第14講函數(shù)的單調(diào)性（解析版）

第14講函數(shù)的單調(diào)性【學習目標】1.借助函數(shù)圖象，會用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性.2.理解函數(shù)單調(diào)性的作用和實際意義.3.在理解函數(shù)單調(diào)性概念的基礎(chǔ)上，理解函數(shù)單調(diào)性的作用，掌握函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用.【基礎(chǔ)知識】知識點一函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)值隨自變量的增大而增大(或減小)的性質(zhì)叫做函數(shù)的單調(diào)性．一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I,區(qū)間D?I：如果?x1,x2∈D,當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增．如果?x1,x2∈D,當x1<x2時,都有f(x1)>f(x2),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減．知識點二增函數(shù)、減函數(shù)當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時,我們就稱它是增函數(shù)．當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時,我們就稱它是減函數(shù)．知識點三單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．知識點四函數(shù)的最大值(1)定義：一般地,設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足：①?x∈I,都有f(x)≤M；②?x0∈I,使得f(x0)＝M.那么,稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大值．(2)幾何意義：函數(shù)y＝f(x)的最大值是圖象eq\o(□,\s\up4(03))最高點的縱坐標．知識點五函數(shù)的最小值(1)定義：一般地,設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足：①?x∈I,都有f(x)≥M；②?x0∈I,使得f(x0)＝M.那么,稱M是函數(shù)y＝f(x)的最小值．(2)幾何意義：函數(shù)y＝f(x)的最小值是圖象最低點的縱坐標．知識點六有關(guān)單調(diào)性的常用結(jié)論記住這些結(jié)論有利于快速解題在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)＋增函數(shù)＝增函數(shù)；減函數(shù)＋減函數(shù)＝減函數(shù)；增函數(shù)－減函數(shù)＝增函數(shù)；減函數(shù)－增函數(shù)＝減函數(shù).【考點剖析】考點一：判斷函數(shù)的單調(diào)性例1．（多選題）1．下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】一次函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故A正確；二次函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故B正確；反比例函數(shù)在和上單調(diào)遞減，故C錯誤；二次函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故D錯誤；故選：AB.考點二：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是______．【答案】【解析】【分析】畫出函數(shù)的圖象求解.【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示：由圖象知：其單調(diào)遞增區(qū)間是，故答案為：考點三：利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)例3．若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】分類討論，時根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解．【詳解】時，滿足題意；時，，解得，綜上，故答案為：．考點四：利用單調(diào)性解不等式例4．已知函數(shù)，則不等式的x的解集是________．【答案】【解析】【分析】由函數(shù)的解析式或圖象可得函數(shù)單調(diào)遞增，不等式轉(zhuǎn)化為，進而求解出結(jié)果.【詳解】畫出函數(shù)的圖象如圖所示：所以函數(shù)在上為增函數(shù)，由得，即，解得.故答案為：.考點五：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性例5．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為__________．【答案】##【解析】【分析】由冪函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則即可求解.【詳解】解：函數(shù)的定義域為，令，，，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.故答案為：.考點六：根據(jù)圖像判斷單調(diào)性例6．已知函數(shù)的圖象如圖所示，若在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】由圖象可得出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由圖可知，的單調(diào)遞減區(qū)間為、．因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，則或，由題意得或，即或．故答案為：.考點七：函數(shù)單調(diào)性的證明例7．根據(jù)定義證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.【答案】證明見解析【解析】【分析】利用單調(diào)性的定義，按照取值、作差、化簡、定號、得結(jié)論的步驟，即可得證【詳解】證明：，且，則====，，則，，，，即，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.考點八：抽象函數(shù)的單調(diào)性例8．已知函數(shù)的定義域是，對定義域內(nèi)的任意都有，且當時，.(1)證明：當時，；(2)判斷的單調(diào)性并加以證明；(3)如果對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)函數(shù)單調(diào)遞減，證明見解析(3)【解析】【分析】（1）賦值法，取可得，再令可證；（2）先設(shè)，然后用代換中的，結(jié)合（1）可證；（3）根據(jù)已知和單調(diào)性去掉函數(shù)符號，然后分離參數(shù)，利用基本不等式可得.(1)；；當時，；；當時，.(2)單調(diào)遞減.證明：即單調(diào)遞減(3)函數(shù)的定義域是

；恒成立；由（2），單調(diào)遞減，恒成立，恒成立，因為，當且僅當時等號成立所以；又有意義，所以綜上：.考點九：利用函數(shù)單調(diào)性求最值例9．函數(shù)的值域為_______________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定最值即可.【詳解】解：因為，所以此函數(shù)的定義域為，又因為是減函數(shù)，當當所以值域為故答案為：．考點十：二次函數(shù)的最值例10．已知函數(shù)．若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值；【解析】若，則，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以．考點十一：含參二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值例11．已知函數(shù).(1)若函數(shù)在是增函數(shù)，求的取值范圍；(2)若對于任意的，恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由函數(shù)可知對稱軸為，由單調(diào)性可知，即可求解；（2）整理問題為在時恒成立，設(shè)，則可轉(zhuǎn)化問題為在時恒成立，討論對稱軸與的位置關(guān)系，進而求解.(1)因為函數(shù)，所以對稱軸為，因為在是增函數(shù)，所以，解得(2)因為對于任意的，恒成立，即在時恒成立，所以在時恒成立，設(shè)，則對稱軸為，即在時恒成立，當，即時，，解得；當，即時，，解得（舍去），故.【真題演練】1．若函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的最大值是M,最小值是m,則的值A(chǔ)．與a有關(guān)，且與b有關(guān) B．與a有關(guān)，但與b無關(guān)C．與a無關(guān)，且與b無關(guān) D．與a無關(guān)，但與b有關(guān)【答案】B【解析】【詳解】因為最值在中取，所以最值之差一定與無關(guān)，選B．【名師點睛】對于二次函數(shù)的最值或值域問題，通常先判斷函數(shù)圖象對稱軸與所給自變量閉區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合圖象，當函數(shù)圖象開口向上時，若對稱軸在區(qū)間的左邊，則函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；若對稱軸在區(qū)間的右邊，則函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；若對稱軸在區(qū)間內(nèi)，則函數(shù)圖象頂點的縱坐標為最小值，區(qū)間端點距離對稱軸較遠的一端取得函數(shù)的最大值．2．如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則mn的最大值為A．16 B．18 C．25 D．【答案】B【解析】【詳解】時，拋物線的對稱軸為.據(jù)題意，當時，即..由且得.當時，拋物線開口向下，據(jù)題意得，即..由且得，故應(yīng)舍去.要使得取得最大值，應(yīng)有.所以，所以最大值為18.選B..考點：函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用.3．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)、二次函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性可建立不等式求解.【詳解】由題意，解得，故選：B4．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用二次函數(shù)單調(diào)性，列式求解作答.【詳解】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，依題意，，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故選：D5．已知在定義域上是減函數(shù)，且，則的取值范圍為（

）A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.【詳解】因為在定義域上是減函數(shù)，所以由，故選：A6．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得解；【詳解】解：因為定義域為，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和；故選：A7．已知函數(shù)的定義域是，且滿足，，如果對于，都有，不等式的解集為

（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由已知令求得，再求，即有，原不等式即為，再由單調(diào)性即可得到不等式組，解出它們即可．【詳解】由于，令則，即，則，由于，則，即有，由于對于，都有，則在上遞減，不等式即為．則原不等式即為，即有，即有，即解集為．故選：D．8．若函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，則=________.【答案】【解析】【詳解】由題可知要使函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，則，解得．9．已知函數(shù)，則滿足不等式的的范圍是______【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，時恒為1的特點，列出不等式組求解即得.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，并且時，恒有，如圖，則不等式成立，當且僅當，解得，所以不等式成立的x取值范圍是故答案為：10．函數(shù)在上為增函數(shù)，則___________．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)，即可求出的值，再代入檢驗即可；【詳解】解：∵，∴，又函數(shù)為增函數(shù)，∴當時，在上為增函數(shù)，符合題意，∴．故答案為：11．設(shè)是定義在區(qū)間上的嚴格增函數(shù)．若，則a的取值范圍是______．【答案】.【解析】【分析】根據(jù)題意，列出不等式組，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)是定義在區(qū)間上的嚴格增函數(shù)，因為，可得，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.12．設(shè)函數(shù)，若對于任意的，恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】由整理可得，則可轉(zhuǎn)化問題為，進而利用基本不等式求解即可.【詳解】由，則，因為，所以，則，又，當且僅當時等號成立，所以，所以，即實數(shù)m的取值范圍是，故答案為：【過關(guān)檢測】一、單選題1．設(shè)函數(shù)的定義域為．則“在上嚴格遞增”是“在上嚴格遞增”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】利用特例法、函數(shù)單調(diào)性的定義結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出合適的選項.【詳解】若函數(shù)在上嚴格遞增，對任意的、且，，由不等式的性質(zhì)可得，即，所以，在上嚴格遞增，所以，“在上嚴格遞增”“在上嚴格遞增”；若在上嚴格遞增，不妨取，則函數(shù)在上嚴格遞增，但函數(shù)在上嚴格遞減，所以，“在上嚴格遞增”“在上嚴格遞增”.因此，“在上嚴格遞增”是“在上嚴格遞增”的充分不必要條件.故選：A.2．已知函數(shù)是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，則a的取值范圍是（

）A．(0，3) B．(0，3] C．(0，2) D．(0，2]【答案】D【解析】【分析】直接由兩段函數(shù)分別為減函數(shù)以及端點值的大小關(guān)系解不等式組即可.【詳解】由函數(shù)是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)可得解得.故選：D.3．下列函數(shù)在單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】逐個判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)果．【詳解】對于A，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故A不正確；對于B，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，故B正確；對于C，函數(shù)在上是增函數(shù)，故C不正確；對于D，函數(shù)在上是增函數(shù)，故D不正確.故選：B．4．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（

）A． B． C．和 D．【答案】C【解析】【分析】由可得且，然后求出的減區(qū)間即可.【詳解】由可得且，因為開口向下，其對稱軸為，所以的減區(qū)間為和所以的單調(diào)增區(qū)間為和故選：C5．已知函數(shù)，實數(shù)滿足則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知可得，求出，的范圍，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：函數(shù)，，實數(shù)，滿足，，可得，，，所以，所以，，所以當時，即、時取得最大值；故選：A6．已知是定義在上的增函數(shù)，且，則x的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由題意可得，解不等式組可求得答案【詳解】因為是定義在上的增函數(shù)，且，所以，即，解得，所以x的取值范圍為，故選：B二、多選題7．下列函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性逐項判斷可得出結(jié)論.【詳解】對于A選項，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A錯誤；對于B選項，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B正確；對于C選項，因為函數(shù)、在在上均為增函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D選項，對于函數(shù)，，，則，故函數(shù)在上不是增函數(shù)，故D錯誤.故選：BC.8．如圖所示是函數(shù)的圖象，圖中正半軸曲線與虛線無限接近但是永不相交，則以下描述正確的是（

）A．函數(shù)的定義域為B．函數(shù)的值域為C．此函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)D．對于任意的，都有唯一的自變量與之對應(yīng)【答案】BD【解析】【分析】利用函數(shù)的圖象判斷.【詳解】由圖象知：A.函數(shù)的定義域為，故錯誤；B.函數(shù)的值域為，故正確；C.函數(shù)在，上遞增，但在定義域內(nèi)不單調(diào)，故錯誤；D.對于任意的，都有唯一的自變量與之對應(yīng)，故正確；故選：BD9．如圖是函數(shù)的圖象，則函數(shù)在下列區(qū)間單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】【分析】利用函數(shù)圖像與函數(shù)單調(diào)性的對應(yīng)關(guān)系，結(jié)合圖像即得解【詳解】結(jié)合圖像易知，函數(shù)在區(qū)間、上單調(diào)遞減，故選：BD三、填空題10．已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性，列不等式組，即可求出a的范圍.【詳解】要使函數(shù)在R上單調(diào)遞增，只需，解得：.所以實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：11．函數(shù)滿足，且，當時，，則當時，的最大值為___________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)條件寫出時的解析式后求解【詳解】由題意得，，若，則，∴，即，∴上，當時的最大值為1.故答案為：112．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】按a值對函數(shù)進行分類討論，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求解作答.【詳解】當時，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，即在上遞增，則，當時，函數(shù)是二次函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，由二次函數(shù)性質(zhì)知，，則有，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：四、解答題13．已知二次函數(shù)．(1)若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)k的取值范圍；(2)若在上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用二次函數(shù)的單調(diào)性求解；（2）將在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在恒成立求解．(1)解：因為在單調(diào)遞增，所以，解得；(2)因為在上恒成立，所以在恒成立，即在恒成立．令，則，當且僅當時等號成立．所以．14．設(shè)函數(shù),，，其中，