高等數(shù)學(xué)考研大總結(jié)系列之一預(yù)備知識(shí)

第4頁(yè)第一章預(yù)備知識(shí)一，函數(shù)1函數(shù)的定義：⑴傳統(tǒng)定義：如果在某變化過(guò)程中的兩個(gè)變量,并且對(duì)于在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則，都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么就是的函數(shù)。⑵近代定義：函數(shù)就是由一個(gè)非空數(shù)集到另一個(gè)非空數(shù)集的映射。記：（X∈A）其中稱為自變量，稱為因變量。表示函數(shù)在點(diǎn)處的值，A稱為函數(shù)的定義域，記為：；稱為函數(shù)的值域，記為：。解析：兩變量之間是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，不在于一個(gè)變量引起另一個(gè)變量的變化，而在于是否存在對(duì)應(yīng)法則（對(duì)函數(shù)變量的作用模式）使一個(gè)變量在其取值范圍內(nèi)任取一值時(shí)，另一個(gè)變量總有確定的值與之對(duì)應(yīng)。函數(shù)的本質(zhì)就是對(duì)應(yīng)關(guān)系。2函數(shù)的三要素：定義域，值域，對(duì)應(yīng)法則。解析：⑴常見(jiàn)函數(shù)定義域的求法：①分式函數(shù)分母不能為0。②定義域。③定義域。④（ａ>O，ａ≠1）定義域。⑤定義域。⑥定義域。⑦定義域。⑧定義域。⑨定義域。⑩定義域。⑾某些實(shí)際問(wèn)題要注意函數(shù)的實(shí)際意義。⑿求復(fù)雜函數(shù)的定義域時(shí)要綜合考慮取各部分的交集。⑵在研究函數(shù)時(shí)要樹(shù)立定義域優(yōu)先的原則。⑶注意定義域與定義區(qū)間的區(qū)別：對(duì)于初等函數(shù)定義區(qū)間即為它的連續(xù)區(qū)間，但須小心定義域與定義區(qū)間是不同的例如：的定義域由這些孤立的點(diǎn)組成而無(wú)定義區(qū)間。（結(jié)合冪級(jí)數(shù)的收斂域和收斂區(qū)間）⑷函數(shù)值域的常見(jiàn)求法：①配方法（類二次函數(shù)）②判別式法（要求X）③反函數(shù)法（即互換法）。④均值定理法。⑤函數(shù)的單調(diào)性法（一般方法）⑥換元法：㈠代數(shù)換元法㈡三角換元法。⑦復(fù)數(shù)法（利用復(fù)數(shù)的模）⑧構(gòu)造法（構(gòu)造函數(shù)，向量（內(nèi)積與模積的關(guān)系），絕對(duì)值不等式（利用其性質(zhì)，兩點(diǎn)間距離公式等。）⑨形如的對(duì)號(hào)函數(shù)（圖象命名）在不能用重要不等式的情況下（等號(hào)不成立）可考慮用函數(shù)的單調(diào)性當(dāng)>O時(shí)，單減區(qū)間為，單增區(qū)間為其分界點(diǎn)為至于<O的情況可根據(jù)奇偶性解決。3函數(shù)的表示法：⑴具體函數(shù)的表示法：①表格法（清晰，直觀，精確）②圖象法（形象，明顯，易比較）③解析法，公式法（便于分析與計(jì)算）⑵抽象函數(shù)的表示方法：①坐標(biāo)法（概括）②敘述法（語(yǔ)言描述具有啟發(fā)性）4函數(shù)的性質(zhì)（定義域范圍內(nèi)，假設(shè)性定義）：㈠界性：①有界性：如果存在正數(shù)M使得對(duì)任意ｘ∈Ｘ都成立，則稱函數(shù)有界；若則有上界，若則有下界。既有上界又有下界稱為有界。②無(wú)界性：對(duì)于任給的正數(shù)Ｍ，總存在使得則稱函數(shù)無(wú)界。即：對(duì)任意給定一個(gè)正數(shù)Ｍ都不可能是的界，但相對(duì)于每一部分卻是有上或下界的。㈡單調(diào)性：設(shè)函數(shù)，對(duì)于任意的（代數(shù)角度）①如果當(dāng)<時(shí)恒有(或)則稱在上是單調(diào)增(減)函數(shù)(單調(diào)函數(shù))。②如果當(dāng)<時(shí)恒有(或)則稱在上是嚴(yán)格增(減)函數(shù)(嚴(yán)格單調(diào)函數(shù))。解析：與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：設(shè)那么>0(或<0)在上是增(減)函數(shù),幾何屬性:增(減)函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率大于(小于)0。㈢奇偶性:設(shè)對(duì)于任意的屬于A有-屬于A如果在A上定義并且對(duì)于任意的屬于A滿足=（)則稱是一個(gè)定義在A上的奇(偶)函數(shù)。解析：⑴定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是奇偶性存在的必要條件。⑵奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱。（利用其畫(huà)圖象）⑶如果是奇函數(shù),那么在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同,若為偶函數(shù),那么在關(guān)于軸對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反。⑷一般情況，證明定義在奇函數(shù)時(shí)要考慮特殊點(diǎn)即:；此外若函數(shù)滿足，則函數(shù)是奇函數(shù)。⑸可對(duì)關(guān)系等式進(jìn)行四則運(yùn)算即：①奇函數(shù)或。②偶函（橫軸截距型。橫軸交點(diǎn)且）。重要特性：ⅰ。ⅱ。建立一次函數(shù)與二次函數(shù)之間的關(guān)系：。ⅲ。根據(jù)圖象研究其根的分布。④絕對(duì)值函數(shù)：，其圖象為第一，二象限角分線。⑤指數(shù)函數(shù)：。ⅰ。定義域：。ⅱ。值域：，圖象恒過(guò)點(diǎn)。ⅲ。當(dāng)是為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)為減函數(shù)。⑥對(duì)數(shù)函數(shù)：ⅰ。定義域：。ⅱ。值域：，圖象恒過(guò)點(diǎn)。ⅲ。當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)為減函數(shù)。⑦冪函數(shù)：（由于取值的不同其定義域A的情況也不同）ⅰ。當(dāng)＞0時(shí)，函數(shù)在上有定義且是嚴(yán)格增函數(shù)。＜0時(shí)函數(shù)在上有定義且是嚴(yán)格減函數(shù)。ⅱ。當(dāng)越小時(shí)，其圖象越接近于直線。ⅲ。當(dāng)取某些有理數(shù)時(shí)其定義域可擴(kuò)展到負(fù)半軸。⑧三角函數(shù)：ⅰ。函數(shù)名稱正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)函數(shù)符號(hào)函數(shù)圖象定義域值域RR單調(diào)性增減增減增減奇偶性奇偶奇奇周期性最小正周期：最小正周期：最小正周期：最小正周期：界性有界函數(shù)有界函數(shù)無(wú)界函數(shù)無(wú)界函數(shù)最值時(shí)時(shí)時(shí)時(shí)無(wú)無(wú)對(duì)稱性既是中心對(duì)稱，又是軸對(duì)稱。既是中心對(duì)稱，又是軸對(duì)稱。中心對(duì)稱中心對(duì)稱對(duì)稱中心對(duì)稱軸無(wú)無(wú)ⅱ。一般表達(dá)式：（其中，A為振幅決定伸縮性（縱軸），決定伸縮性（橫軸）周期，相位，初相決定奇偶性。）⑨反三角函數(shù)：ⅰ。函數(shù)名稱反正弦函數(shù)反余弦函數(shù)反正切函數(shù)反余切函數(shù)函數(shù)符號(hào)定義域值域圖象單調(diào)性增減增減奇偶性奇無(wú)奇無(wú)界性ⅱ。已知三角函數(shù)值求角：函數(shù)函數(shù)函數(shù)⑩多項(xiàng)式函數(shù)：。有理函數(shù)：（均為多項(xiàng)式函數(shù)）第二類函數(shù)：①符號(hào)函數(shù)：奇函數(shù)；單調(diào)上升（非嚴(yán)格）；非周期；有界②最大整數(shù)函數(shù)：取整的兩個(gè)重要關(guān)系：㈠㈡（表示小數(shù)部分）非奇非偶；單調(diào)上升（非嚴(yán)格）；非周期；無(wú)界③小數(shù)部分函數(shù)：非奇非偶；非單調(diào)；周期函數(shù)，周期為1；有界④狄里克雷(Dirichlet)函數(shù)：（使得數(shù)學(xué)研究函數(shù)的計(jì)算轉(zhuǎn)變到研究函數(shù)的概念，性質(zhì)，結(jié)構(gòu)。）偶函數(shù)；非單調(diào)；周期函數(shù)，任意有理數(shù)是它的周期，不存在最小周期；有界⑤整標(biāo)函數(shù)（數(shù)列）：我們將定義在正整數(shù)集上的函數(shù)叫做整標(biāo)函數(shù)（數(shù)列）。常用關(guān)系：⑥黎曼(Riemann)函數(shù)：（周期為1且在無(wú)理數(shù)時(shí)連續(xù)）⑦雙曲函數(shù)（工程技術(shù)中經(jīng)常用到，屬于初等函數(shù)）：ⅰ。雙曲正弦函數(shù)：ⅱ。雙曲余弦函數(shù)：ⅲ。雙曲正切函數(shù)：ⅳ。雙曲余切函數(shù)：ⅴ。雙曲正割函數(shù)：ⅵ。雙曲余割函數(shù)：。函數(shù)名稱雙曲正弦雙曲余弦雙曲正切雙曲余切函數(shù)符號(hào)函數(shù)圖象定義域值域單調(diào)性增減增增減奇偶性奇偶奇奇界性無(wú)無(wú)有無(wú)最值無(wú)當(dāng)時(shí)，無(wú)無(wú)對(duì)稱性中心對(duì)稱軸對(duì)稱中心對(duì)稱中心對(duì)稱對(duì)稱中心無(wú)對(duì)稱軸無(wú)軸無(wú)無(wú)⑧反雙曲函數(shù):ⅰ。反雙曲正弦：ⅱ。反雙曲余弦：ⅲ。反雙曲正切：ⅳ。反雙曲余切：ⅴ。反雙曲正割：ⅵ。反雙曲余割：函數(shù)名稱反雙曲正弦反雙曲正切反雙曲余切函數(shù)符號(hào)定義域值域函數(shù)圖象單調(diào)性增增減奇偶性奇奇奇界性無(wú)無(wú)無(wú)⑨雙曲函數(shù)與三角函數(shù)的比較函數(shù)名稱雙曲函數(shù)三角函數(shù)零點(diǎn)性質(zhì)奇偶性為奇函數(shù)，為偶函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)基本關(guān)系式⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑴⑵⑶⑷⑸⑹界性無(wú)界，有界有界無(wú)界周期非周期函數(shù)周期函數(shù)最值有，其余無(wú)有和，其余無(wú)漸近線與存在存在二，不等式1常用不等式：⑴設(shè)則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等）。⑵絕對(duì)值三角不等式：⑶設(shè)則⑷均值不等式：設(shè)則（當(dāng)且僅當(dāng)ａ=ｂ時(shí)取等）反映了和與積的關(guān)系。推廣：設(shè)（分別稱為：調(diào)和平均，幾何平均，算術(shù)平均，平方平均）⑸伯努力（Bernoulli）不等式：設(shè)則⑹對(duì)于任意的則⑺柯西(Cauchy)不等式：對(duì)任意實(shí)數(shù)有（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等）（可以順利地求出某些含有約束條件的多變量函數(shù)的最值問(wèn)題）⑻排序不等式：設(shè)為兩組實(shí)數(shù)，為的任一排列，則有（即：反序和亂序和順序和）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。⑼切比曉夫不等式：設(shè)為任意兩組實(shí)數(shù)，①如果且或且，則：②如果而或而，則：上述兩式中當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。⑽加權(quán)平均不等式：設(shè)為正數(shù)，都是正有理數(shù)，并且，那么有：⑾楊格（W。H。Young）不等式：設(shè)為有理數(shù)，滿足條件（互稱共軛指標(biāo)），為正數(shù)，則：（體現(xiàn)了有理數(shù)逼近無(wú)理數(shù)的思想，與定積分的聯(lián)系）。2常用不等式的證明方法：⑴比較法⑵綜合法⑶分析法⑷反證法⑸放縮法⑹判別式法⑺換元法⑻構(gòu)造法⑼歸納法：①不完全歸納法②完全（枚舉）歸納法③數(shù)學(xué)歸納法三，任意小正數(shù)假設(shè)ａ，ｂ為兩實(shí)數(shù)，如果對(duì)任意給定的小正數(shù)都有則必有。解析：任意小正數(shù)的靈魂所在是任意小的，它的本質(zhì)所在是確定的正常數(shù)。四，鄰域的鄰域及ａ的無(wú)（去）心鄰域。解析：數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)性概念。附注1：三角函數(shù)公式1兩角和差的三角函數(shù)公式：⑴⑵⑶，特別地，⑷2二倍角和三倍角公式：⑴⑵⑶⑷⑸⑹運(yùn)用隸莫弗公式得：其中，，對(duì)于任意實(shí)數(shù)和任意實(shí)數(shù)，有，3半角公式：⑴⑵⑶⑷4和差化積公式：⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺5積化和差公式：⑴⑵⑶⑷6輔助角公式：⑷7基本公式：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺;⑻⑼；⑽8常見(jiàn)公式：若則：⑴⑵⑶⑷9三角形基本定理：⑴正弦定理：（其中為外接圓半徑）⑵余弦定理：（其余公式循環(huán)置換即可）⑶正切定理：⑷半角定理：①②③（其中為內(nèi)切圓半徑，為周長(zhǎng)之半，且）10三角形面積公式：=（，，所代表的意義同上）(其中)。附注2：雙曲函數(shù)公式1雙曲函數(shù)的和差公式：⑴⑵⑶2雙曲函數(shù)的二倍角公式：⑴⑵⑶3雙曲函數(shù)的半角公式：⑴；⑵⑶附注3：常見(jiàn)的指對(duì)數(shù)運(yùn)算1指數(shù)運(yùn)算：⑴⑵；；；2對(duì)數(shù)運(yùn)算：如果那么，⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺；⑻；⑼；⑽；⑾；⑿；⒀；⒁（換底公式，固定了底，避免了分類討論）附注4：數(shù)學(xué)方法1變換與轉(zhuǎn)化：把待解決或未解決的問(wèn)題，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程，歸結(jié)到一類已經(jīng)解決的問(wèn)題中去。⑴問(wèn)題轉(zhuǎn)化：①特殊化②簡(jiǎn)單化③一般化④極端化⑤明朗化⑵結(jié)構(gòu)變換：改變問(wèn)題的條件或結(jié)論，可以簡(jiǎn)化解題途徑。⑶等價(jià)變換：恒等式與不等式的證明中常常采用此種方法。①配方法②裂項(xiàng)法③待定系數(shù)法④特殊值法0或1。⑷易元變換：化繁為簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)難為易。①線性代換②倒數(shù)代換③指對(duì)數(shù)代換④三角代換⑤復(fù)變量代換⑥增量代換等。2分解與組合：分解深入內(nèi)部，把握本質(zhì)。組合實(shí)現(xiàn)化歸，宏觀把握。分解的對(duì)象：①問(wèn)題本身②問(wèn)題條件③問(wèn)題外延④實(shí)現(xiàn)目標(biāo)。3關(guān)系映射反演（RMI）⑴函數(shù)法⑵坐標(biāo)法⑶復(fù)數(shù)與向量法⑷參數(shù)法。4模型與構(gòu)造：⑴模式構(gòu)造⑵公式構(gòu)造⑶特例構(gòu)造⑷方程構(gòu)造⑸圖形構(gòu)造⑹命題構(gòu)造⑺函數(shù)構(gòu)造。5概括與抽象：6觀察與實(shí)驗(yàn)：發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)事實(shí)，深入事物本質(zhì)，反映規(guī)律。7比較與分類：發(fā)現(xiàn)