離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

1、有12個(gè)西瓜，其中有4個(gè)重5kg，3個(gè)重6kg，5個(gè)重7kg，求西瓜的平均質(zhì)量。解：西瓜的平均質(zhì)量為12個(gè)西瓜的總質(zhì)量除以西瓜的總個(gè)數(shù)，即：二、互動(dòng)探索上式也可以寫成：由上式可知，平均質(zhì)量等于各個(gè)質(zhì)量乘相應(yīng)的比例再求和。問(wèn)題1：混合后，每1kg糖的平均價(jià)格為多少？問(wèn)題2：若在混合糖果中任取一粒糖果，用隨機(jī)變量

X表示這顆糖果的單價(jià)（元/kg），寫出X的分布列。2、某商場(chǎng)要將單價(jià)分別為18元/kg，24元/kg，36元/kg的3種糖果按3：2：1的比例混合銷售，如何對(duì)混合糖果定價(jià)才合理？362418PX問(wèn)題3:作為顧客，買了1kg糖果要付23元，而顧客買的這1kg糖果的真實(shí)價(jià)格一定是23元嗎？一、離散型隨機(jī)變量取值的均值一般地，若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為：則稱為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望。············它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平。X1234Pa1、隨機(jī)變量X的概率分布為：求X的數(shù)學(xué)期望。2、A、B兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時(shí)，出現(xiàn)的次品的概率如下表所示：次品數(shù)X0123P0.70.20.060.04A機(jī)床：次品數(shù)Y0123P0.80.060.040.1B機(jī)床：?jiǎn)枺耗囊慌_(tái)機(jī)床加工質(zhì)量較好？

3、A,B兩人賭技相同，各押賭注32個(gè)金幣，規(guī)定先勝三局者為勝,賭博進(jìn)行了一段時(shí)間，A賭徒已勝2局，B賭徒勝1局，發(fā)生意外，賭博中斷。兩人該如何分配這64個(gè)金幣？問(wèn)題3：離散型隨機(jī)變量X的期望與X可能取值的算術(shù)平均數(shù)相同嗎？

期望的計(jì)算是從概率分布出發(fā)，因而它是概率意義下的平均值。隨機(jī)變量X取每個(gè)值時(shí)概率不同導(dǎo)致了期望不同于初中所學(xué)的算術(shù)平均數(shù)。問(wèn)題4：離散型隨機(jī)變量X的期望與X可能取值的算術(shù)平均數(shù)何時(shí)相等？X123456例1：隨機(jī)拋擲一個(gè)骰子，求所得骰子的點(diǎn)數(shù)X的期望。

變式：將所得點(diǎn)數(shù)的2倍加1作為得分?jǐn)?shù)，即Y=2X+1，試求Y的期望？所以隨機(jī)變量Y的均值為:=2EX+1

P13119753Y設(shè)Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量．（1）Y的分布列是什么？（2）E(Y)=？思考：···························Y＝aX＋b一、離散型隨機(jī)變量取值的均值············二、隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（線性性質(zhì)）即時(shí)訓(xùn)練：1、隨機(jī)變量X的分布列是X135P0.50.30.2(1)則E(X)=.

2、隨機(jī)變量ξ的分布列是2.4(2)若Y=2X+1，則E(Y)=.

5.8ξ47910P0.3ab0.2E（ξ）=7.5,則a=

b=

.0.40.1例1.籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，則他罰球1次的得分X的均值是多少？一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，X10Pp1－p則三、例題講解兩點(diǎn)分布的期望三、例題講解變式1.籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，則他連續(xù)罰球3次的得分X的均值是多少？X0123P分析：X～B（3，0.7）例1.籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，則他罰球1次的得分X的均值是多少？三、例題講解變式2.籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為p，則他連續(xù)罰球n次的得分X的均值是多少？x01…k…np……X的分布列如下：分析：X～B（n，p）則.證明：所以若X～B(n，p)，則EX＝np．

證明：若X～B(n，p)，則EX＝np2；一般地，如果隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即X～B（n,p），則E(X)=np結(jié)論：1；一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布（1，p)，則E(X)＝p3，一個(gè)袋子里裝有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中有放回地取5次，則取到紅球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是

.3即時(shí)訓(xùn)練：4，隨機(jī)變量X~B（8，p），已知X的均值E(X)=2，則P（x=3)=

.

例2.一個(gè)袋子里裝有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中摸出3個(gè)球.（1）求得到黃球個(gè)數(shù)ξ的分布列；（2）求ξ的期望。小結(jié)：一般地,如果隨機(jī)變量X服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布,則超幾何分布的數(shù)學(xué)期望例3.

假如你是一位商場(chǎng)經(jīng)理，在五一那天想舉行促銷活動(dòng)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料顯示，若在商場(chǎng)內(nèi)舉行促銷活動(dòng)，可獲利2萬(wàn)元；若在商場(chǎng)外舉行促銷活動(dòng)，則要看天氣情況:不下雨可獲利10萬(wàn)元，下雨則要損失4萬(wàn)元。氣象臺(tái)預(yù)報(bào)五一那天有雨的概率是40%，你應(yīng)選擇哪種促銷方式？解：設(shè)商場(chǎng)在商場(chǎng)外的促銷活動(dòng)中獲得經(jīng)濟(jì)效益為X萬(wàn)元，則X的分布列為0.40.6－410PXEX=10×0.6＋(－4)×0.4=4.4萬(wàn)元＞2萬(wàn)元,故應(yīng)選擇在商場(chǎng)外搞促銷活動(dòng)。例4：一次單元測(cè)驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng).其中僅有一個(gè)選項(xiàng)正確，每題選對(duì)得5分.不選或選錯(cuò)不得分，滿分100分.學(xué)生甲選對(duì)任一題的概率為0.9，學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每題都從各選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè).分別求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的均值.思路分析：設(shè)甲、乙選對(duì)題數(shù)分別為X1、X2，則甲、乙兩人的成績(jī)分別為Y1=5X1、Y2=5X2，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求:E(Y1)=E(5X1)=E(Y2)=E(5X2)=思考：X1、X2服從什么分布？5E(X1)5E(X2)解：

設(shè)學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次單元測(cè)驗(yàn)中選對(duì)的題數(shù)分別是X1和X2，則X1～B(20，0.9)，

X2～B(20，0.25)，EX1＝20×0.9＝18，EX2＝20×0.25＝5．由于答對(duì)每題得5分，學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)分別是5X1和5X2。所以，他們?cè)跍y(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望分別是E(5X1)＝5EX1＝5×18＝90，E(5X2)＝5EX2＝5×5＝25．試問(wèn)哪個(gè)射手技術(shù)較好?誰(shuí)的技術(shù)比較好?乙射手甲射手解故甲射手的技術(shù)比較好.反思：1、用定義求隨機(jī)變量均值的一般步驟：1）找出隨機(jī)變量的可能取值；反思：2、求隨機(jī)變量均值的一般方法：1）利用定義求均值；2）求出分布列3）利用定義（公式）求均值。2）利用線性性質(zhì)求均值。3）兩點(diǎn)分布，二項(xiàng)分布直接用公式求均值。（廣東卷17）（本小題滿分13分）

隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤(rùn)分別為6萬(wàn)元、2萬(wàn)元、1萬(wàn)元，而1件次品虧損2萬(wàn)元．設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）為X．

（1）求X的分布列；

（2）求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)（即X的數(shù)學(xué)期望）；

（3）經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%．如果此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于4.73萬(wàn)元，則三等品率最多是多少？高考鏈接：【解析】（1）X的所有可能取值有6，2，1，-2；，，,

故的分布列為：0.020.10.250.63P-2126X（2）（3）設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x，則此時(shí)1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為依題意，，即，解得所以三等品率最多為3%歸納總結(jié)應(yīng)用概念步驟期望的概念期望為我們提供了實(shí)際問(wèn)題決策的理論依據(jù)。求期望的三個(gè)步驟方法求期望的三種方法隨機(jī)變量的均值與樣本平均值有何區(qū)別和聯(lián)系？區(qū)別：隨機(jī)變量的均值是一個(gè)常數(shù)，而樣本平均值隨著樣本的不同而變化的，是一個(gè)隨機(jī)變量。聯(lián)系：隨著樣本容量的增加，樣本平均值越來(lái)越接近于總體均值（隨機(jī)變量的均值）。布置作業(yè)謝謝！(2010·衡陽(yáng)模擬)一廠家向用戶提供的一箱產(chǎn)品共10件，其中有n件次品，用戶先對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行抽檢以決定是否接收．抽檢規(guī)則是這樣的：一次取一件產(chǎn)品檢查(取出的產(chǎn)品不放回箱子)，若前三次沒有抽查到次品，則用戶接收這箱產(chǎn)品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽檢，并且用戶拒絕接收這箱產(chǎn)品．(1)若這箱產(chǎn)品被用戶接收的概率是，求n的值；(2)在(1)的條件下，記抽檢的產(chǎn)品次品件數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．作業(yè)：【解】(1)設(shè)“這箱產(chǎn)品被用戶接收”為事件A，∴n＝2.(2)X的可能取值為1,2,3.P(A)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=∴X的概率分布列為：X123P1．(2010·河南六市聯(lián)考)甲、乙、丙、丁四人參加一家公司的招聘面試．公司規(guī)定面試合格者可簽約．甲、乙面試合格就簽約；丙、丁面試都合格則一同簽約，否則兩人都不簽約．設(shè)每人面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響．求：

(1)至少有三人面試合格的概率；

(2)恰有兩人簽約的概率；

(3)簽約人數(shù)的數(shù)學(xué)期望．解：(1)設(shè)“至少有3人面試合格”為事件A，則P(A)＝(2)設(shè)“恰有2人簽約”為事件B，“甲、乙兩人簽約，丙、丁兩人都不簽約”為事件B1；“甲、乙兩人都不簽約，丙、丁兩人簽約”為事件B2；則：B＝B1＋B2P(B)＝P(B1)＋P(B2)(3)設(shè)X為簽約人數(shù)．X的分布列如下：P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=X01234P到站時(shí)刻概率實(shí)例6解【4】編號(hào)1，2，3的三位學(xué)生隨意