一性可知,同一個函數(shù)在相同的收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級數(shù)一定相同.第三十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五2023/5/26復變函數(shù)與積分變換》第五節(jié)孤立奇點的分類概念若函數(shù)f(z)在某點z0在不可導，而在z0的任意鄰域內(nèi)除z0外連續(xù)可導，則稱z0為f(z)的孤立奇點；若在z0的無論多小的鄰域內(nèi)總可以找到z0以外的不可導點，則稱z0為f(z)的非孤立奇點。舉例孤立奇點的例子非孤立奇點的例子第三十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五2023/5/26復變函數(shù)與積分變換》孤立奇點的Laurent級數(shù)展開在區(qū)域0<|z-z0|<R

內(nèi)的單值解析函數(shù)f(z)可展開成其中正冪部分是該級數(shù)的解析部分是該級數(shù)的主要部分負冪部分這里a-1具有特殊的作用