2022高考數(shù)學(xué)（理）總復(fù)習(xí)（人教B版）平面的基本性質(zhì)及兩直線位置關(guān)系

第3課時平面的基本性質(zhì)及兩直線位置關(guān)系考點探究·挑戰(zhàn)高考考向瞭望·把脈高考雙基研習(xí)·面對高考第3課時雙基研習(xí)·面對高考1．平面的基本性質(zhì)及推論(1)平面的基本性質(zhì)性質(zhì)1：如果一條直線上的______在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi)．性質(zhì)2：經(jīng)過________________的三點，有且只有一個平面．性質(zhì)3：如果不重合的兩個平面有一個公共點，那么它們_____________過這個點的公共直線．兩點不在一條直線上有且只有一條基礎(chǔ)梳理(2)平面基本性質(zhì)的推論推論1：經(jīng)過一條直線和_______的一點，有且只有一個平面．推論2：經(jīng)過兩條_________，有且只有一個平面．推論3：經(jīng)過兩條__________，有且只有一個平面．直線外相交直線平行直線平行直線相交直線相交平行思考感悟1．如果兩條直線沒有任何公共點，則兩條直線為異面直線，此說法正確嗎？提示：不正確．如果兩條直線沒有公共點，則兩條直線平行或異面．3．平行公理平行于同一條直線的兩條直線__________4．等角定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，并且方向相同，那么這兩個角_______．互相平行相等思考感悟2．本定理中，這兩個角方向相反，兩角有何關(guān)系？提示：當(dāng)這兩個角的兩邊方向相反時相等．課前熱身1．分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系是(

)A．異面B．平行C．相交D．以上都有可能答案：D

2．已知a，b是異面直線，直線c∥直線a，則c與b(

)A．一定是異面直線B．一定是相交直線C．不可能是平行直線D．不可能是相交直線答案：C3．已知A、B、C表示不同的點，l表示直線，α、β表示不同的平面，則下列推理錯誤的是(

)A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC．L

α，A∈l?A?αD．A∈α，A∈l，l

α?l∩α＝A答案：C4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，異面直線AC與B1C1所成的角為__________．答案：45°5．三條直線兩兩相交，可以確定__________個平面．答案：1或3考點探究·挑戰(zhàn)高考考點突破考點一點共線問題證明共線問題：(1)可由兩點連一條直線，再驗證其他各點均在這條直線上；(2)可直接驗證這些點都在同一條特定的直線上——兩相交平面的唯一交線，關(guān)鍵是通過繪出圖形，作出兩個適當(dāng)?shù)钠矫婊蜉o助平面，證明這些點是這兩個平面的公共點．正方體ABCD－A1B1C1D1中，對角線A1C與平面BC1D交于點O，AC、BD交于點M，求證：點C1、O、M共線．例1【證明】如圖所示，A1A∥C1C，則A1A與C1C可確定平面A1C.互動探究1在本例中，若E、F分別為D1C1、B1C1的中點，A1C1∩EF＝Q，AC∩BD＝P，A1C∩面EFBD＝R，試探究P、Q、R三點是否共線．解：在正方體AC1中，設(shè)平面A1ACC1為α，又設(shè)平面BDEF為β.因為Q∈A1C1，所以Q∈α，又Q∈EF，所以Q∈β.則Q是α與β的公共點，同理，P點也是α與β的公共點．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α且R∈β，則R∈PQ，故P、Q、R三點共線．證明共點問題一般是證明三條直線交于一點．首先證明其中的兩條直線相交于一點，然后再說明第三條直線是經(jīng)過這兩條直線的兩個平面的交線，由公理3可知兩個平面的公共點必在兩個平面的交線上，即三條直線交于一點．考點二線共點問題例2【思路分析】先證E、F、G、H四點共面，再證EF、GH交于一點，然后證明這一點在AC上．∴由公理4知，EH∥FG，且EH<FG.∴四邊形EFGH是梯形，EH、FG為上、下兩底．∴兩腰EF、GH所在直線必相交于一點P.∵P∈直線EF，EF?平面ABC，∴P∈平面ABC.同理可得P∈平面ADC，∴P在平面ABC和平面ADC的交線上．又∵面ABC∩面ADC＝AC，∴P∈直線AC.故EF、GH、AC三直線交于一點．【思維總結(jié)】證明線共點的方法一般是先證兩條直線相交于一點，然后再證明這一點在第三條直線上，而證明后者，往往是利用這點在兩個平面的交線上．證明若干條線(或若干個點)共面，一般來說有兩種途徑：一是首先由題目條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證明其余的線(或點)均在這個平面內(nèi)；二是將所有元素分為幾個部分，然后分別確定幾個平面，再證這些平面重合．本類題最容易忽視“三線共點”這一種情況．因此，在分析題意時，應(yīng)仔細(xì)推敲問題中每一句話的含義．考點三點、線共面問題如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E、F分別是棱AA1、CC1的中點，求證：D1、E、F、B共面．例3【思路分析】

連結(jié)D1E、D1F→D1E與DA相交，D1F與DC相交→證明兩交點與B共線．【證明】∵D1、E、F三點不共線，∴D1、E、F三點確定一平面α，又由題意可知D1E與DA共面于平面A1D且不平行，故分別延長D1E、DA相交于G，則G∈直線D1E平面α，∴G∈α.同理，設(shè)直線D1F與DC的延長線交于點H，則H∈平面α.?又∵點G、B、H均屬于平面AC，且由題設(shè)條件知E為AA1的中點且AE∥DD1，從而AG＝AD＝AB，∴△AGB為等腰直角三角形，∴∠ABG＝45°，同理∠CBH＝45°，又∵∠ABC＝90°，從而點B∈α，∴D1、E、F、B共面．【名師點評】

題中是先說明D1、E、F確定一平面，再說明B在所確定的平面內(nèi)，也可證明D1E∥BF，從而說明四點共面．判定兩條直線是否異面，可依據(jù)定義來進(jìn)行，還可依據(jù)定理(過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線)進(jìn)行．反證法是證明兩直線異面的有效方法．考點四異面直線求異面直線所成的角的一般步驟是：一作，二證，三計算；作出異面直線所成的角的方法是“平移法”，常常使用特殊位置的點，如利用線段的中點或線段的端點等進(jìn)行平移，利用圖中已有的平行線進(jìn)行平移，利用補形的方法進(jìn)行平移等，通常將角放在某個三角形中．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是A1B1、B1C1的中點．問：(1)AM和CN是否是異面直線？說明理由；(2)D1B和CC1是否是異面直線？說明理由；(3)求A1C1與B1C所成角的大小．例4【思路分析】

(1)可證得MN∥AC，故AM、CN共面；(2)利用反證法或定理法；(3)利用A1C1∥AC.【解】

(1)不是異面直線．理由：連接MN、AC.∵M(jìn)、N分別是A1B1、B1C1的中點，∴MN∥A1C1.又∵A1A綊C1C，∴A1ACC1為平行四邊形．∴A1C1∥AC，得到MN∥AC，∴A、M、N、C在同一平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線．(3)如圖，連接AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方體，知AA1C1C為平行四邊形，所以AC∥A1C1，從而B1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角．由AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60°，即A1C1與B1C所成角為60°.【方法指導(dǎo)】若從正面入手證明兩條直線異面比較困難時，可考慮用反證法．方法技巧1．主要題型的解題方法(1)要證明“線共面”或“點共面”可先由部分直線或點確定一個平面，再證其余直線或點也在這個平面內(nèi)(即“納入法”)(如例3)．(2)要證明“點共線”可將線看作兩個平面的交線，只要證明這些點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)公理3可知這些點在交線上，因此共線(如例1)．方法感悟2．判定空間兩條直線是異面直線的方法(1)判定定理：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點B的直線是異面直線．(2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面(如例4)．3．求兩條異面直線所成角的大小的方法一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決．根據(jù)空間等角定理及推論可知，異面直線所成角的大小與頂點位置無關(guān)，往往將角的頂點取在其中的一條直線上，特別地，可以取其中一條直線與另一條直線所在平面的交點或異面線段的端點．總之，頂點的選擇要與已知量有關(guān)，以便于計算，具體步驟如下：(1)利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上；(2)證明作出的角即為所求角或其補角；(3)利用三角形來求解．失誤防范1．異面直線是不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線，而不是分別在兩個平面內(nèi)．一定要理解定義．2．求異面直線所成的角要特別注意異面直線所成角的范圍是(0°，90°]．考向瞭望·把脈高考考情分析從近幾年的高考試題來看，異面直線所成的角、異面直線的判定是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度為中、低檔．客觀題主要考查異面直線所成角的概念及求法，考查平移直線法；主觀題主要考查立體幾何的有關(guān)知識、異面直線的判定等，同時還考查了學(xué)生的空間想象能力和運算能力．預(yù)測2012年高考仍將以求異面直線的位置關(guān)系判定為主要考查點，重點考查學(xué)生的空間想象能力和運算能力．(本題滿分12分)(2009年高考遼寧卷)如圖，已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點．(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的長；(2)用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線．例規(guī)范解答(2)證明：連結(jié)NE，假設(shè)直線ME與BN共面，則AB?平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于EN.7分由已知，兩正方形不共面，故AB?平面DCEF.又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF.而EN為平面MBEN與平面DCEF的交線，所以AB∥EN.10分又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF，這與EN∩EF＝E矛盾，故假設(shè)不成立．所以ME與BN不共面，它們是異面直線.12分【名師點評】

(1)不會利用平面ABCD⊥平面DCEF創(chuàng)建線線垂直，將所求MN放置于可解的直角三角形內(nèi)．(2)否定結(jié)論后，不會利用假設(shè)與線面平行的性質(zhì)導(dǎo)出AB∥EN，從而找不到矛盾所在．反證法證題的關(guān)鍵在于充分利用假設(shè)與條件推出矛盾，從而肯定結(jié)論正確．名師預(yù)測1．若空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點”的(

)A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充分必要條件D．既非充分又非必要條件解析：選A.“兩條直線為異面直線”?“兩條直線無公共點”．“兩直線無公共點”?“兩直線異面或平行”．故選A.2．已知幾個命題：①三點確定一個平面；②若點P不在平面α內(nèi)，A、B、C三點都在平面α內(nèi)，則P、A、B、C四點不在同一平面內(nèi)；③兩兩相交的三條直線在同一平面內(nèi)；④兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．其中正確命題的個