第四章 矩陣特征值和特征向量

第章矩的征和征量教安說章節(jié)題目：§4.1矩陣的特征值與特征向量，§4.2相似矩陣與矩陣對角化學(xué)時(shí)分配：共4時(shí)。§4.1矩陣的特征根與特征向量2學(xué)時(shí)§4.2相似矩陣與矩陣對角化2學(xué)時(shí)本章教學(xué)目的與要求：目的：通過教學(xué)使學(xué)生掌握特征根、特征向量、特征多項(xiàng)式等概念，熟練掌握計(jì)算特征根與特征向量的方法，屬于不同特征根的特征向量的關(guān)系，可對角化的判定和計(jì)算。要求是：1、正確理解方陣的特征根，特征多項(xiàng)式，特征方程和特征向量等概念。2、重點(diǎn)掌握特征根和特征向量的性質(zhì)和求法（本章的難點(diǎn)3、深刻理解相似矩陣的概念，并熟練掌握它們的性質(zhì)。4、重點(diǎn)掌握方陣相似對角矩陣的條件（本章的難點(diǎn)

課程名稱：

課堂教學(xué)方案特征值與特征向量授課時(shí)數(shù)：2時(shí)授課類型:理論課教學(xué)方法與手段：講授法教學(xué)目的與要求掌握特征根、特征向量、特征多項(xiàng)式概念及特征根、特征向量的求法；教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：特征根、特征向量、特征多項(xiàng)式概念及求法教學(xué)內(nèi)容§

特值特向1.1方陣的征與征量定1設(shè)

A

x是階陣，若存在常數(shù)A

和非零n向量使關(guān)系式（）成立，則稱數(shù)方陣的征值；非零向量x稱為對于特征值特征向量．下面討論如何求矩陣的特征值與特征向.設(shè)有階方陣

11211

1222n

1n2ann

和維向量

將（1）式改寫成(A

E)x

（）得到一個(gè)含個(gè)知數(shù)個(gè)程齊次線性方程組

(a0111xax0212x0n1n22n此方程組有非零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式

0

AA即11

12

1n

21

22

2

n2

nn

定2

設(shè)

為階陣，含有未知量的陣A稱矩陣A特征矩陣，其行列式

A

是次多項(xiàng)式，稱為矩陣A的征多項(xiàng)式，作

f(

)

；A

E稱矩陣

的特征方程

是矩陣A的個(gè)特征值一定是的因矩陣的特征值又稱為矩陣

的特征根，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，階陣有個(gè)特征.關(guān)于特征向量，做幾點(diǎn)說明：（1）于每一個(gè)特征值i，i對的特征向量有無窮多個(gè)，這是因?yàn)辇R次方程組()xi每一個(gè)非零解都是的應(yīng)于i的特征向.（）應(yīng)于同一特征值的特征向量的線性組合，仍是特征向.（不同的特征值所對應(yīng)的特向量不相等一個(gè)特征向量只能對應(yīng)于一個(gè)特征.綜上所述，得到矩陣特征值與特征向量的求法：（1）求出特征方程的全部根

12

,

n

（重根按重?cái)?shù)計(jì)算則,,就方陣的全部特征值1（的個(gè)征值代入(次線性方程組A)xiii（）求(A的基礎(chǔ)解系，其中每個(gè)解向量都是i

對應(yīng)于

i

的特征向量，基

4礎(chǔ)解系的線性組合就是A對于的全部特征向.i例

求矩陣

33

的特征值和特征向量.例

求矩陣

的特征值和特征向量．特征與征量性性1

若階方陣A的征值為

1

,

n

，則（）

1

22

nn（）

A如例2中矩陣

A0

的特征值2

，則013a1122

；

1

，34

1

3

性2

若向量

,1

2

分別是矩陣A的對于不同特征值

12

,的特征向量2

線性無關(guān)證

若

,1

2

線性相關(guān)，因?yàn)?/p>

,1

2

都是非零向量，則有數(shù)使

21

，即

x

也是A的對于

1

的特征向量，與已知條件矛盾，所以，

,x1

2

線性無.

,(i,(i,t)一般地，如果1

,2

t

是矩陣的同特征值，i1

i

isi

是A的應(yīng)于i的性無關(guān)的特征向量

，則向量,,,,12st1t2t

也線性無性3證

階陣與的轉(zhuǎn)置矩陣因?yàn)?/p>

的特征值相同.T

(

T

A所以與的特征多項(xiàng)式相同，從而它們的特征值相.性4

設(shè)是n階陣

的特征值，則

是的特征.證明

因?yàn)槭堑奶卣髦邓?/p>

x

x

，用

左乘上式，得A

2

AAxAAx)A(

)=

(x

Ax)

于以特征值的定義知是的特征值.課作習(xí)題1；2課堂教學(xué)案課程名稱：

矩陣的相似與矩陣的對角化授課時(shí)數(shù)：2時(shí)授課類型:理論課教學(xué)方法與手段：講授法教學(xué)目的與要求：掌握矩陣相似的定義及相關(guān)的性質(zhì)理解矩陣可對角化的條件.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：矩陣相似的定義及相關(guān)的性質(zhì)矩陣可對角化的條件教學(xué)內(nèi)容§4.2矩陣的似矩的角在矩陣的運(yùn)算中,對矩陣的運(yùn)算最方便自然要問，對于一個(gè)n階陣A，否可化為對角矩陣，且保持矩陣2.1矩陣相的義

的一些重要性質(zhì)本節(jié)將討論這個(gè)問.定1

設(shè)

,都階陣如果有可矩陣使

AP

則

是

的相似矩陣，或稱矩陣

與

相似，記為

B

.其中矩陣

稱為相似變換矩陣.從定義顯然可看出，矩陣的相似關(guān)系具有以下性:(1)反性對意n階陣,有與A相;

011011(2)對性若A與B相似則與A相似;(3)傳性若AB相,且B與C似,則AC相似.似陣性定1相矩陣有相同特征多項(xiàng).證

設(shè)矩陣

與矩陣

相似以在可逆矩陣P

，使

AP

,于是BP

APP

AP

PP

AP

EP=

(P

AP所以，矩陣與陣B有同特征多項(xiàng)式但應(yīng)注意，定理的逆命題不成立，例如，矩陣

0

，它們的特征多項(xiàng)式均為

，但他們不是相似矩.定2相似矩陣有相的行列式.證

設(shè)矩陣

與矩陣

相似以在可逆矩陣

，使

AP

，于是根據(jù)方陣行列式性質(zhì)，兩邊求行列式，得

PAPP

A,A,故矩與B有同的行列式.定3相似矩陣有相的可逆性，且當(dāng)它們都可逆時(shí)，其逆矩陣也相.證

設(shè)矩陣A與陣相則A故陣與陣B具相同的可逆.矩陣

與矩陣

相似且都可逆，則存在可逆矩陣

，使得

AP

，于是B

)

P

A

(

)

P

A

P即

A

相似.定4相似矩陣有相的.證留讀者.矩陣似條由于相似矩陣具有很多共同的性質(zhì)，在研究矩陣性質(zhì)時(shí)，可通過與其相似的簡單矩陣的性質(zhì)來研究在n階陣中對矩陣是一類很簡單的矩陣面研究矩陣與對角矩陣的關(guān)系

定5

階矩陣

與對角矩陣

1

2

n

相似的充分必要條件是矩陣

有個(gè)性無關(guān)的特征向.證

必要性設(shè)矩陣與角陣相似，即存在可逆矩陣，得AP

1

2

n

那么

設(shè)

P,)1n

，則

可寫成,,12

),n2

)n

1

2

n

112n

可得

Aii

i

(i

1,2,

,)因?yàn)榭捎?所

i

(i

1,2,

n)

都是非零向量因而

12

n

都是A分對應(yīng)于特征值的征向量，并且這n個(gè)征向量線性無關(guān)i充分性設(shè)

，12

n

為

的

個(gè)線性無關(guān)特征向量，它們對應(yīng)的征值依次為12

n

，則有Aii

i

(i

1,2,

,)令P

1

,

2

,

n

)

因?yàn)?/p>

，12

n

線性無關(guān)，所以

可逆，且

AP,1

2

)AA,A)n1n=

(

11

,22

)n=

,,12

,)n

1

2

n

1210=

用

P

左乘上式兩端，得

AP

，即矩陣

與對角矩陣

相似.當(dāng)矩陣與對角矩似時(shí)，可逆矩陣由特征向量構(gòu)成，其對角矩陣主對角線上的元素為

的特征值.推

若

階矩陣

有

個(gè)相異的特征值

,

,則

與對角矩陣

相似.注意：推論的逆命題不一定成對于階陣,若在可逆矩陣P,使PAP

為對角,則方陣A可角化