2022優(yōu)化方案高考理科數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（江蘇專用）1簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

第十一節(jié)簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

考點(diǎn)探究?挑戰(zhàn)高考考向瞭望?把脈高考第十一節(jié)簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)雙基研習(xí)?面對(duì)高考基礎(chǔ)梳理雙基研習(xí)·面對(duì)高考1．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：[f(g(x))]′＝fu′(u)·gx′(x)，其中u＝g(x)，即y′x＝y(tǒng)′u·u′x.2．(1)[f(ax)]′＝__________；(2)[f(x＋b)]′＝__________；(3)[f(ax＋b)]′＝___________．a(chǎn)·f′(ax)f′(x＋b)af′(ax＋b)1．求函數(shù)f(x)＝x＋e2－x的單調(diào)區(qū)間．解：f′(x)＝1＋e2－x·(2－x)′＝1－e2－x，令f′(x)＞0，∴e2－x＜1，∴2－x＜0，∴x＞2，令f′(x)＜0，∴e2－x＞1，∴2－x＞0，∴x＜2，故f(x)單調(diào)增區(qū)間為[2，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為(－∞，2]．課前熱身2．求函數(shù)f(x)＝(x－e)ln(e－x)的極大值．考點(diǎn)探究·挑戰(zhàn)高考考點(diǎn)突破考點(diǎn)一復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，應(yīng)分析復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，引入中間變量u，將復(fù)雜函數(shù)分解為基本初等函數(shù)或簡(jiǎn)單函數(shù)求解．例1【名師點(diǎn)評(píng)】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，關(guān)鍵是合理設(shè)出中間函數(shù)u(x)．考點(diǎn)二利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求參數(shù)值或取值范圍1．利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的最值，并把恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，從而解答含有參數(shù)的方程或不等式．2．參數(shù)問題中涉及的單調(diào)性的逆向應(yīng)用，把問題轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0或f′(x)≤0，在某個(gè)區(qū)間上恒成立，從而解含參數(shù)的不等式．例2【名師點(diǎn)評(píng)】

f(x)≤g(x)恒成立?f(x)－g(x)≤0恒成立?[f(x)－g(x)]max≤0，把恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，從而解答含參數(shù)的不等式．解：若存在x1，x2∈[0,1]，使得|f(x1)－g(x2)|＜1，則f(x)min－g(x)max＜1且g(x)min－f(x)max＜1，∵f′(x)＝－[x＋(a－1)](x－1)e1－x，∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′(x)＞0，∴fmax(x)＝f(1)＝a＋2，fmin＝f(0)＝e.考點(diǎn)三利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解綜合題1．對(duì)于較復(fù)雜的函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，要先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)，特別是對(duì)數(shù)函數(shù)中，真數(shù)是根式或分式時(shí)，可用對(duì)數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為真數(shù)是有理式或整式求解更為方便．2．對(duì)于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，關(guān)鍵在于選取合適的中間變量，弄清每一步求導(dǎo)是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量的求導(dǎo)，不要混淆，最后要把中間變量換成自變量的函數(shù)．例3【名師點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力．當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，h′(x)＞0，h(x)在(－1,0)上為增函數(shù)．當(dāng)x＞0時(shí)，h′(x)＜0，h(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)．所以h(x)在x＝0處取得極大值，而h(0)＝0，所以g′(x)＜0(x≠0)，函數(shù)g(x)在(－1，＋∞)上為減函數(shù)，于是當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，g(x)＞g(0)＝0，當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)＜g(0)＝0.所以，當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，f′(x)＞0，f(x)在(－1,0)上為增函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)．故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－1,0)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，＋∞)．方法感悟失誤防范運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則y′x＝y(tǒng)′u·u′x，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)后，要把中間變量換成自變量的函數(shù)，層層“剝皮”．(2)要分清每一步的求導(dǎo)是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)，不能混淆，一直計(jì)算到最后，常出現(xiàn)如下錯(cuò)誤，如(cos2x)′＝－sin2x實(shí)際上應(yīng)是－2sin2x.考向瞭望·把脈高考考情分析復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在考綱中的要求為B級(jí)，因而對(duì)運(yùn)用有一定的要求，鑒于以導(dǎo)數(shù)為工具的考查方向漸成主流，且江蘇卷附加題部分的命題方向，本考點(diǎn)與其他知識(shí)點(diǎn)綜合考查的可能性更大．例