理論力學(xué)課件五

第十三章動(dòng)量矩定理1§13–1動(dòng)量矩§13–2動(dòng)量矩定理§13–3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程§13–4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量§13–5質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理·剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程習(xí)題課第十三章動(dòng)量矩定理2動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理：動(dòng)量的改變—外力（外力系主矢）若當(dāng)質(zhì)心為固定軸上一點(diǎn)時(shí)，vC=0，則其動(dòng)量恒等于零，質(zhì)心無運(yùn)動(dòng)，可是質(zhì)點(diǎn)系確受外力的作用。動(dòng)量矩定理建立了質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于某固定點(diǎn)（固定軸）的動(dòng)量矩的改變與外力對(duì)同一點(diǎn)（軸）之矩兩者之間的關(guān)系。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)—外力（外力系主矢）3動(dòng)力學(xué)§13-1動(dòng)量矩一．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩：矢量質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸z

的動(dòng)量矩：代數(shù)量正負(fù)號(hào)規(guī)定與力對(duì)軸矩的規(guī)定相同對(duì)著軸看：順時(shí)針為負(fù)逆時(shí)針為正4質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩與對(duì)軸z的動(dòng)量矩之間的關(guān)系：二．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)系對(duì)點(diǎn)O動(dòng)量矩：質(zhì)系對(duì)軸z動(dòng)量矩：動(dòng)力學(xué)kg·ｍ2/s。動(dòng)量矩度量物體在任一瞬時(shí)繞固定點(diǎn)(軸)轉(zhuǎn)動(dòng)的強(qiáng)弱剛體動(dòng)量矩計(jì)算：1．平動(dòng)剛體平動(dòng)剛體對(duì)固定點(diǎn)（軸）的動(dòng)量矩等于剛體質(zhì)心的動(dòng)量對(duì)該點(diǎn)（軸）的動(dòng)量矩。53．平面運(yùn)動(dòng)剛體平面運(yùn)動(dòng)剛體對(duì)垂直于質(zhì)量對(duì)稱平面的固定軸的動(dòng)量矩，等于剛體隨同質(zhì)心作平動(dòng)時(shí)質(zhì)心的動(dòng)量對(duì)該軸的動(dòng)量矩與繞質(zhì)心軸作轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)量矩之和。動(dòng)力學(xué)2．定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)該軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積。6動(dòng)力學(xué)解：[例1]滑輪A：m1，R1，R1=2R2，I1

滑輪B：m2，R2，I2；物體C：m3

求系統(tǒng)對(duì)O軸的動(dòng)量矩。7§13-2動(dòng)量矩定理一．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理兩邊叉乘矢徑,有左邊可寫成質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)同一點(diǎn)之矩。這就是質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理。

動(dòng)力學(xué)故：8將上式在通過固定點(diǎn)O的三個(gè)直角坐標(biāo)軸上投影，得上式稱質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理，也稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的投影形式。即質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)同一軸之矩。動(dòng)力學(xué)稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒。若則常矢量9運(yùn)動(dòng)分析：。動(dòng)力學(xué)由動(dòng)量矩定理即微幅擺動(dòng)時(shí)，并令，則解微分方程,并代入初始條件則運(yùn)動(dòng)方程，擺動(dòng)周期解：將小球視為質(zhì)點(diǎn)。受力分析；受力圖如圖示。[例2]單擺已知m，l，t=0時(shí)=0，從靜止開始釋放。求單擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。10注：計(jì)算動(dòng)量矩與力矩時(shí)，符號(hào)規(guī)定應(yīng)一致（本題規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎┵|(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的應(yīng)用：

在質(zhì)點(diǎn)受有心力的作用時(shí)。質(zhì)點(diǎn)繞某心（軸）轉(zhuǎn)動(dòng)的問題。動(dòng)力學(xué)11二．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理左邊交換求和與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的順序，而一質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理動(dòng)力學(xué)對(duì)質(zhì)點(diǎn)系，有對(duì)質(zhì)點(diǎn)Mi：12質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對(duì)同一點(diǎn)之矩的矢量和（外力系的主矩）。動(dòng)力學(xué)將上式在通過固定點(diǎn)O的三個(gè)直角坐標(biāo)軸上投影，得:13上式稱為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理。即質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對(duì)同一固定軸之矩的代數(shù)和（外力系對(duì)同一軸的主矩）。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩守恒

當(dāng)時(shí)，常矢量。當(dāng)時(shí)，常量。動(dòng)力學(xué)定理說明內(nèi)力不會(huì)改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩，只有外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩。14解:取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力分析如圖示。運(yùn)動(dòng)分析：v=ｒ動(dòng)力學(xué)由動(dòng)量矩定理：[例3]已知:

15解：系統(tǒng)的動(dòng)量矩守恒。猴A與猴B向上的絕對(duì)速度是一樣的,均為。動(dòng)力學(xué)[例4]已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相對(duì)繩速度上爬，猴A不動(dòng)，問當(dāng)猴B向上爬時(shí)，猴A將如何動(dòng)？動(dòng)的速度多大？（輪重不計(jì)）16

§13-3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程對(duì)于一個(gè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體代入質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理，有—?jiǎng)傮w定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程解決兩類問題：已知作用在剛體的外力矩，求剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律。已知?jiǎng)傮w的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律，求作用于剛體的外力（矩）。但不能求出軸承處的約束反力，需用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求解。動(dòng)力學(xué)17

特殊情況：若,則恒量，剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)或保持靜止。若常量，則=常量，剛體作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)。將與比較，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的度量。動(dòng)力學(xué)18§13-4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一．定義：若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布，則剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體對(duì)某軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的度量，它的大小表現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變的難易程度。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量恒為正值，國(guó)際單位制中單位kg·m2。動(dòng)力學(xué)19

１．積分法（具有規(guī)則幾何形狀的均勻剛體可采用）[例1]勻質(zhì)細(xì)直桿長(zhǎng)為l,質(zhì)量為m。

求：對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；對(duì)z'軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。動(dòng)力學(xué)二．轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算解：202.回轉(zhuǎn)半徑由所定義的長(zhǎng)度稱為剛體對(duì)z軸的回轉(zhuǎn)半徑。對(duì)于均質(zhì)剛體，僅與幾何形狀有關(guān)，與密度無關(guān)。對(duì)于幾何形狀相同而材料不同（密度不同）的均質(zhì)剛體，其回轉(zhuǎn)半徑是相同的。在機(jī)械工程設(shè)計(jì)手冊(cè)中，可以查閱到簡(jiǎn)單幾何形狀或已標(biāo)準(zhǔn)化的零件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和回轉(zhuǎn)半徑。書中列出幾種常見均質(zhì)剛體的，以供參考。動(dòng)力學(xué)213.平行慣移軸栗定理同一個(gè)慨剛體對(duì)謝不同軸棒的轉(zhuǎn)動(dòng)勿慣量一病般是不熊相同的燃。剛體吃對(duì)某典軸的堵轉(zhuǎn)動(dòng)乳慣量斑等于寨剛體臨對(duì)通鎖過質(zhì)同心且媽與該膛軸平即行的單軸的奔轉(zhuǎn)動(dòng)比慣量思，加渠上剛斑體的徹質(zhì)量叼與兩悔軸間慈距離么的平嫩方之琴乘積潔。動(dòng)力笨學(xué)22證明：設(shè)質(zhì)球量為m的剛體那，質(zhì)心憲為C，動(dòng)力銀學(xué)例如，對(duì)于例1中均質(zhì)細(xì)桿z'軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為剛體任對(duì)通棗過質(zhì)甘心軸奇的轉(zhuǎn)齡動(dòng)慣齊量具隙有最佳小值。23當(dāng)物體表由幾個(gè)逃規(guī)則幾逐何形狀懸的物體戴組成時(shí)蘋，可先尤計(jì)算每夏一部分(物體)的轉(zhuǎn)錘動(dòng)慣樹量,然后菌再加孕起來漂就是磁整個(gè)狹物體碰的轉(zhuǎn)宣動(dòng)慣匯量。蚊若個(gè)物體帖有空席心部踩分,要把睬此部業(yè)分的像轉(zhuǎn)動(dòng)映慣量質(zhì)視為葡負(fù)值塘來處五理。動(dòng)力唯學(xué)4．計(jì)算瞞轉(zhuǎn)動(dòng)慣菊量的組國(guó)合法解：[例2]鐘擺：均質(zhì)直桿m1,l；均質(zhì)圓盤：m2,R。求IO

。24[例3]提升裝再置中，篩輪A、B的重量痰分別為P1、P2,半徑分謎別為r1、r2,可視盈為均廣質(zhì)圓瞧盤;物體C的重量為P3;輪A上作用途常力矩M1。求物體C上升的良加速度品。取輪B連同詞物體C為研究們對(duì)象補(bǔ)充運(yùn)動(dòng)學(xué)條件化簡(jiǎn)(1戀)得：化簡(jiǎn)(2)得：動(dòng)力學(xué)解:取輪A為研究布對(duì)象25§13盛-5質(zhì)點(diǎn)攝系相漫對(duì)于踩質(zhì)心隙的動(dòng)礙量矩龍定理剛體謹(jǐn)平面江運(yùn)動(dòng)嚇微分謠方程一．高質(zhì)點(diǎn)覆系動(dòng)廈量矩質(zhì)點(diǎn)系釀相對(duì)于冒質(zhì)心和述固定點(diǎn)憑的動(dòng)量謀矩定理耀，具有援完全相觀似的數(shù)閑學(xué)形式景，而對(duì)筆于質(zhì)心仗以外的孝其它動(dòng)岔點(diǎn)，一島般并不軟存在這箱種簡(jiǎn)單疲的關(guān)系。動(dòng)力學(xué)二．質(zhì)甜點(diǎn)系相碑對(duì)質(zhì)心康的動(dòng)量趨矩定理質(zhì)點(diǎn)像系相早對(duì)于斥質(zhì)心兆的動(dòng)宇量矩緊的改婆變，丑只與縣作用哈在質(zhì)攪點(diǎn)系倡上的都外力巧有關(guān)還，而態(tài)與內(nèi)貴力無遷關(guān)。26三．剛賄體平面失運(yùn)動(dòng)微帆分方程設(shè)有一羅平面運(yùn)貸動(dòng)剛體侍具有質(zhì)走量對(duì)稱備平面，奪力系可以考簡(jiǎn)化聲為該那平面忙內(nèi)的回一個(gè)陷力系走。取挪質(zhì)量甜對(duì)稱蛋平面箭為平倡面圖借形S，質(zhì)心縱一定呈位于S內(nèi)。動(dòng)力廊學(xué)取質(zhì)心C為動(dòng)系原點(diǎn)，則此平面運(yùn)動(dòng)可分解為隨質(zhì)心C的平動(dòng)(xC,yC)繞質(zhì)心C的平動(dòng)（）可通過質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理來確定。27寫成投影評(píng)形式或上式稱浴為平面運(yùn)灣動(dòng)微分殿方程。動(dòng)力疊學(xué)28[例4]質(zhì)量為m半徑為R的均質(zhì)廊圓輪置箱放于傾誤角為的斜奴面上狹，在慚重力洪作用嘗下由爆靜止每開始誕運(yùn)動(dòng)歇。設(shè)湯輪與放斜面牽間的括靜、駱動(dòng)滑智動(dòng)摩鬧擦系趕數(shù)為f、f′，不計(jì)滾拔動(dòng)摩阻登，試分強(qiáng)析輪的撕運(yùn)動(dòng)。動(dòng)力學(xué)解：取仍輪為騾研究甚對(duì)象喂。受力分慣析如圖租示。運(yùn)動(dòng)分肺析：取怪直角坐加標(biāo)系Ox廉yaC活y=0，aCx=aC，一般情蓋況下輪撥作平面扯運(yùn)動(dòng)。根據(jù)具平面塔運(yùn)動(dòng)讓微分促方程換，有由式得，粱兩式斷中含茫有三汽個(gè)未身知數(shù)aC、F、，需補(bǔ)訓(xùn)充附逃加條軍件。291．設(shè)接觸面絕對(duì)光滑。因?yàn)檩営伸o止開始運(yùn)動(dòng)，故＝0，輪沿斜面平動(dòng)下滑。2．設(shè)接觸面足夠粗糙。輪作純滾動(dòng)，所以可解得動(dòng)力違學(xué)3．設(shè)輪與斜面間有滑動(dòng)，輪又滾又滑。F=f′N，可解得輪作純滾動(dòng)的條件：表明：當(dāng)時(shí)，解答3適用；當(dāng)時(shí)，解答2適用；f=0時(shí)解答1適用。30一．基私本概念1．動(dòng)鄰量矩：物體引某瞬時(shí)吩機(jī)械運(yùn)艇動(dòng)強(qiáng)弱工的一種微度量。2．質(zhì)點(diǎn)間的動(dòng)量忠矩：3．質(zhì)點(diǎn)箭系的動(dòng)定量矩：4．轉(zhuǎn)動(dòng)償慣量：物宴體轉(zhuǎn)邀動(dòng)時(shí)判慣性妄的度犁量。對(duì)于均硬勻直桿抖，細(xì)圓壤環(huán)，薄界圓盤（突圓柱）門對(duì)過質(zhì)糊心垂直戚于質(zhì)量煉對(duì)稱平任面的轉(zhuǎn)愉軸的轉(zhuǎn)伴動(dòng)慣量諷要熟記詢。動(dòng)力學(xué)第十三爐章動(dòng)跳量矩定就理習(xí)題畝課315．剛體羊動(dòng)量矩策計(jì)算平動(dòng)：定軸液轉(zhuǎn)動(dòng)餡：平面運(yùn)購動(dòng)：二．短質(zhì)點(diǎn)霧的動(dòng)和量矩輝定理設(shè)及守巷恒1．質(zhì)點(diǎn)胞的動(dòng)量糕矩定理2．質(zhì)嘆點(diǎn)的辱動(dòng)量管矩守奇恒若，則常矢量。若，則常量。動(dòng)力學(xué)32三．隱質(zhì)點(diǎn)濤系的量動(dòng)量雀矩定雜理及礙守恒1．質(zhì)點(diǎn)賽系的動(dòng)斃量矩定檔理動(dòng)力學(xué)2．質(zhì)浙點(diǎn)系唇的動(dòng)宿量矩院守恒若，則常矢量若，則常量四．銜質(zhì)點(diǎn)杠系相賭對(duì)質(zhì)納心的爭(zhēng)動(dòng)量赤矩定健理33五．剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程和剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

1．剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程2．剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程或動(dòng)力混學(xué)34六．愉動(dòng)量聰矩定祝理的剃應(yīng)用應(yīng)用動(dòng)王量矩定窗理，一驗(yàn)般可以微處理下議列一些肅問題：煮（對(duì)單梢軸傳動(dòng)雹系統(tǒng)尤啦為方便奪）動(dòng)力學(xué)1．已知溫質(zhì)點(diǎn)系聲的轉(zhuǎn)動(dòng)越運(yùn)動(dòng)，銜求系統(tǒng)尊所受的假外力或于外力矩秀。2．已知朽質(zhì)點(diǎn)系釋所受的收外力矩休是常力勺矩或時(shí)策間的函待數(shù)，求術(shù)剛體的圖角加速姨度或角后速度的評(píng)改變。3．已功知質(zhì)兆點(diǎn)所甘受到筒的外抬力主床矩或仙外力鼻矩在沿某軸米上的碎投影候代數(shù)姿和等座于零域，應(yīng)老用動(dòng)加量矩皂守恒蜻定理嗽求角賄速度壤或角嫌位移鏈。35七．鉛應(yīng)用株舉例[例1]均質(zhì)圓爬柱，半姨徑為r，重量為Q，置圓銷柱于屆墻角演。初次始角肅速度0，墻面潛、地菠面與底圓柱乳接觸鄰處的楚動(dòng)滑用動(dòng)摩略擦系肉數(shù)均喪為f'，滾阻仆不計(jì)李，求筒使圓苗柱停倡止轉(zhuǎn)再動(dòng)所圓需要下的時(shí)絕間。解：選慢取圓童柱為牽研究鐮對(duì)象嗎。(注意只伍是一個(gè)貪剛體)受力蜘分析串如圖陜示。運(yùn)動(dòng)分京析：質(zhì)塘心C不動(dòng)減，剛勵(lì)體繞輝質(zhì)心拖轉(zhuǎn)動(dòng)碎。動(dòng)力學(xué)根據(jù)剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程補(bǔ)充方程：36將式代入、兩式，有將上述禿結(jié)果代應(yīng)入式，驅(qū)有解得：補(bǔ)充方程：Dy查na綁mi架cs37[例2]兩根慘質(zhì)量激各為8欄kg的均質(zhì)迅細(xì)桿固貝連成T字型，馬可繞通季過O點(diǎn)的鼠水平挖軸轉(zhuǎn)輩動(dòng)，賓當(dāng)OA處于齡水平桃位置雖時(shí),T形桿具童有角速鐵度=4鍋ra湊d/媽s。求該濾瞬時(shí)沙軸承O的反力泡。解：選T字型桿周為研究憑對(duì)