【人教數(shù)學(xué)A版選修】《微積分基本定理》

定積分的概念一、定積分的定義1.定積分的含義是什么？其中a與b，區(qū)間[a，b]，函數(shù)f(x)，變量x，f(x)dx分別叫什么名稱？a:積分下限；b：積分上限；[a，b]：積分區(qū)間；f(x)：被積函數(shù)；x：積分變量；f(x)dx：被積式.二、定積分的幾何意義：Oxyabyf(x)

由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)0)，直線x=a、x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積.

當(dāng)f(x)0時(shí)，由yf(x)、xa、xb

與x

軸所圍成的曲邊梯形位于x

軸的下方，xyOabyf(x)y-f(x)=-S表示上述曲邊梯形面積的相反數(shù)。二、定積分的幾何意義：abyf(x)Oxy探究:根據(jù)定積分的幾何意義,如何用定積分表示圖中陰影部分的面積?abyf(x)Oxy三:定積分的基本性質(zhì)性質(zhì)1.性質(zhì)2.三:定積分的基本性質(zhì)

定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性性質(zhì)3:Oxyabyf(x)ＣＣ1

例1：利用定積分的定義,計(jì)算

的值.

復(fù)習(xí):定積分的基本運(yùn)算性質(zhì)：(1)(2)（3）2.直接用定積分的定義計(jì)算的值是很煩瑣的，有些定積分幾乎不能直接用定義計(jì)算，因此尋求一個(gè)簡(jiǎn)便、有效的計(jì)算原理求定積分的值，就成為一個(gè)迫切需要解決的問題.3.我們已經(jīng)掌握了導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算方法，如果能建立導(dǎo)數(shù)與定積分的內(nèi)在聯(lián)系，利用導(dǎo)數(shù)來求定積分，那是非常理想和美妙的.微積分基本定理探究（一）：物體位移的幾種算法

思考1：一個(gè)作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的位移y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為y＝y(tǒng)(t)，那么它在時(shí)間段[a，b]內(nèi)的位移s等于什么？s＝y(tǒng)(b)－y(a).思考2：設(shè)物體的速度v與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為v＝v(t)，那么它在時(shí)間段[a，b]內(nèi)的位移s用定積分怎樣表示？思考3：物體在時(shí)刻t的速度v(t)與位移y(t)的關(guān)系是什么？v(t)＝y(tǒng)'(t).思考4：綜上分析，物體在時(shí)間段[a，b]內(nèi)的位移s有哪些表示式？思考5：在下圖中，如何理解物體在時(shí)間段[a，b]內(nèi)的位移？abtysy＝y(tǒng)(t)探究（二）：微積分基本定理

思考1：我們?cè)蟮靡运俣葀(t)＝－t2＋2作變速直線運(yùn)動(dòng)的汽車，在0≤t≤1時(shí)段內(nèi)行駛的路程為定積分,若利用上述原理求定積分的值，如何計(jì)算？思考2：一般地，如果f(x)是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，并且，那么等于什么？定積分叫做微積分基本定理，又叫做牛頓－萊布尼茲公式，為了方便，我們常把F(b)－F(a)記成.那么用微積分基本定理計(jì)算定積分的關(guān)鍵是什么？找到滿足的函數(shù)F(x).思考5：對(duì)給定的函數(shù)f(x)，滿足的函數(shù)F(x)是不惟一的，不同的F(x)有什么差別？對(duì)定積分的值是否有影響？若，則.沒有影響!理論遷移

例1計(jì)算下列定積分：（1）；（2）.1.微積分基本定理是微積分中最重要、最輝煌的成果，它揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)它也提供了計(jì)算定積分的一種有效辦法.小結(jié)2.尋找滿足的函數(shù)F(x)，一般運(yùn)用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，從反方向上求出F(x).

例2計(jì)算下列定積分，利用曲邊梯形的面積，你能從計(jì)算結(jié)果中發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論嗎？（1）；（2）；（3）.2－20xyOπ2π【結(jié)論】（1）當(dāng)定積分對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于x軸上方時(shí)，定積分的值為正數(shù)，且等于曲邊梯形的面積；（2）當(dāng)定積分對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于x軸下方時(shí)，定積分的值為負(fù)數(shù)，且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù)；（3）當(dāng)定積分對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于x軸上方部分的面積與位于x軸下方部分的面積相等時(shí)，定積分的值為零.（4）若f(x)為奇函數(shù)，則；（5）若f(x)為偶函數(shù)，則，其中a＞0為常數(shù).

例3計(jì)算下列定積分：（1）；（2）；（3）；（4）.0

例4計(jì)算下列定積分：（1）；（2）.