2022高考數(shù)學(xué)（理）總復(fù)習(xí)（人教B版）平面的基本性質(zhì)及兩直線位置關(guān)系

第3課時(shí)平面的基本性質(zhì)及兩直線位置關(guān)系考點(diǎn)探究·挑戰(zhàn)高考考向瞭望·把脈高考雙基研習(xí)·面對(duì)高考第3課時(shí)雙基研習(xí)·面對(duì)高考1．平面的基本性質(zhì)及推論(1)平面的基本性質(zhì)性質(zhì)1：如果一條直線上的______在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)．性質(zhì)2：經(jīng)過(guò)________________的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．性質(zhì)3：如果不重合的兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們_____________過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線．兩點(diǎn)不在一條直線上有且只有一條基礎(chǔ)梳理(2)平面基本性質(zhì)的推論推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和_______的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過(guò)兩條_________，有且只有一個(gè)平面．推論3：經(jīng)過(guò)兩條__________，有且只有一個(gè)平面．直線外相交直線平行直線平行直線相交直線相交平行思考感悟1．如果兩條直線沒(méi)有任何公共點(diǎn)，則兩條直線為異面直線，此說(shuō)法正確嗎？提示：不正確．如果兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，則兩條直線平行或異面．3．平行公理平行于同一條直線的兩條直線__________4．等角定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角_______．互相平行相等思考感悟2．本定理中，這兩個(gè)角方向相反，兩角有何關(guān)系？提示：當(dāng)這兩個(gè)角的兩邊方向相反時(shí)相等．課前熱身1．分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系是(

)A．異面B．平行C．相交D．以上都有可能答案：D

2．已知a，b是異面直線，直線c∥直線a，則c與b(

)A．一定是異面直線B．一定是相交直線C．不可能是平行直線D．不可能是相交直線答案：C3．已知A、B、C表示不同的點(diǎn)，l表示直線，α、β表示不同的平面，則下列推理錯(cuò)誤的是(

)A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC．L

α，A∈l?A?αD．A∈α，A∈l，l

α?l∩α＝A答案：C4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，異面直線AC與B1C1所成的角為_(kāi)_________．答案：45°5．三條直線兩兩相交，可以確定__________個(gè)平面．答案：1或3考點(diǎn)探究·挑戰(zhàn)高考考點(diǎn)突破考點(diǎn)一點(diǎn)共線問(wèn)題證明共線問(wèn)題：(1)可由兩點(diǎn)連一條直線，再驗(yàn)證其他各點(diǎn)均在這條直線上；(2)可直接驗(yàn)證這些點(diǎn)都在同一條特定的直線上——兩相交平面的唯一交線，關(guān)鍵是通過(guò)繪出圖形，作出兩個(gè)適當(dāng)?shù)钠矫婊蜉o助平面，證明這些點(diǎn)是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)．正方體ABCD－A1B1C1D1中，對(duì)角線A1C與平面BC1D交于點(diǎn)O，AC、BD交于點(diǎn)M，求證：點(diǎn)C1、O、M共線．例1【證明】如圖所示，A1A∥C1C，則A1A與C1C可確定平面A1C.互動(dòng)探究1在本例中，若E、F分別為D1C1、B1C1的中點(diǎn)，A1C1∩EF＝Q，AC∩BD＝P，A1C∩面EFBD＝R，試探究P、Q、R三點(diǎn)是否共線．解：在正方體AC1中，設(shè)平面A1ACC1為α，又設(shè)平面BDEF為β.因?yàn)镼∈A1C1，所以Q∈α，又Q∈EF，所以Q∈β.則Q是α與β的公共點(diǎn)，同理，P點(diǎn)也是α與β的公共點(diǎn)．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α且R∈β，則R∈PQ，故P、Q、R三點(diǎn)共線．證明共點(diǎn)問(wèn)題一般是證明三條直線交于一點(diǎn)．首先證明其中的兩條直線相交于一點(diǎn)，然后再說(shuō)明第三條直線是經(jīng)過(guò)這兩條直線的兩個(gè)平面的交線，由公理3可知兩個(gè)平面的公共點(diǎn)必在兩個(gè)平面的交線上，即三條直線交于一點(diǎn)．考點(diǎn)二線共點(diǎn)問(wèn)題例2【思路分析】先證E、F、G、H四點(diǎn)共面，再證EF、GH交于一點(diǎn)，然后證明這一點(diǎn)在AC上．∴由公理4知，EH∥FG，且EH<FG.∴四邊形EFGH是梯形，EH、FG為上、下兩底．∴兩腰EF、GH所在直線必相交于一點(diǎn)P.∵P∈直線EF，EF?平面ABC，∴P∈平面ABC.同理可得P∈平面ADC，∴P在平面ABC和平面ADC的交線上．又∵面ABC∩面ADC＝AC，∴P∈直線AC.故EF、GH、AC三直線交于一點(diǎn)．【思維總結(jié)】證明線共點(diǎn)的方法一般是先證兩條直線相交于一點(diǎn)，然后再證明這一點(diǎn)在第三條直線上，而證明后者，往往是利用這點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線上．證明若干條線(或若干個(gè)點(diǎn))共面，一般來(lái)說(shuō)有兩種途徑：一是首先由題目條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證明其余的線(或點(diǎn))均在這個(gè)平面內(nèi)；二是將所有元素分為幾個(gè)部分，然后分別確定幾個(gè)平面，再證這些平面重合．本類(lèi)題最容易忽視“三線共點(diǎn)”這一種情況．因此，在分析題意時(shí)，應(yīng)仔細(xì)推敲問(wèn)題中每一句話的含義．考點(diǎn)三點(diǎn)、線共面問(wèn)題如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別是棱AA1、CC1的中點(diǎn)，求證：D1、E、F、B共面．例3【思路分析】

連結(jié)D1E、D1F→D1E與DA相交，D1F與DC相交→證明兩交點(diǎn)與B共線．【證明】∵D1、E、F三點(diǎn)不共線，∴D1、E、F三點(diǎn)確定一平面α，又由題意可知D1E與DA共面于平面A1D且不平行，故分別延長(zhǎng)D1E、DA相交于G，則G∈直線D1E平面α，∴G∈α.同理，設(shè)直線D1F與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，則H∈平面α.?又∵點(diǎn)G、B、H均屬于平面AC，且由題設(shè)條件知E為AA1的中點(diǎn)且AE∥DD1，從而AG＝AD＝AB，∴△AGB為等腰直角三角形，∴∠ABG＝45°，同理∠CBH＝45°，又∵∠ABC＝90°，從而點(diǎn)B∈α，∴D1、E、F、B共面．【名師點(diǎn)評(píng)】

題中是先說(shuō)明D1、E、F確定一平面，再說(shuō)明B在所確定的平面內(nèi)，也可證明D1E∥BF，從而說(shuō)明四點(diǎn)共面．判定兩條直線是否異面，可依據(jù)定義來(lái)進(jìn)行，還可依據(jù)定理(過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線)進(jìn)行．反證法是證明兩直線異面的有效方法．考點(diǎn)四異面直線求異面直線所成的角的一般步驟是：一作，二證，三計(jì)算；作出異面直線所成的角的方法是“平移法”，常常使用特殊位置的點(diǎn)，如利用線段的中點(diǎn)或線段的端點(diǎn)等進(jìn)行平移，利用圖中已有的平行線進(jìn)行平移，利用補(bǔ)形的方法進(jìn)行平移等，通常將角放在某個(gè)三角形中．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)．問(wèn)：(1)AM和CN是否是異面直線？說(shuō)明理由；(2)D1B和CC1是否是異面直線？說(shuō)明理由；(3)求A1C1與B1C所成角的大?。?【思路分析】

(1)可證得MN∥AC，故AM、CN共面；(2)利用反證法或定理法；(3)利用A1C1∥AC.【解】

(1)不是異面直線．理由：連接MN、AC.∵M(jìn)、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)，∴MN∥A1C1.又∵A1A綊C1C，∴A1ACC1為平行四邊形．∴A1C1∥AC，得到MN∥AC，∴A、M、N、C在同一平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線．(3)如圖，連接AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方體，知AA1C1C為平行四邊形，所以AC∥A1C1，從而B(niǎo)1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角．由AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60°，即A1C1與B1C所成角為60°.【方法指導(dǎo)】若從正面入手證明兩條直線異面比較困難時(shí)，可考慮用反證法．方法技巧1．主要題型的解題方法(1)要證明“線共面”或“點(diǎn)共面”可先由部分直線或點(diǎn)確定一個(gè)平面，再證其余直線或點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi)(即“納入法”)(如例3)．(2)要證明“點(diǎn)共線”可將線看作兩個(gè)平面的交線，只要證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理3可知這些點(diǎn)在交線上，因此共線(如例1)．方法感悟2．判定空間兩條直線是異面直線的方法(1)判定定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)B的直線是異面直線．(2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面(如例4)．3．求兩條異面直線所成角的大小的方法一般方法是通過(guò)平行移動(dòng)直線，把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題來(lái)解決．根據(jù)空間等角定理及推論可知，異面直線所成角的大小與頂點(diǎn)位置無(wú)關(guān)，往往將角的頂點(diǎn)取在其中的一條直線上，特別地，可以取其中一條直線與另一條直線所在平面的交點(diǎn)或異面線段的端點(diǎn)．總之，頂點(diǎn)的選擇要與已知量有關(guān)，以便于計(jì)算，具體步驟如下：(1)利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上；(2)證明作出的角即為所求角或其補(bǔ)角；(3)利用三角形來(lái)求解．失誤防范1．異面直線是不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，而不是分別在兩個(gè)平面內(nèi)．一定要理解定義．2．求異面直線所成的角要特別注意異面直線所成角的范圍是(0°，90°]．考向瞭望·把脈高考考情分析從近幾年的高考試題來(lái)看，異面直線所成的角、異面直線的判定是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度為中、低檔．客觀題主要考查異面直線所成角的概念及求法，考查平移直線法；主觀題主要考查立體幾何的有關(guān)知識(shí)、異面直線的判定等，同時(shí)還考查了學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算能力．預(yù)測(cè)2012年高考仍將以求異面直線的位置關(guān)系判定為主要考查點(diǎn)，重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算能力．(本題滿(mǎn)分12分)(2009年高考遼寧卷)如圖，已知兩個(gè)正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點(diǎn)．(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的長(zhǎng)；(2)用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線．例規(guī)范解答(2)證明：連結(jié)NE，假設(shè)直線ME與BN共面，則AB?平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于EN.7分由已知，兩正方形不共面，故AB?平面DCEF.又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF.而EN為平面MBEN與平面DCEF的交線，所以AB∥EN.10分又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF，這與EN∩EF＝E矛盾，故假設(shè)不成立．所以ME與BN不共面，它們是異面直線.12分【名師點(diǎn)評(píng)】

(1)不會(huì)利用平面ABCD⊥平面DCEF創(chuàng)建線線垂直，將所求MN放置于可解的直角三角形內(nèi)．(2)否定結(jié)論后，不會(huì)利用假設(shè)與線面平行的性質(zhì)導(dǎo)出AB∥EN，從而找不到矛盾所在．反證法證題的關(guān)鍵在于充分利用假設(shè)與條件推出矛盾，從而肯定結(jié)論正確．名師預(yù)測(cè)1．若空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)”的(

)A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充分必要條件D．既非充分又非必要條件解析：選A.“兩條直線為異面直線”?“兩條直線無(wú)公共點(diǎn)”．“兩直線無(wú)公共點(diǎn)”?“兩直線異面或平行”．故選A.2．已知幾個(gè)命題：①三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②若點(diǎn)P不在平面α內(nèi)，A、B、C三點(diǎn)都在平面α內(nèi)，則P、A、B、C四點(diǎn)不在同一平面內(nèi)；③兩兩相交的三條直線在同一平面內(nèi)；④兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．其中正確命題的個(gè)