水利工程測量測量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識內(nèi)容豐富

水利工程測量

第6章

測量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識主講教師：高飛5/26/2023

1合肥工業(yè)大學(xué)第6章測量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識

§6.1概述§6.2測量誤差的種類§6.3偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)§6.4衡量觀測值精度的指標(biāo)§6.5誤差傳播定律§6.6同精度直接觀測平差§6.7不同精度直接觀測平差§6.8最小二乘法原理及其應(yīng)用

5/26/2023

2合肥工業(yè)大學(xué)

◆測量與觀測值

◆觀測與觀測值的分類

●觀測條件

●等精度觀測和不等精度觀測

●直接觀測和間接觀測

●獨(dú)立觀測和非獨(dú)立觀測§6.1測量誤差概述5/26/2023

3合肥工業(yè)大學(xué)§6.1測量誤差概述

◆測量誤差及其來源●測量誤差的來源（1）儀器誤差：儀器精度的局限、軸系殘余誤差等。（2）人為誤差：判斷力和分辨率的限制、經(jīng)驗(yàn)等。（3）外界條件的影響：溫度變化、風(fēng)、大氣折光等

●

測量誤差的表現(xiàn)形式

●

測量誤差（真誤差=觀測值-真值）（觀測值與真值之差）（觀測值與觀測值之差）5/26/2023

4合肥工業(yè)大學(xué)例：誤差處理方法

鋼尺尺長誤差ld

計(jì)算改正

鋼尺溫度誤差lt

計(jì)算改正

水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差I(lǐng)

操作時抵消(前后視等距)

經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差C

操作時抵消(盤左盤右取平均)

…………2.系統(tǒng)誤差

——誤差出現(xiàn)的大小、符號相同，或按規(guī)律性變化，具有積累性。●系統(tǒng)誤差可以消除或減弱。

(計(jì)算改正、觀測方法、儀器檢校)測量誤差分為：粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差§6.2測量誤差的種類1.粗差(錯誤)——超限的誤差5/26/2023

5合肥工業(yè)大學(xué)3.偶然誤差——誤差出現(xiàn)的大小、符號各不相同，表面看無規(guī)律性。

例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準(zhǔn)、對中等誤差，導(dǎo)致觀測值產(chǎn)生誤差。

●準(zhǔn)確度(測量成果與真值的差異）

●最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）

●測量平差（求解最或是值并評定精度）4.幾個概念:

●精（密）度（觀測值之間的離散程度）5/26/2023

6合肥工業(yè)大學(xué)舉例:

在某測區(qū)，等精度觀測了358個三角形的內(nèi)角之和，得到358個三角形閉合差i(偶然誤差，也即真誤差)，然后對三角形閉合差i

進(jìn)行分析。

分析結(jié)果表明，當(dāng)觀測次數(shù)很多時，偶然誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)學(xué)上的規(guī)律性。而且，觀測次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。§6.3偶然誤差的特性5/26/2023

7合肥工業(yè)大學(xué)5/26/2023

8合肥工業(yè)大學(xué)用頻率直方圖表示的偶然誤差統(tǒng)計(jì)：頻率直方圖的中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼近，對稱于y軸。頻率直方圖中，每一條形的面積表示誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的頻率k/n，而所有條形的總面積等于1。各條形頂邊中點(diǎn)連線經(jīng)光滑后的曲線形狀，表現(xiàn)出偶然誤差的普遍規(guī)律

圖6-1誤差統(tǒng)計(jì)直方圖5/26/2023

9合肥工業(yè)大學(xué)◆從誤差統(tǒng)計(jì)表和頻率直方圖中，可以歸納出偶然誤差的四個特性：特性(1)、(2)、(3)決定了特性(4)，特性(4)具有實(shí)用意義。

3.偶然誤差的特性(1)在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值(有界性)；(2)絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會多(趨向性)；(3)絕對值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會相等(對稱性)；(4)當(dāng)觀測次數(shù)無限增加時，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零

(抵償性)：5/26/2023

10合肥工業(yè)大學(xué)偶然誤差具有正態(tài)分布的特性當(dāng)觀測次數(shù)n無限增多(n→∞)、誤差區(qū)間d無限縮小(d→0)時，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線，這條曲線稱為“正態(tài)分布曲線”，又稱為“高斯誤差分布曲線”。所以偶然誤差具有正態(tài)分布的特性。圖6-1誤差統(tǒng)計(jì)直方圖5/26/2023

11合肥工業(yè)大學(xué)1.方差與標(biāo)準(zhǔn)差

由正態(tài)分布密度函數(shù)式中、為常數(shù)；

=2.72828…x=y正態(tài)分布曲線(a=0)令：

，上式為：§6.4衡量精度的指標(biāo)5/26/2023

12合肥工業(yè)大學(xué)標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)學(xué)意義表示的離散程度x=y較小較大稱為標(biāo)準(zhǔn)差：上式中，稱為方差：5/26/2023

13合肥工業(yè)大學(xué)測量工作中，用中誤差作為衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)。中誤差:觀測次數(shù)無限多時，用標(biāo)準(zhǔn)差表示偶然誤差的離散情形：上式中，偶然誤差為觀測值與真值X之差：觀測次數(shù)n有限時，用中誤差m表示偶然誤差的離散情形：i=i-

X5/26/2023

14合肥工業(yè)大學(xué)5/26/2023

15合肥工業(yè)大學(xué)

m1小于m2,說明第一組觀測值的誤差分布比較集中，其精度較高；相對地，第二組觀測值的誤差分布比較離散，其精度較低：

m1=2.7是第一組觀測值的中誤差；

m2=3.6是第二組觀測值的中誤差。5/26/2023

16合肥工業(yè)大學(xué)2.容許誤差(極限誤差)

根據(jù)誤差分布的密度函數(shù)，誤差出現(xiàn)在微分區(qū)間d內(nèi)的概率為：誤差出現(xiàn)在K倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率為：

將K=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現(xiàn)在一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率：

P(||m)=0.683=68.3P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7測量中，一般取兩倍中誤差(2m)作為容許誤差，也稱為限差：|容|=3|m|或|容|=2|m|5/26/2023

17合肥工業(yè)大學(xué)

3.相對誤差(相對中誤差)

——誤差絕對值與觀測量之比。

用于表示距離的精度。用分子為1的分?jǐn)?shù)表示。分?jǐn)?shù)值較小相對精度較高；分?jǐn)?shù)值較大相對精度較低。

K2<K1，所以距離S2精度較高。例2：用鋼尺丈量兩段距離分別得S1=100米,m1=0.02m；S2=200米,m2=0.02m。計(jì)算S1、S2的相對誤差。

0.0210.021

K1=——=——；K2=——=——

100500020010000解：5/26/2023

18合肥工業(yè)大學(xué)一.一般函數(shù)的中誤差令的系數(shù)為，(c)式為：由于和是一個很小的量，可代替上式中的和：

(c)代入(b)得對(a)全微分：(b)設(shè)有函數(shù)：為獨(dú)立觀測值設(shè)有真誤差，函數(shù)也產(chǎn)生真誤差(a)§6.5誤差傳播定律5/26/2023

19合肥工業(yè)大學(xué)對Z觀測了k次，有k個式(d)對(d)式中的一個式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）(e)對K個(e)式取總和：(f)5/26/2023

20合肥工業(yè)大學(xué)(f)(f)式兩邊除以K，得(g)式：(g)由偶然困誤差的槽抵償性鋼知：(g恭)式最后肆一項(xiàng)極深小于前獅面各項(xiàng)菌，可忽頸略不摔計(jì)，則：<<前面各項(xiàng)即(h蛇)5/炒5/勺20誘2321合肥輛工業(yè)香大學(xué)(h)考慮呀，代無入上式旗，得中餓誤差關(guān)織系式：(6-鍋10)上式紹為一般函泛數(shù)的中縱誤差公怖式，也碗稱為誤差傳淋播定律。5/5胃/20陣2322合肥工延業(yè)大學(xué)通過以音上誤差故傳播定撫律的推霜導(dǎo)，我加們可以械總結(jié)辱出求觀諸測值社函數(shù)升中誤脊差的租步驟：1.列出函尊數(shù)式；2.對函義數(shù)式豈求全房誠微分距；3.套用誤沒差傳播煎定律，雁寫出中撥誤差公結(jié)式。5/犧5/賊20裕2323合肥工謹(jǐn)業(yè)大學(xué)1.倍數(shù)函數(shù)的中誤差

設(shè)有函數(shù)式(x為觀測值，K為x的系數(shù))全微分得中誤差式例：量得地形圖上兩點(diǎn)間長度=168.5mm0.2mm,計(jì)算該兩點(diǎn)實(shí)地距離S及其中誤差ms解：列函數(shù)式求全微分中誤差式二.幾種常屠用函數(shù)掘的中誤得差5/恒5/鏡20牽2324合肥貸工業(yè)攪大學(xué)2.線性落函數(shù)妥的中籃誤差設(shè)有函數(shù)式

全微分

中誤差式例：設(shè)有某線性函數(shù)其中、、分別為獨(dú)立觀測值，它們的中誤差分別為求Z的中誤差。解：對上式全微分：由中誤差式得：5/5晶/20填2325合肥工蹄業(yè)大學(xué)

函數(shù)式全微分中誤差式3.算術(shù)技平均良值的凱中誤帖差式由于等精度觀測時，，代入上式：得由此可知，算術(shù)平均值的中誤差比觀測值的中誤差縮小了倍。

●對某觀既測量進(jìn)瓜行多次車觀測(多余盜觀測)取平均題，是提高領(lǐng)觀測成暈果精度下最有效爭的方法盆。5/5爭/20錘2326合肥睬工業(yè)采大學(xué)4.和或鐘差函的數(shù)的悔中誤頂差

函數(shù)式：

全微分：

中誤差式：當(dāng)?shù)染扔^測時：上式可寫成：例：測定A、B間的高差，共連續(xù)測了9站。設(shè)測量每站高差的中誤差，求總高差的中誤差。

解：

5/5鑒/20涼2327合肥工饑業(yè)大學(xué)觀測鹽值函鑰數(shù)中甘誤差指公式賺匯總

觀測值函數(shù)中誤差公式匯總

函數(shù)式函數(shù)的中誤差一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù)

和差函數(shù)

線性函數(shù)

算術(shù)平均值

5/磚5/殿20誼2328合肥工堤業(yè)大學(xué)誤差傳首播定律仍的應(yīng)用用DJ教6經(jīng)緯儀酷觀測三笑角形內(nèi)褲角時，賽每個內(nèi)患角觀測4個測嚇回取伐平均南，可郊使得阿三角覽形閉燭合差m15。例1：要求三角形最大閉合差m15，問用DJ6經(jīng)緯儀觀測三角形每個內(nèi)角時須用幾個測回？?=(1+2+3)-180解：由題意：2m=15,則m=7.5每個角的測角中誤差：由于DJ6一測回角度中誤差為：由角度測量n測回取平均值的中誤差公式：5/淋5/飲20哄2329合肥工網(wǎng)業(yè)大學(xué)誤差傳頂播定律嫩的應(yīng)用例2：試用倒中誤差診傳播定族律分析畏視距測胡量的精敲度。解:(1攤)測量水升平距離嗚的精度基本公職式：求全畫微分盼：水平距櫻離中誤遍差：其中：5/恢5/漁20管2330合肥工芽業(yè)大學(xué)誤差首傳播朋定律刺的應(yīng)災(zāi)用例2：試用挖中誤差染傳播定半律分析窯視距測齡量的精金度。解:(勤2)測量蛙高差蕩的精撓度基本公么式：求全壓微分駐：高差雄中誤村差：其中：5/5完/20處2331合肥工商業(yè)大學(xué)誤差斯傳播蕩定律懇的應(yīng)度用例3:(1襲)用鋼耳尺丈遞量某愈正方乏形一戒條邊腸長為求該魔正方憑形的周長S和面積A的中誤亞差.解:(也1)周長,(2)用鋼婚尺丈爆量某卡正方兵形四司條邊蒙的邊藏長為其中:求該正摸方形的周長S和面積A的中禾誤差.面積,周長的貼中誤差叼為全微分:面積的往中誤差磨為全微仁分:5/爆5/亂20訊2332合肥工貨業(yè)大學(xué)解:(1上)周長綁和面塵積的準(zhǔn)中誤查差分升別為例3:(2僵)用鋼尺希丈量某棕正方形溫四條邊剪的邊長醬為其中:求該正扶方形的周長S和面積A的中誤陜差.(2構(gòu))周長;周長問的中局誤差聲為面積得周唇長的零中誤經(jīng)差為全微允分:但由崗于5/5礙/20哭2333合肥工蛋業(yè)大學(xué)▓觀測跨值的盜算術(shù)革平均扔值(最或歷是值)▓用觀隨測值環(huán)的改尤正數(shù)v計(jì)算肚觀測猾值的霞中訪誤差(即:白塞召爾公參式)§6望.6同（等榴）精度初直接觀殘測平差5/掘5/商20善2334合肥工樸業(yè)大學(xué)一.觀測值督的算術(shù)平視均值(最或是聾值、最肥可靠值)證明算術(shù)平均值為該量的最或是值：

設(shè)該量的真值為X，則各觀測值的真誤差為1=1-

X2=2-

X

······

n=n-

X對某未知量進(jìn)行了n次觀測，得n個觀測值1,2,···,n,則該量的算術(shù)平均值為：x==1+2+···+nnn上式等號兩邊分別相加得和：L=5/噸5/像20棋2335合肥送工業(yè)嗎大學(xué)當(dāng)觀測無限多次時：得兩邊除以n：由當(dāng)觀測稼次數(shù)機(jī)無限業(yè)多時況，觀達(dá)測值技的算等術(shù)平延均值沃就是欲該量的真膊值；當(dāng)觀測次達(dá)數(shù)有限漆時，觀護(hù)測值的算術(shù)平坑均值最碗接近鳴真值。所嫩以，絞算術(shù)螺平均輕值是最或是砍值。L≈X5/5辮/20木2336合肥工敗業(yè)大學(xué)觀測值兵改正數(shù)勻特點(diǎn)二.觀測渣值的羽改正味數(shù)v：以算術(shù)櫻平均值船為最或鞏是值，釋并據(jù)此斧計(jì)算各叔觀測值柳的改正券數(shù)v，符合[vv銷]=m淘in的“最小二潤乘原則”。Vi=L姑-i(i浪=1闊,2菌,·礙··洪,n湯)特點(diǎn)1——改正數(shù)總和為零：對上式取和：以代入：通常用于計(jì)算檢核L=nv=nL-

nv

=n-=0v

=0特點(diǎn)2——[vv]符合“最小二乘原則”：則即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvvdx∵(x-)=0nx-=0x=n5/豆5/目20糖2337合肥牲工業(yè)終大學(xué)精度評芬定

比較前面的公式，可以證明，兩式根號內(nèi)的部分是相等的，即在與中：精度評致定——用觀非測值搬的改練正數(shù)v計(jì)算中掩誤差一.計(jì)算公式(即白塞爾公式)：5/5鞭/20塌2338合肥破工業(yè)綢大學(xué)證明如下：真誤差：改正數(shù)：證明忘兩式便根號毀內(nèi)相閃等對上匙式取n項(xiàng)的平殺方和由上兩餐式得其中:5/5孟/20棄2339合肥工漁業(yè)大學(xué)證明悄兩式雄根號喪內(nèi)相訪等中誤巧差定義:白塞爾公式:5/御5/愁20幕2340合肥免工業(yè)恩大學(xué)解：該水心平角真值未該知，可用算術(shù)乓平均非值的案改正嘩數(shù)V計(jì)算其愛中誤霜差：例：對某水肚平角等混精度觀懼測了5次，稻觀測納數(shù)據(jù)壘如下丙表，求其優(yōu)算術(shù)刊平均盜值及乒觀測犁值的沫中誤蛾差。算例1:次數(shù)觀測值VVV備注1764249-4162764240+5253764242+394764246-115764248-39平均764245[V]=0[VV]=60764245±1笛.7晃45/5嫌/20懶2341合肥工榴業(yè)大學(xué)距離窄丈量禮精度我計(jì)算漲例算例2：對某距垃離用精疾密量距管方法丈陶量六次曬，求①該恨距離立的算惱術(shù)平均秧值擊；某②觀嘗測值撒的中健誤差糊；按③荒算術(shù)暴平均如值的泛中誤差鄭；遇④走算術(shù)慎平均紙值的按相對礦中誤捏差涂：凡是相充對中誤丈差，都焦必須用保分子為1的分埋數(shù)表堵示。5/致5/掛20謊2342合肥工幣業(yè)大學(xué)§6沸.7不同精辯度直接類觀測平漲差一、權(quán)沃的概念權(quán)是筑權(quán)衡割利弊槍、權(quán)限衡輕行重的介意思針。在秧測量辜工作李中權(quán)曬是一聚個表團(tuán)示觀往測結(jié)星果可鑼靠程受度的饑相對巧性指遇標(biāo)。1權(quán)的定梁義：設(shè)一組攀不同精鐮度的觀竄測值為li,其中脖誤差報(bào)為mi(I萍=1蠶,2乒…n猶)，選定任婦一大于螺零的常逃數(shù)λ，則定義氣權(quán)為：稱Pi為觀測嬌值li的權(quán)兔。5/巧5/擦20漲2343合肥撥工業(yè)華大學(xué)1權(quán)的兩定義胃：對于熄一組墓已知裕中誤仿差mi的觀沃測值去而言案，選糕定一抖個大齒于零喚的常賊數(shù)λ值，株就有噸一組成對應(yīng)遍的權(quán)廢；由相此可族得各況觀測勇值權(quán)甩之間刊的比垂例關(guān)袖系：2權(quán)的性止質(zhì)（1）權(quán)賴表示灶觀測展值的諒相對城精度秤；（2）權(quán)教與中油誤差擠的平抽方成時反比瓣，權(quán)妙始終詢大于盡零，套權(quán)大節(jié)則精和度高合；（3）權(quán)的把大小由托