2023年高等數(shù)學(xué)第九章微分方程試題及答案

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第九章常微分方程

一．變量可分別方程及其推廣1．變量可分別的方程（1）方程形式：

()()()()0≠=yQyQxPdx

dy

通解()

()?

?+=CdxxPyQdy

（注：在微分方程求解中，習(xí)慣地把不定積分只求出它的一個原函數(shù)，而隨意

常數(shù)另外再加）

（2）方程形式：()()()()02211=+dyyNxMdxyNxM

通解()()()()

CdyyNyNdxxMxM=+??1221()()()0,012≠≠yNxM

2．變量可分別方程的推廣形式（1）齊次方程

??

?

??=xyfdxdy令

ux

y=，則()ufdxdu

xudxdy=+=()cxcx

dx

uufdu+=+=-??

||ln

二．一階線性方程及其推廣

1．一階線性齊次方程

()0=+yxPdx

dy它也是變量可分別方程，通解()?-=dx

xPCey，（c為隨意常數(shù)）2．一階線性非齊次方程

()()xQyxPdx

dy

=+用常數(shù)變易法可求出通解公式令()()?-=dx

xPexCy代入方程求出()xC則得

()()()[]

?+=??-CdxexQeydxxPdxxP

3．伯努利方程

()()()1,0≠=+ααyxQyxPdx

dy

令α-=1yz把原方程化為()()()()xQzxPdx

dz

αα-=-+11再根據(jù)一階線性非齊次方程求解。

4．方程：

()()xyPyQdxdy-=1可化為()()yQxyPdy

dx

=+以y為自變量，x

為未知函數(shù)再根據(jù)一階線性非齊次方程求解。三、可降階的高階微分方程

四．線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)

我們研究二階線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，其結(jié)論很簡單地推廣到更高階的

線性微分方程。二階齊次線性方程()()0=+'+''yxqyxpy（1）二階非齊次線性方程()()()xfyxqyxpy=+'+''（2）1．若()xy1，()xy2為二階齊次線性方程的兩個特解，則它們的線性組合

()()xyCxyC2211+（1C，2C為隨意常數(shù)）仍為同方程的解，特殊地，當(dāng)

()()xyxy21λ≠（λ為常數(shù)），也即()xy1與()xy2線性無關(guān)時，則方程的通解為()()xyCxyCy2211+=

2．若()xy1，()xy2為二階非齊次線性方程的兩個特解，則()()xyxy21-為

對應(yīng)的二階齊次線性方程的一個特解。

3．若()xy為二階非齊次線性方程的一個特解，而()xy為對應(yīng)的二階齊次線性

方程的隨意特解，則()()xyxy+為此二階非齊次線性方程的一個特解。4．若y為二階非齊次線性方程的一個特解，而()()xyCxyC2211+為對應(yīng)的二

階齊次線性方程的通解（1C，2C為自立的隨意常數(shù)）則

()()()xyCxyCxyy2211++=是此二階非齊次線性方程的通解。

5．設(shè)()xy1與()xy2分離是()()()xfyxqyxpy1=+'+''與()()()xfyxqyxpy2=+'+''的特解，則()()xyxy21+是()()()()xfxfyxqyxpy21+=+'+''的特解。

五．二階和某些高階常系數(shù)齊次線性方程1．二階常系數(shù)齊次線性方程

0=+'+''qyypy其中p，q為常數(shù)，特征方程02=++qpλλ

特征方程根的三種不憐憫形對應(yīng)方程通解的三種形式

（1）特征方程有兩個不同的實根1λ，2λ則方程的通解為xx

eCe

Cy2121λλ+=

（2）特征方程有二重根21λλ=則方程的通解為()x

e

xCCy121λ+=

（3）特征方程有共軛復(fù)根βα

i±，則方程的通解為()xCxCeyxsincos21ββα+=

2．n階常系數(shù)齊次線性方程

()()()012211=+'++++ypypypypynnnnn其中()nipi,,2,1=為常數(shù)。相應(yīng)的特征方程012211=+++++nnnnnppppλλλλ特征根與方程通解的關(guān)系同二階情形很類似。

（1）若特征方程有n個不同的實根nλλλ,,,21則方程通解

xnxxneCeCeCyλλλ+++=2121

（2）若0λ為特征方程的k重實根()nk≤則方程通解中含有

y=()

x

kke

xCxCC0121λ-+++

（3）若βαi±為特征方程的k重共軛復(fù)根()nk≤2，則方程通解中含有

()()[]

xxDxDDxxCxCCekkkkxsincos121121ββα--+++++++

由此可見，常系數(shù)齊次線性方程的通解徹低被其特征方程的根所打算，但是三次及三次以上代數(shù)方程的根不一定簡單求得，因此只能研究某些簡單求特征方程的根所對應(yīng)的高階常系數(shù)齊次線性方程的通解。

六、二階常系數(shù)非齊次線性方程

方程：()xfqyypy=+'+''其中qp,為常數(shù)通解：()()xyCxyCyy2211++=

其中()()xyCxyC2211+為對應(yīng)二階常系數(shù)齊次線性方程的通解上面已經(jīng)研究。所以關(guān)鍵要研究二階常系數(shù)非齊次線性方程的一個特解y如何求？1．()()xnexPxfα=其中()xPn為n次多項式，α為實常數(shù)，（1）若α不是特征根，則令()xnexRyα=（2）若α是特征方程單根，則令()xnexxRyα=（3）若α是特征方程的重根，則令()xnexRxyα2=2．()()xexPxfxnsinβα=或()()xexPxfxncosβα=其中()xPn為n次多項式，βα,皆為實常數(shù)

（1）若βαi±不是特征根，則令()()[]xxTxxReynnxsincosββα+=（2）若βαi±是特征根，則令()()[]xxTxxRxeynnxsincosββα+=

例題：

一、齊次方程

1.求dx

dy

xydxdyxy=+2

2

的通解2.011=??????-+???

???+dyyxedxeyx

yx二、一階線形微分方程

1..1)0(,0)(==-+ydyxyydx

2.求微分方程4y

xy

dxdy+=的通解

三、伯努力方程63'yxyxy=+四、可降階的高價微分方程

1.求)1ln()1(+='+''+xyyx的通解

2.1)0(',2)0()'(''22===+yyyyy，五、二階常系數(shù)齊次線形微分方程

1.0'''2'''2)4()

5(=+++++yyyyyy

2.06'10''5)

4(=-+-yyyy

，14)0(''',6)0('',0)0(',1)0(-====yyyy

六、二階常系數(shù)非齊次線形微分方程

1.求x

eyyy232=-'+''的通解2.求方程xyyycos222=-'+''的通解3.xxxyycos22sin3''++=+七、作變量代換后求方程的解

1.求微分方程232

2

)1(1)(ydx

dyxxy+=+-的通解2.0)2

(0)sin()1(==+++'π

yyxyx，

3.

2

12

22sin22sin'1xeyxyyx++=+

4.0)cos1(cossinln'=-+yxyyxxy

八、綜合題

1.設(shè)f（x）＝xxsin－

?-x

dttftx0

)()(，其中f（x）延續(xù)，求f（x）

2.已知x

x

exey21+=，xxexey-+=2，xx

xeexey--+=23是某二階線性

非齊次常系數(shù)微分方程的三個解，求此微分方程及其通解.

3.設(shè)在，其中)()(),()()(xgxfxgxfxF=),(+∞-∞內(nèi)滿足以下條件

xexgxffxfxgxgxf2)()(,0)0(),()(),()(=+=='='且

（1）求)(xF所滿足的一階和二階微分方程（2）求出)(xF的表達式

4.設(shè)函數(shù)y＝y(tǒng)（x）在()+∞∞-,內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且()yxxy=≠',0是y＝y(tǒng)（x）

的反函數(shù).（1）試將x＝x（y）所滿足的微分方程()0sin3

22=???

???++dydxxydyx

d變換為y＝y(tǒng)（x）滿足的微分方程；（2）求變換后的微分方程滿足初始條件y（0）＝0，

()2

3

0=

'y的解.5.設(shè)(x)?是以2π為周期的延續(xù)函數(shù)，0)(20,(0)(x),(x)≠=='πφφ?φ（1）求微分方程

cosx(x)eysinxdx

dy

?=+的通解以上這些解中，有沒有以2π為周期的解？若有，求出，若無，說明理由6.已知曲線y＝f(x)（x>0）是微分方程2y//+y/-y=(4-6x)e-x的一條積分曲線，此曲線通過原點，且在原點處的切線斜率為0，試求：（1）曲線y＝f(x)到x軸的最大距離。（2）計算

?

+∞

)(dxxf

九、微分方程的幾何和物理應(yīng)用

1.設(shè)函數(shù))0)((≥xxy二階可導(dǎo)，且,1)0(,0)(=>'yxf過曲線)(xyy=上隨意一點),(yxP作該曲線的切線及x軸的垂線，上述兩直線與x軸所圍成的三角形的面積記為,1S區(qū)間[]x,0上以)(xyy=為曲邊的曲邊梯形面積記為2S，并設(shè)212SS-恒為1，求此曲線)(xyy=的方程。

2.設(shè)曲線L的極坐標(biāo)方程為)(θrr=，),(θrM為L任一點，)0,2(0M為L上一定

點，若極徑0OM，OM與曲線L所圍成的曲邊扇形面積值等于L上0MM兩點間弧長值的一半，求曲線L的方程。

3.有一在原點處與x軸相切并在第一象限的光潔曲線，P(x,y)為曲線上的任一點。設(shè)曲線在原點與P點之間的弧長為S1，曲線在P點處的切線在P點與切線跟y軸的交點之間的長度為S2，且

2

123SS+=xx)

1(2+，求該曲線的方程。

4.設(shè)函數(shù)f（x）在[)+∞,1上延續(xù)，若曲線y＝f（x），直線x＝1，x＝t（t>1）與x軸圍成平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積V（t）＝

()()[]

13

2

ftft

-π

，試

求y＝f（x）所滿足的微分方程，并求9

2

2=

=xy

的解.5.一個半球體狀的雪球，其體積溶化的速率與半球面面積S成正比，比例常數(shù)

0>K，假設(shè)在溶化過程中雪堆始終保持半球體狀，已知半徑為0r的雪堆開頭溶化

的3小時內(nèi)，溶化了其體積的

8

7

，問雪堆所有溶化需要多少小時。6.有一房間容積為1003

m，開頭時房間空氣中含有二氧化碳0.12%，為了改善房間的空氣質(zhì)量，用一臺風(fēng)量為103

m/分的排風(fēng)扇通入含0.04%的二氧化碳的新奇空氣，同時以相同的風(fēng)量將混合勻稱的空氣排出，求排出10分鐘后，房間中二氧化碳含量的百分比？

7.有一容積為5003

m的水池，原有1003

m的清水，現(xiàn)在每分鐘放進23

m濃度為50%的某溶液，同時每分鐘放出13