復變函數(shù)教程

復變函數(shù)教程第一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五

單復變函數(shù)的理論基礎(chǔ)是在19世紀由柯西、魏爾斯特拉斯和黎曼所奠定的?？挛鞯姆e分理論，魏爾斯特拉斯的無窮級數(shù)理論和黎曼的共形（保角）映射理論構(gòu)成優(yōu)美的單復變函數(shù)論。復變函數(shù)論在數(shù)學領(lǐng)域的許多分支都有深刻的應用，已經(jīng)深入到微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論等學科，對它們的發(fā)展很有影響。復變函數(shù)論在實際應用方面，涉及的面很廣，有很多復雜的計算都是用它來解決的。比如物理學上有很多不同的穩(wěn)定平面場，所謂場就是每點對應有物理量的一個區(qū)域，對它們的計算就是通過復變函數(shù)來解決的。俄國數(shù)學家茹柯夫斯基在設(shè)計飛機的時候，就用復變函數(shù)論解決了飛機機翼的結(jié)構(gòu)問題。第二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五問題的提出1，已知求2，歐拉公式（數(shù)學中的美學高峰）：3，F(xiàn)ermat-Torricelli問題：已知平面中若干個點，求另外一點使得它與給定的點的距離之和最小。4，F(xiàn)ermat問題，經(jīng)典平面幾何難題。5，電位、電力線問題：已知兩電板（平直或者彎曲）的電位，求兩電板之間的電位及電力線方向。第三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五第一章復數(shù)與復變函數(shù)第二章解析函數(shù)第三章復變函數(shù)的積分第四章級數(shù)第五章留數(shù)第六章保角（共形）映射及其應用第七章Fourier,Laplace變換第四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五第一章復數(shù)與復變函數(shù)復數(shù)及其代數(shù)運算復數(shù)的表示復數(shù)的乘冪與方根復平面點集與區(qū)域復變函數(shù)復變函數(shù)的極限與連續(xù)第五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五復數(shù)

有許多的原因使得數(shù)的概念必須越出實數(shù)域而引進復數(shù)。最早要求引進復數(shù)是為了解三次方程，但通常為容易理解故，都是從二次方程引入。實數(shù)域內(nèi)沒有提供解二次方程的完整理論，就如解這樣的簡單方程都沒有實數(shù)解。擺在面前有兩種方案可供選擇：1，干脆宣布此方程無解；2，擴充數(shù)的概念，引進一種新的數(shù)（虛想之數(shù)），并記此數(shù)為“i”，稱為虛數(shù)單位。歷史上曾有不少數(shù)學家持第一種態(tài)度，然而更多的則采取第二種開放的態(tài)度，引進復數(shù)。

第六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五復數(shù)及其代數(shù)運算

1)復數(shù)：形如z=x+iy的數(shù)稱為復數(shù)，其中x,y是任意的實數(shù)，分別稱為復數(shù)z的實部和虛部，記為兩個復數(shù)相等，當且僅當其實部和虛部分別相等。2)定義兩個復數(shù)的加法、乘法運算如下：第七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五減法、除法運算則定義為加法、乘法運算的逆運算：可以驗證這些運算滿足關(guān)于加法的交換律和結(jié)合律、乘法的交換律和結(jié)合律以及乘法對加法的分配率。這樣，按代數(shù)結(jié)構(gòu)而言，復數(shù)全體構(gòu)成了一個代數(shù)域，稱為復數(shù)域。第八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五3)共軛復數(shù).對于復數(shù)，稱為其共軛復數(shù)。稱為其模，記作。容易驗證第九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五4)復平面一對有序?qū)崝?shù)（x，y）平面上一點P復數(shù)z=x+iyxyz=x+iyO實軸、虛軸、復平面Z平面第十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五5)復數(shù)的幾種表示法幾何表示：平面上一矢量與一復數(shù)z構(gòu)成一一對應，復數(shù)的加減與矢量的加減一致。xyO加法運算第十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五xyO減法運算第十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五復數(shù)的三角形式利用極坐標來表示復數(shù)z，則復數(shù)z可表示為三角式：復數(shù)的模復數(shù)的幅角第十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五討論：復數(shù)的幅角不能唯一地確定。任意非零復數(shù)均有無窮多個幅角。通常把

的幅角稱為Argz的主值。記為2）復數(shù)“零”的幅角沒有意義，其模為零。3）當r=1時，復數(shù)z稱為單位復數(shù)。利用復數(shù)的三角形式或指數(shù)形式作乘除法比較方便。第十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五設(shè)定理注意多值性xyO第十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五例：已知正三角形的兩個頂點為求三角形的另一個頂點。xyO解得第十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五復數(shù)的乘冪n個相同復數(shù)z的乘積成為z的n次冪復數(shù)方根的為已知復數(shù)，n為正整數(shù)，則稱滿足方程的所有w值為z的n次方根，并且記為第十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五當k＝0，1，2，…，n－1時，得到n個相異的根：第十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五例：即第十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五復數(shù)的球面表示與擴充復平面zPN球極平面射影法取一個在原點O與z平面相切的球面，過O點作z平面的垂線與球面交于N點（稱為北極或者球極）。P對于平面上的任一點z，用一條空間直線把它和球極連接起來，交球面于P。第二十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五從幾何上可以看出：

Z平面上每個以原點為圓心的圓周對應于球面上的某一個緯圈，這個圓周以外的點則對應于相應緯圈以北的點，而且若點z的模越大，球面上相應的點則越靠近北極N。由此我們引進一個理想“點”與北極N對應。稱之為無窮遠點擴充復平面＝復平面。規(guī)定：約定無窮遠點的實部、虛部及幅角都沒有意義；另外等也沒有意義。N第二十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五復平面點集與區(qū)域（1）鄰域（2）去心鄰域（3）內(nèi)點點z是點集E的內(nèi)點存在z的某個r鄰域含于E內(nèi)，即（4）外點點z是點集E的外點存在z的某個r鄰域不含E內(nèi)的點第二十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五（5）邊界點點z的任意鄰域既有E的點，又有非E的點.（6）開集點集E中的點全是內(nèi)點（7）閉集開集的余集空集和整個復平面既是開集，又是閉集。（8）連通集E中任意兩點可以用有限個相銜接的線段構(gòu)成的折線連接起來，而此折線全在E中。（9）區(qū)域非空的連通開集第二十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五（10）有界區(qū)域如果存在正數(shù)M，使得對于一切D中的點z，有（11）簡單曲線、光滑曲線點集稱為z平面上的一條有向曲線。則稱D為有界區(qū)域。第二十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五簡單曲線：簡單閉曲線：光滑曲線：（12）單連通區(qū)域設(shè)D為復平面上的區(qū)域，若在D內(nèi)的任意簡單閉曲線的內(nèi)部仍屬于D，則稱D為單連通區(qū)域，否則稱多連通區(qū)域。沒有交叉點。第二十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五平面圖形的復數(shù)表示

很多平面圖形能用復數(shù)形式的方程（或不等式）來表示；也可以由給定的復數(shù)形式的方程（或不等式）來確定所表示的平面圖形。例：Z平面上以原點為中心、R為半徑的圓周方程為Z平面上以為中心、R為半徑的圓周方程為第二十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五例：（1）連接z1和z2兩點的線段的參數(shù)方程為（2）過兩點z1和z2的直線L的參數(shù)方程為（3）z1、z2，z3三點共線得充要條件為第二十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五例：考察下列方程（或不等式）在平面上所描繪的幾何圖形。（1）該方程表示到點2i和－2距離相等的點的軌跡，所以方程表示的曲線就是連接點2i和－2的線段的垂直平分線，它的方程為y=－x。（2）設(shè)z=x+iy,第二十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五（3）表示實軸方向與由點i到z的向量之間交角的主值，因此滿足方程的點的全體是自i點出發(fā)且與實軸正向夾角為45度的一條半射線。（不包括i點）（4）第二十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五例：指出不等式中點z的軌跡所在范圍。解：因為所以于是有第三十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五它表示在圓外且屬于左半平面的所有點的集合第三十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五復變函數(shù)復變函數(shù)的定義設(shè)D是復變數(shù)z的一個集合，對于D中的每一個z，按照一定的規(guī)律，有一個或多個復數(shù)w的值與之對應，則稱w為定義在D上的復變函數(shù)，記做單值函數(shù)f(z):對于D中的每個z，有且僅有一個w與之對應。多值函數(shù)f(z):對于D中的每個z，有兩個或兩個以上w與之對應。第三十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五定義：我們主要考慮單值函數(shù)f(z)是單射（或一對一映射）對于任意f(z)是滿射f(z)是雙射f(z)既是單射，又是滿射。第三十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五例：第三十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五第三十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五第三十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五1-1-1-10-8-6-4-2x2468v=101y-10-8-6-4-2u=02468uv1010-10-10第三十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五復變函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限定義：設(shè)函數(shù)w=f(z)定義在z0的去心鄰域如果有一確定的數(shù)A存在，對于任意給定的相應地必有一正數(shù)使得當時有那么稱A為f(z)當z趨向z0時的極限，記作第三十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五幾何意義：當變點z一旦進入z0的充分小的去心鄰域時，它的象點f(z)就落入A的預先給定的小鄰域內(nèi)。關(guān)于極限的計算，有下面的定理。注意：z趨于z0的方式是任意的，就是說，無論z從什么方向，以何種方式趨向于z0，f(z)都要趨向于同一個常數(shù)。第三十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五定理一定理二第四十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五例證明函數(shù)當z趨于0時的極限不存在。解法一令z=x+iy,則所以極限不存在。第四十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五解法2利用復數(shù)的三角表示式當z沿著不同的射線趨于零時，f(z)趨于不同的值。如極限不存在。第四十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五函數(shù)的連續(xù)如果那么f(z)在z0處連續(xù)。如果f(z)在D內(nèi)各點都連續(xù)，那么f(z)在D內(nèi)連續(xù)。定理：f(z)在z0處連續(xù)的充分必要條件是u(x,y),v(x,y)在（x0，y0）處連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的四則運算、復合運算都成立。有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)的最值定理。第四十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期