【人教數(shù)學A版選修】《定積分在物理中的應用》

1．7定積分的簡單應用

1．7.2定積分在物理中的應用學習目標1.應用定積分求平面圖形的面積、變速直線運動的路程及變力做功．2．將實際問題抽象為定積分的數(shù)學模型，然后應用定積分的性質來求解．

課堂互動講練知能優(yōu)化訓練課前自主學案1.7.2課前自主學案溫故夯基1．如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)函數(shù)，并且F′(x)＝f(x)，那么_________________________________．><<知新益能連續(xù)恒有f(x)≥0y＝f(x)曲邊梯形2．定積分在物理中的應用(1)做變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v＝v(t)(v(t)≥0)在時間區(qū)間[a，b]上的定積分，即______________W＝Fs(2)一物體在恒力F(單位：N)的作用下做直線運動，如果物體沿著與F相同的方向移動了s(單位：m)，則力F所作的功為________；而若是變力所做的功W，等于其力函數(shù)F(x)在位移區(qū)間[a，b]上的定積分，即________________.課堂互動講練考點一用定積分求平面圖形的面積考點突破用定積分求“曲邊圖形”面積的步驟：(1)先畫出草圖，確定所求面積是哪部分；(2)解方程組得到交點的坐標，確定被積函數(shù)以及積分的上、下限；(3)把所求的面積用定積分表示；(4)根據(jù)微積分基本定理求出面積．例1【思路點撥】理解定積分的幾何意義，準確畫出圖形，明確所求面積，并合理分割圖形，結合定積分求解．【解】

(1)作出曲線y＝8－x2，y＝x2的草圖，所求面積為圖中陰影部分的面積．【思維總結】由兩條或兩條以上的曲線圍成的較為復雜的圖形，在不同的區(qū)段內位于上方和下方的函數(shù)有所變化，通過解方程組求出曲線的不同的交點坐標，將積分區(qū)間進一步劃分，然后根據(jù)圖象對各個區(qū)段分別求面積進而求和，在每個區(qū)段上被積函數(shù)均是由上減下；若積分變量選取x運算較為復雜，可以選y為積分變量，同時更改積分的上下限．變式訓練1求由曲線y＝x2與直線x＋y＝2圍成的圖形的面積．解：如圖，先求出拋物線與直線的交點，考點二求作變速直線運動物體的路程、位移路程是位移的絕對值之和，因此在求路程時，要先判斷速度在區(qū)間內是否恒正，若符號不定，應求出使速度恒正或恒負的區(qū)間，然后分別計算，否則會出現(xiàn)計算失誤．例2

有一動點P沿x軸運動，在時間t的速度為v(t)＝8t－2t2(速度的正方向與x軸正方向一致)．求(1)P從原點出發(fā)，當t＝3時，離開原點的路程；(2)當t＝5時，P點的位置；(3)從t＝0到t＝5時，點P經(jīng)過的路程；(4)P從原點出發(fā)，經(jīng)過時間t后又返回原點時的t值．【思路點撥】首先要確定的是所要求的是路程還是位移，然后用相應的方法求解．變式訓練2列車以72km/h的速度行駛，當制動時列車獲得加速度－0.4m/s2，問列車應在進站前多長時間以及離車站多遠處開始制動？解：已知列車速度v0＝72km/h＝20m/s，列車制動時獲得加速度a＝－0.4m/s2.設列車由開始制動到經(jīng)過ts后的速度為v，則v＝v0＋at＝20－0.4t.令v＝0，得t＝50(s)．考點三變力做功例3

設有一根長25cm的彈簧，若加以100N的力，則彈簧伸長到30cm，又已知彈簧伸長所需要的拉力與彈簧的伸長量成正比，求使彈簧由25cm伸長到40cm所做的功．【思路點撥】先求出拉力F(x)，然后再求功．【思維總結】解決變力作功注意以下兩個方面：(1)首先要將變力用其方向上的位移表示出來，這是關鍵的一步．(2)根據(jù)變力做功的公式將其轉化為求定積分的問題．變式訓練3在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣體，在等溫條件下，由于氣體的膨脹，把容器中的一個活塞(面積為S)從點a處推到點b處，計算在移動過程中，氣體壓力所做的功．方法技巧方法感悟1．在利用定積分求平面圖形的面積時，一般要先畫出它的草圖，再借助圖形直觀地確定出被積函數(shù)以及積分的上、下限．2．要把定積分和用定積分計算平面圖形的面積這兩個概念區(qū)分開，定積分是一種積分和的極限，可為正，可為負，也可為零；而平面圖形的面積在一般意義下總為正，因此當f(x)≤0時要通過絕對值處理為正，一般情況下是借助定積分求出兩個曲邊梯形的面積，然后相加起來．3．用定積分解決簡單的物理問題，關鍵是要結合物理學中的相關內容，將物理意義轉化為用定積分解決．失誤防范1．求定積分和利用定積分計算平面圖形的面積是兩個不同的概念．定積分是一個和式的極限，它可正、可負、可為零．而平面圖形的面積在一定意義下總為正，特別是當曲線有在x