平面向量的極化恒等式(解析版)

專(zhuān)題八平面向量的極化恒等式利用向量的極化恒等式可以快速對(duì)共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積問(wèn)題數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向量的幾何屬性，讓“秒殺”向量數(shù)量積問(wèn)題成為一種可能，此恒等式的精妙之處在于建立了向量的數(shù)量積與幾何長(zhǎng)度(數(shù)量)之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合．對(duì)于不共起點(diǎn)和不共終點(diǎn)的問(wèn)題可通過(guò)平移轉(zhuǎn)化法等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積問(wèn)題，從而用極化恒等式解決．1極化恒等式：a-b=}j[(a+b')2—(a—b)2]幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的1.平行四邊形模式：如圖(1),平行四邊形ABCD,O是對(duì)角線交點(diǎn).貝9：(1)A1AD=4[|AC|2—BD|2]?3■三角形模式：如圖(2),在N4BC中，設(shè)D為BC的中點(diǎn)，貝yABAC=|AD|2—|BD|2.三角形模式是平面向量極化恒等式的終極模式，幾乎所有的問(wèn)題都是用它解決．記憶：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長(zhǎng)與第三邊長(zhǎng)的一半的平方差．考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的定值問(wèn)題【方法總結(jié)】利用極化恒等式求數(shù)量積的定值問(wèn)題的步驟取第三邊的中點(diǎn),連接向量的起點(diǎn)與中點(diǎn)；利用積化恒等式將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為中線長(zhǎng)與第三邊長(zhǎng)的一半的平方差；求中線及第三邊的長(zhǎng)度,從而求出數(shù)量積的值．積化恒等式適用于求對(duì)共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積，對(duì)于不共起點(diǎn)和不共終點(diǎn)的問(wèn)題可通過(guò)平移轉(zhuǎn)化法等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積，從而用極化恒等式解決．在運(yùn)用極化恒等式求數(shù)量積時(shí)，關(guān)鍵在于取第三邊的中點(diǎn)，找到三角形的中線，再寫(xiě)出極化恒等式，難點(diǎn)在于求中線及第三邊的長(zhǎng)度，通常用平面幾何方法或用正余弦定理求解，從而得到數(shù)量的值．【例題選講】TOC\o"1-5"\h\z[例1](1)(2014?全國(guó)口)設(shè)向量a,b滿足|a+b|=i/10|a—b|=./6，則a-b=( )A．1 B．2 C．3 D．5答案A解析通法由條件可得，(a+b)2=10,(a—b)2=6,兩式相減得4ab=4,所以a?b=l.極化恒等式a?b=4〔(a+b)2—(a—b)2]=1(10—6)=1.(2)(2012?浙江)在KABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM=3,BC=10，貝yABAC= .答案一16解析因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，由極化恒等式得：AB?AC=|AM]2—4|BC|2=9—4"00=—16．⑶如圖所示，AB是圓O的直徑，16．⑶如圖所示，AB是圓O的直徑，P是AB上的點(diǎn)，M,N是直徑AB上關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且AB=6,MN=4,則PMPN=( )A．13 B．7C．5 D．3答案c解析連接ap,,p,則jPM=PA+AM,FN=PB+BN=PB—AM,所以pm^pN=(pa+am)-(pb如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=1，AD=2，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD,AD邊上的中點(diǎn)，則EFFG+GHHE=解Q3-202解Q3-202連結(jié)eg,fh,交于點(diǎn)o,則ef?fg=ef?eh=e&—加=1—3=4,gh?he=：1—(2)=4,因此左方^鳳十GH?HE=2.(2016?江蘇)如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn).BA?CA=4,=-1，則be?ce的值為 7答案8解析極化恒等式法設(shè)BD=DC=m,AE=EF=FD=n,則AD=3n?根據(jù)向量的極化恒5 13等式，有ABAC=AD2—DB2=9n2—m2=4,FBFC=FD2—DB2=n2—m2=—1.聯(lián)立解得n2=8,m2=~8?因此EB?EC=ED2—DB2=4n2—m2=8?即BE?CE=8?坐標(biāo)法以直線BC為x軸，過(guò)點(diǎn)D且垂直于BC的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xoy,如圖：設(shè)A(3a,3b),B(-c,0),C(-c,0),則有E(2a,2b),F(a,b)BACA=(3a+c,3b)?(3a—c,3b)

=9a2—C2+9b2=4BF?CF=(a+c,b、(a_c,b)=a2—c2+b2=—1,貝寸a2+b2=§，c2=gbBE'CE=7(2a—c,2b)?(2a—c,2b)=4a2—c2+4b2=§.D CD C基向量BA^CA=(DA—DB)(DA—DC)=^AD2—BC2=36FD2—BC2=4,bF^cF=(dF—db)(df—dc)4FD2—BC2=—i,因此fD2==8,產(chǎn)=學(xué)臨盤(pán)二血—禹血:—說(shuō)尸聖?！獝uKFD2-BC27在梯形ABCD中，滿足AD//BC,AD=1,BC=3,AB?DC=2,貝貶CBD的值為 答案4解析過(guò)A點(diǎn)作AE平行于DC,交BC于E,取BE中點(diǎn)F,連接AF,^D點(diǎn)作DH平行于AC,交BC延長(zhǎng)線于H,E為BH中點(diǎn)，連接DE,AB-DC=AB-AE=AF2-BF2=AF2-1=2,AC-BD=-DB-DH=BE2—DE2=4—DE2,又FE二BE-BF二1,AD/BC,則四邊形ADEF為平行四邊形，AF二DE,AC-BD=1FEC【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】DE?dDA=|do|2—|ao|2=1DE?dDA=|do|2—|ao|2=12+Qx)21.答案1解析取AE中點(diǎn)O,設(shè)|AE|=x(0<x<1)，則|AO|=|x,1—4x2=1?B2?如圖，MOB為直角三角形，OA=1,OB=2,C為斜邊AB的中點(diǎn)，P為線段OC的中點(diǎn)，則AP?OP=BA．1

2?答案B2?答案B解析取AO中點(diǎn)0,連接PQ,喬?dP=PA.pO=PQ2—AQ2=~16—4=16.3.如圖，在平面四邊形ABCD中，O為BD的中點(diǎn)，且OA=3,OC=5,若ABAD=—7,則BtDC的值是 ?答案9解析因?yàn)锳B^AD=AO2—OD2=9—OD2=—7^OD2=16,所以BC?DC=CO2—06=25—16=9.已知點(diǎn)A,B分別在直線x=3,x=1上，|0A—0B|=4,當(dāng)|OA+OB|取最小值時(shí)，OA?OB的值是 A.0 B.2 C.3 D.64.答案C解析如圖，點(diǎn)A,B分別在直線x=1,x=3上,|AB|=4,當(dāng)|OA+OB|取最小值時(shí)，AB的中點(diǎn)在x軸上，0A?0B=0M2—BM2=4—4=0.5.在邊長(zhǎng)為1的正三角形5.在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，D,AlB.IE是邊BC的兩個(gè)三等分點(diǎn)（D靠近點(diǎn)B）,則ADAE等于（ ）13 1C.血 D.35.答案C解析解法一：因?yàn)镈,E是邊BC的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以BD=DE=CE=15.答案C解析1 1 7 7 7AD2=BD2+AB2—2BD?AB?cos60。 2+12-2x1x1x2=9，即AD=*~，同理可得AE=〒，在HADE7昇_山2中,由余弦定理得cosZDAE=AD22AAEA—DE2=9v7.37=14,所以ADAE=|AD|?|AE|cosZDAE=￥2x”\'713 13xx=3 14 18-解法二：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，由正三角形的性質(zhì)易得A（0,號(hào)3）,D（—”，0）,E（60所以ad=(_6_號(hào)—1，所以aD-ae=6,_丄所以ad=(_6_號(hào)—1，所以aD-ae=6,_丄,3=13—36十4=186．6．極化恒等式法取EF中點(diǎn)M,以AE-AF=|x1+|x4=i0.如圖，在平行四邊形ABCD中,7．A．44B．22C．24D．72已知AB=8,AD=5,CP=3PD,Ap-Bp=2,貝yABAD的值是（ ）6’TOC\o"1-5"\h\z—— 3 1 13極化恒等式法取DE中點(diǎn)F,連接AF,則AD?AE=|AF|2—|DF|2=7—36=正.在△ABC中，|Ab+Ac|=|Ab—Ac|,AB=2,AC=1,e,F為BC的三等分點(diǎn)，貝yAE?AF等于（ ）A8 10 25 26A.9 g Cg D?g答案b解析坐標(biāo)法由|AB+Ac|=|AB-Ac|,化簡(jiǎn)得AB-Ac=o,又因?yàn)閍b和ac為三角形的兩條邊，它們的長(zhǎng)不可能為0,所以AB與AC垂直，所以△ABC為直角三角形?以A為原點(diǎn)，以AC所在直線為x軸，以AB所在直線為尹軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(0,0),B(0,2),C(1,0).不妨令E為BC的靠近C的三等分點(diǎn)，則E(|,寸，fQ,3),所以AE=(2，D，Af=(|,扌)，所連接am,則Ae-Af=|am12—|em12=4—356=10.7．答案B解析如圖，取AB中點(diǎn)E,連接EP并延長(zhǎng)，交AD延長(zhǎng)線于F,AP?BP=EP2—AE2=EP7．—16=2,.??EP=3p2，又?:CP=3PD,AE=eB,AB=DC,:.AE=2DP，即△FAE中，dp為中位線，AF=2AD=10,AE=*AB=4,FE=2PE=6、［2,AP2=40,AD?AB=AF?AE=AP2—EP2=4O—（3\；2）2=8．如圖，在△ABC中，已知AB=4,AC=6,ZA=60°,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上，且aB=2AD,AC=2AE,若F為DE的中點(diǎn)，則BFDE8．答案4解析取BD的中點(diǎn)N,連接NF,EB,則BE丄AE,ABE=2颯在A)EB中.FNII|eB.AFNN=、密.BF<=2FB =2(FN2-DN2)=4.NC9?如圖，在AABC中，已知AB=3,AC=2,ZBAC=120°D為邊BC的中點(diǎn)，若CD丄AD,垂足為E,貝qeIiC= .27 _d_d答案—〒解析由余弦定理得，BC2=AB2+AC2-2AB??cosl2=19,即BC=価，因?yàn)镈tCAD2-CD2=AB|AC||?cosl2=°-3，所以ADl=￥，因?yàn)镾^ABC=2S^ADCT時(shí)AB|AC||?sinl2=2*Ad|CeI,解得Ce|=3721，在RtA)EC中，De|=\/cd2-ce2=5^，所以eI?:=Ed2-Cd2=―號(hào).C10.在平面四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F分別是邊AD,BC的中點(diǎn)，且AB=1,EF=-2,CDC10.在平面四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F分別是邊AD,BC的中點(diǎn)，且AB=1,EF=-2,CD=翻，若AlDBC=15.則ACCBD的值為 .10?答案解析極化恒等式如圖，EF,KI,HJ三線共點(diǎn)于0，:AD取AB,AC,CD,BD中點(diǎn)H,I,J,K,四邊形ABCD中，易知15HO2IO2,又TACBD4HEHF4BC15HKHI4HO2FO2,在EFI中,?/EFv2,EI丹12,由中線長(zhǎng)公式知a扌,從而H°24疋BD=4(42)14CC基向量法-/2EFABDCABDC1,TADBC15,4eF2AB2疋22ABDC,又AB=1,DC基向量法-/2EFABDCABDC1,TADBC15, > > > > > > > > > > >Q(ACCD)(BDDC)15,則ACBDACDCCDBDDC2=15,可化為AC-BD+（4B+BC）?DC+CD?匕+CD）-5=15,AC-BD+AB-DC=15,故AC-BD=14．考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的最值（范圍）問(wèn)題【方法總結(jié)】利用極化恒等式求數(shù)量積的最值（范圍）問(wèn)題的步驟（1）取第三邊的中點(diǎn)，連接向量的起點(diǎn)與中點(diǎn)；（2）利用積化恒等式將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為中線長(zhǎng)與第三邊長(zhǎng)的一半的平方差；（3）求中線長(zhǎng)的最值（范圍），從而得到數(shù)量的最值（范圍）．積化恒等式適用于求對(duì)共起點(diǎn)（終點(diǎn)）的兩向量的數(shù)量積的最值（范圍）問(wèn)題，利用極化恒等式將多變量轉(zhuǎn)變?yōu)閱巫兞?，再用?shù)形結(jié)合等方法求出單變量的范圍．對(duì)于不共起點(diǎn)和不共終點(diǎn)的問(wèn)題可通過(guò)平移轉(zhuǎn)化法等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)共起點(diǎn)（終點(diǎn)）的兩向量的數(shù)量積的最值（范圍）問(wèn)題，從而用極化恒等式解決．在運(yùn)用極化恒等式求數(shù)量積的最值（范圍）時(shí)，關(guān)鍵在于取第三邊的中點(diǎn)，找到三角形的中線，再寫(xiě)出極化恒等式，難點(diǎn)在于求中線長(zhǎng)的最值（范圍），通過(guò)觀察或用點(diǎn)到直線的距離最小或用三角形兩邊之和大于等于第三邊，兩邊之差小于第三邊或用基本不等式等求得中線長(zhǎng)的最值（范圍），從而得到數(shù)量的最值（范圍）．【例題選講】TOC\o"1-5"\h\z[例1]（1）若平面向量a,b滿足|2a—b|W邁，則ab的最小值為 ?9 1 1 02－32 9答案一8解析a?b=8〔（2a+b）2—（2a—b）2]=8〔|2a+b|2—|2a—b|2]2—8—=—8-當(dāng)且僅當(dāng)|2a+b|3 3 9=0,|2a—b|=3,即|a|=4，|b|=2<a,b>=n時(shí)，ab取最小值一§?（2）如圖，在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A位于兩平行直線m,n的同側(cè)，且A到m,n的距離分別為1,3,點(diǎn)B,C分別在m,n上，|AB+AC|=5，貝iJABAC的最大值是 ?21答案才解析坐標(biāo)法以直線n為x軸，過(guò)點(diǎn)A且垂直于n的直線為尹軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy,如圖：則A（0，3）,C（c,0）,B（b,2）,則AB=（b,—1）,AC=（c,—3）,從而（b+c）2+（—4）2=52，即（b+c）2=9,又ACA=bc+J）$+3=241,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，等號(hào)成立.極化恒等式連接bc,取bc的中點(diǎn)d,ab^acC=ad2-bd2,又ad=|IAb+AcI=2，故ab-aC=^525 1 21—BD2=25—BC2,又因?yàn)锽Cmn=3-1=2,所以血心max=7，⑶(2017?全國(guó)⑶(2017?全國(guó)II)已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA^(PB+PC)的最小2)－(．是值答案B方法一答案B方法一(解析法)建立坐標(biāo)系如圖①所示，則A,,,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,B(-1,0),C(1,0).設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),圖①則PA=(—x,過(guò)3—y),PB=(—1—x,—y),PC=(1—x，—y),?：PA?(PB+PC)=(—x,岑3—y)?(一2x,

—2y)=2(x2+y2—{5y)=2x2+(—^2)—才］三2x(—j=—2?當(dāng)且僅當(dāng)x=0,y=時(shí)，PA?(PB+PC)取3得最小值，最小值為—2.故選B.要使PAPD最小，則要使PAPD最小，則PA與PD方向相反，即點(diǎn)P在線段AD上，則(2PAPD)min—2|PA||PD|,問(wèn)題轉(zhuǎn)化￥￥=誦,A|PA||PD|<(|^|+|PDI為求|PA||PD|的最大值.又當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時(shí),|PA|+|PD|=|AD|=2X2=3 丁 丁 丁 丁 丁 3 32=4,.[pa?(PB+Pc)]min=(2PA?pD)min=—2X4=—2.故選B-

極化恒等式法設(shè)BC的中點(diǎn)為D，AD的中點(diǎn)為M，連接DP，PM,.?.PA?(PB+PC)=2pDPA=2pM1 3 3|2—2AD|2=2|PMi2—2^—2當(dāng)且僅當(dāng)m與p重合時(shí)取等號(hào).AA已知正三角形ABC內(nèi)接于半徑為2的圓O,點(diǎn)P是圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，貝恆1扇的取值范圍是答案［—2,6］解析取AB的中點(diǎn)D,連接CD,因?yàn)槿切蜛BC為正三角形，所以O(shè)為三角形ABC的重心，O在CD上，且OC=2OD=2,所以CD=3,AB=2羽.又由極化恒等式得：PAPB=|PD|2—4|AB|2=|PD|2—3,因?yàn)镻在圓O上，所以當(dāng)P在點(diǎn)C處時(shí),|PD|max=3，當(dāng)P在CO的延長(zhǎng)線與圓O的交點(diǎn)處時(shí)，|PD|min1交點(diǎn)處時(shí)，|PD|min1,所以PA^PBG[—2,6].(5)如圖，已知P是半徑為2,圓心角為3的一段圓弧AB上的一點(diǎn)，若AB=2BC,則PCPA的最小值為答案5—2\元解析通法以圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于AB的直徑所在直線為x軸,AB的垂直平分線所在的直線為尹軸，建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則A(—1,3),C(2,'3),設(shè)P(2cos0,2sin〃)(扌三屋￡)，則PC?PA=(2—2cos&,y［3—2sin0)?(一l—2cos0,V^—2sin0)=5—2cos0—4V3sin^=5—^/13sin(^+^),其中Ovtan0=￥<^，所以0<0<6，當(dāng)0=—時(shí)，PC?PA取得最小值，為5—2歷.極化恒等式法設(shè)圓心為O,由題得AB=2,AAC=3.取AC的中點(diǎn)M,由極化恒等式得PCPA=PM2—AM2=PM2—9,要使PCPA取最小值，則需PM最小，當(dāng)圓弧AB的圓心與點(diǎn)P,M共線時(shí)，PM最小.易知DM=2，???OM=^J(1)2+(問(wèn)2=宇,所以PM有最小值為2—年，代入求得PCPA的最小值為5—(6)在面積為2的△ABC中，E,F分別是AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線EF上，則PCPB+BC2的最小值是 .

答案2翻解析取BC的中點(diǎn)為D,連接FD,則由極化恒等式得PC^Pb+BC2=PD2^42+bC2=戸辦2+晉』警十晉2，此時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)AD丄BC時(shí)取等號(hào)，死?扇+貳2＞警+3汽2^“23"°22近2

=h另解取BC邊的中點(diǎn)M,連接PM,設(shè)點(diǎn)P到BC邊的距離為h則S^BC=2^lBcl-2h=2^lBclPM>h,所以Pi-Pt+BC2=[pM12—^4BbC2^+BBC2=PM2+~^^2=PM2+j3；>h2+3(當(dāng)且僅當(dāng)"PM=2

=h=1月時(shí)，等號(hào)成立=1月時(shí)，等號(hào)成立）【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.已知AB是圓O的直徑，AB長(zhǎng)為2,C是圓O上異于A,B的一點(diǎn)，P是圓O所在平面上任意一點(diǎn)，則（PA+PB）PC的最小值為（）A111A.—4 B.—3 C.—2 D.—11.答案c解析PA+Pb=2po,a（PA+Pb）^PC=2po^PC，取oc中點(diǎn)d,由極化恒等式得，POPC=|PD|2—|CD|2=|PD|2—4，又|PD|min=0，???（PA+Pi）PC的最小值為一2?P2.如圖，設(shè)A,P2.如圖，設(shè)A,B是半徑為2的圓O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為AO中點(diǎn)，則COCB的取值范圍是（ ）A.[—1，3] B.[1，3] C.[—3，—1] D.[—3，1]2.答案A解析建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，可得0(0,0),A(-2,0),C(-1,0),設(shè)B(2cos6,2sin0).6丘[0,2n).則CO?CB=(1,0)?(2cos6+1,2sin6)=2cos6+1[-1,3].故選A.極化恒等式法連接05取OB的中D,連接CD,則花?0B=|CD|2—|BD|2=CD2—1,又|CD|min=0,的最小值為一1.|cd|2=2,???C0?CB的最大值為3.max3?如圖，在半徑為1的扇形AOB中，/AOB=g,C為弧上的動(dòng)點(diǎn)，AB與OC交于點(diǎn)尸，則0>?麗的最小值為 ．3.答案-七解析取OB的中點(diǎn)D,連接FD,則0P?BP=|PD|2—|0D|2=|PD|2^4,于是只要求求PD的最小值即可，由圖可知，當(dāng)PD丄AB,時(shí)，PD=￥，即所求最小值為一^.3(2020?天津)如圖，在四邊形ABCD中，ZB=60。，AB=3，BC=6，且AD=ABC，ADAB=—二，則實(shí)數(shù)A的值為 ，若M，N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且|MN|=1,則DMDN的最小值為 ADB MNC1 134.答案6~解析第1空因?yàn)锳D=ABC,所以AD//BC，則ZBAD=120。，所以ADAB=|AD|?|AB|?COS120°=—|,解得|AD|=1.因?yàn)锳D,BC同向，且BC=6，所以AD=BC,即A=*.第2空通法在四邊形ABCD中，作AO丄BC于點(diǎn)O,則BO=AB?cos60。=扌,AO=AB?sin60°=^.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC和AO所在直線分別為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系.如圖，設(shè)M(a,0),不妨設(shè)點(diǎn)N在點(diǎn)M右側(cè)，則N(a+1,0),且一3<a則N(a+1,0),且一3<a<7.又d(1, 所以DM=(a—l,—3^3)，DN=^a,—3^^j,所以iDMD^Na2—a+^Ja—少+歲l l3所以當(dāng)a=2時(shí)，DM?DN取得最小值二.5．答案1-3、呂8解析取mn的中點(diǎn)P，則由極化恒等式得CM-CN=|CP|2MN2CP2極化恒等式法如圖，取mn的中點(diǎn)P,連接pd,則DM?DN=PD2—Mp2=PD2—4當(dāng)PD丄炭時(shí)，pD27 l3|2取最小值寸,所以DMDN的最小值為C在△ABC中，AC=2BC=4,ZACB為鈍角，M,N是邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MN=1,若CM-CN的3最小值為三，則cosZACB=4 >> 3 —-CM-CN的最小值為工，?：CP=1，由平幾知識(shí)知：當(dāng)CP丄AB時(shí)，CP最小，如圖，作CH丄AB,4 minH為垂足，則CH=1，又AC=2BC=4,所以ZB=30o，sinA=1,所以cosZACB=cos(150o—A)4=1-3送8CC已知AB為圓O的直徑,M為圓O的弦CD上一動(dòng)點(diǎn),AB=8,CD=6,則MA?MB的取值范圍是 6.6.答案［—9,0］解析如圖，MAMB=MO2—AO2=MO2—16,?.?|OG|<|OMi<|OC|,???V7<|OMi<4,:.MAM的取值范圍是［—9,0］.如圖，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,動(dòng)點(diǎn)P在以AB為直徑的弧APB上,則PCPD的取值范圍為 ?7.答案［0,16］解析如圖取CD的中點(diǎn) 連接PE,PC?PD=PE2—DE2=OE2—2,2W\PE\W2書(shū),所以PCPD的取值范圍為［0,16］?

TOC\o"1-5"\h\z已知正△ABC內(nèi)接于半徑為2的圓O,E為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)AE交圓O于點(diǎn)F,則鬲?扇的取值范圍是 .8.答案［0,6］解析取AB的中點(diǎn)D,連接CD,因?yàn)槿切蜛BC為正三角形，所以O(shè)為三角形ABC的重心，O在CD上，且OC=2OD=2，所以CD=3,AB=2書(shū).又由極化恒等式得：FAFB=|FQ|2-|AD|2=|FD|2-3,因?yàn)镕在劣弧BC上，所以當(dāng)F在點(diǎn)C處時(shí)，|FD|=3,當(dāng)F在點(diǎn)B處時(shí)，|PD|.max min=V3，所以PAPBw［0,6］.已知AB是半徑為4的圓O的一條弦，圓心O到弦AB的距離為1,P是圓O上的動(dòng)點(diǎn)，貝VPAPB的取值范圍為 .9.答案［—6,10］解析極化恒等式法設(shè)AB的中點(diǎn)為C,連接CP,則PA^PB=|PC|2-|AC|2=|Pc|2—15.|PC|2—15225—15=10,|PC|2—15三9—15=—6.BB矩形ABCD中，AB=3,BC=4,點(diǎn)M,N分別為邊BC,CD上的動(dòng)點(diǎn)，且MN=2,貝^AMAN的最小值為 .10.答案15解析取K為MN中點(diǎn)，由極化恒等式，AM-AN=|AK|2-1,顯然K的軌跡是以點(diǎn)C為圓心,1為半徑的圓周在矩形內(nèi)部的圓弧，所以|AK|訕=5—1=4,所以AMAN的最小值為15.在△ABC中，已知AB=焉,C=n，則C1CB的最大值為.

311?答案2解析設(shè)D是AB的中點(diǎn)，連接CD,點(diǎn)O是KABC的外心，連接DO并延長(zhǎng)交圓O于C,由△abc是等邊三角形，vad^23,:,cd=2，則dCB=|CD|2—DA|2=|CD|2—(￥)2mCD|2—4=(2)2—3=2????(CA?CB)maH?12.已知在12.已知在△ABC中,F0是邊AB上點(diǎn)P,恒有Pi?PC2pB?pC,則( )A.ZABC=90° B.ZBAC=90° C.AB=AC D.AC=BC12.答案12.答案D解析如圖所示，取AB的中點(diǎn)E,因?yàn)镻0B=1AB，所以P°為EB的中點(diǎn)，取BC的中點(diǎn)D,則DP0為ACEB的中位線，DPJ/CE.aE片根據(jù)向量的極化恒等式，有PBPC=PD2—DB2,P0B?p0C=pD2—DB2.又PE?PC2pB?pC，則|PD|^|P0D|恒成立，必有DP0丄AB.因此CE丄AB,又E為AB的中點(diǎn)，所以AC=BC.13.在正方形ABCD中，AB=1,A,D分別在x,尹軸的非負(fù)半軸上滑動(dòng)，則OC?OB的最大值為 .13.答案2解析如圖取BC的中點(diǎn)E,取AD的中點(diǎn)F,Oc^oB=OE2-bE2=OE2^^,而|OE|W|OF|1 1 3+|Fe|=2||AD|+|FE||=2+1=5，當(dāng)且僅當(dāng)o,f,e三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào).，所以O(shè)c?OB的最大值為2.

14．在三角形ABC中，D為AB中點(diǎn),F分別為BC，AC在三角形ABC中，D為AB中點(diǎn),F分別為BC，AC上的動(dòng)點(diǎn)，且15 f1 ff14.答案~4解析設(shè)EF的中點(diǎn)為M,連接CM,則ICM\=2,即點(diǎn)M在如圖所示的圓弧上，貝DEDF=|DMi2-|EMi2=|DMi2-4^||CD|-2|2_-4=^45.15.在RtABC中，ZC=90。，AC=3,AB=5,若點(diǎn)A,B分別在x,尹軸的非負(fù)半軸上滑動(dòng)，則的最大值為 15.答案18解析如圖取AC的中點(diǎn)M取AB的中點(diǎn)N,則OMz—AM2=OMz—Q）2W（ON23 5 3—NM2）—（2）2=（2+衛(wèi)2—（2）2=18■16.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，以A為圓心，AF為半徑作弧交AD于E,若P為劣弧EF上的動(dòng)點(diǎn)，則PCPD的最小值為 .16.答案5—2石解析如圖取CD的中點(diǎn)M,PCjPD=PM2—DM2=PM2—1,而|PM1+1=|PM]+|AP|3AM={5，當(dāng)且僅當(dāng)P，Q重合時(shí)等號(hào)成立，所以PCPD的最小值為（誦一1）2—1=5—2応.

17．如圖，已知B,D是直角C兩邊上的動(dòng)點(diǎn)，AD丄BD,|AD|=\'3,ZBAD=n，（M=2（CA+CB）,17．1（CD+CA）,則CM?CN的最大值為 .17．答案辿土4解析設(shè)MN的中點(diǎn)為G,BD的中點(diǎn)為H,CM?CN=|C5|2—|前2=|CG|2—17．v|CG|<|CH]+|HG|=2^；4'3,.CM.Cfeg+H^-i^ji]+4.所以CM?CN的最大值為也4^18．如圖，在平面四邊形ABCD中，AB丄BC,AD丄CD,ZBCD=60。,CB=CD=2\l3.若點(diǎn)M為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，貝yAMDM的最小值為 18．18．18．答案~4解析設(shè)E是AD的中點(diǎn)，作EN丄BC于N,延長(zhǎng)CB交DA的延長(zhǎng)線于F,由題意可得:FD=“j3CD=6,FC=2CD=4“j3,.：BF=2\/3,.?.AB=2,F4=4,.°.AD=2,AB=尋=|,EN=|.5 21 21則AM?DM=MA?MD=|ME|2—|EA|2=|ME|2—CEN2—1=（2）2—1=才.：?AM?DM=4.另解設(shè)E是AD的中點(diǎn)，作EF丄BC于F,作AG丄EF于G,VAB丄BC,AD丄CD,化四邊形ABCD共圓，如圖，由圓的對(duì)稱(chēng)性及ZBCD=60°,CB=CD=2.^3，可知ZBCA=ZDCA=30°,：?AB=2,

vzgae=30°，age=2'，aef=2+1=|，則AM?DM=MA.MD=|ME|2_|EA|2=|ME|2_1nEN2_1=(|)2—1=21..?.AM?DM=2119．（201819．（2018?天津）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB丄BC,AD丄CD，ZBAD=120°，AB=AD=1.若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，貝則為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，貝則AE?BE的最小值為19．21答案16解析通法如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.連接AC,由題意知ZCAD=ZCAB=60°,ZACD=