解直角三角形的應(yīng)用-人教版九年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項講練

文檔來源網(wǎng)絡(luò)整理侵權(quán)刪除專題28.11解直角三角形的應(yīng)用（知識講解）【學(xué)習(xí)目標】理解用三角函數(shù)解決實際問題的有關(guān)概念；理解并解決實際問題中轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)模型解決實際問題。

【要點梳理】解直角三角形的知識應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實際問題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵.

解這類問題的一般過程是：

(1)弄清題中名詞、術(shù)語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.

(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.

(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.

(4)得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，得出實際問題的解.

拓展：

在用直角三角形知識解決實際問題時，經(jīng)常會用到以下概念：

(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示.

坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離的比叫做坡度，用字母表示，則，如圖，坡度通常寫成=∶的形式.

(2)仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖.

(3)方位角：從某點的指北方向線按順時針轉(zhuǎn)到目標方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標方向PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°.

(4)方向角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.

特別說明：

1．解直角三角形實際是用三角知識，通過數(shù)值計算，去求出圖形中的某些邊的長或角的大小，最好畫出它的示意圖.

2．非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點，恰當引輔助線，使其轉(zhuǎn)化為直角三角形或矩形來解.

3．解直角三角形的應(yīng)用題時，首先弄清題意(關(guān)鍵弄清其中名詞術(shù)語的意義)，然后正確畫出示意圖，進而根據(jù)條件選擇合適的方法求解.【典型例題】類型一、解直角三角形的應(yīng)用——仰角和俯角問題1．在一次綜合實踐活動中，某小組對一建筑物進行測量．如圖，在山坡坡腳C處測得該建筑物頂端B的仰角為60°，沿山坡向上走20m到達D處，測得建筑物頂端B的仰角為30°．已知山坡坡度，即，請你幫助該小組計算建筑物的高度．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：）【答案】該建筑物的高度約為31.9m【分析】如圖，作交于點E，作交于點F，作交于點H，根據(jù)題意分別求出BF和AF的長，再根據(jù)即可求解．解：作交于點E，作交于點F，作交于點H則，，∵∴設(shè)，則在中，∴∴∴（負值舍去）∴，∴，設(shè)，則在中，∵∴在中，∵∴即∵∴∴∴答：該建筑物的高度約為31.9m．【點撥】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握坡角坡度，仰角的定義，添加合適的輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，小文在數(shù)學(xué)綜合實踐活動中，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量居民樓的高度，在居民樓前方有一斜坡，坡長，斜坡的傾斜角為，．小文在點處測得樓頂端的仰角為，在點處測得樓頂端的仰角為（點，，，在同一平面內(nèi)）．(1)求，兩點的高度差；(2)求居民樓的高度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)9m(2)24m【分析】（1）過點作，交的延長線于點，在中，可得，再利用勾股定理可求出，即可得出答案．（2）過點作于，設(shè)，在中，，解得，在中，，，，求出的值，即可得出答案．（1）解：過點作，交的延長線于點，在中，，，．．答：，兩點的高度差為．（2）過點作于，由題意可得，，設(shè)，在中，，解得，在中，，，，解得，．答：居民樓的高度約為．【點撥】本題考查解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題、坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，希望中學(xué)的教學(xué)樓AB和綜合樓CD之間生長著一棵高度為12.88米的白楊樹EF，且其底端B，D，F(xiàn)在同一直線上，BF＝FD＝40米．在綜合實踐活動課上，小明打算借助這棵樹的高度測算出綜合樓的高度，他在教學(xué)樓頂A處測得點C的仰角為9°，點E的俯角為16°．科學(xué)計算器按鍵順序計算結(jié)果（已取近似值）0.1560.1580.2760.287問小明能否運用以上數(shù)據(jù)，得到綜合樓的高度？若能，請求出其高度（結(jié)果精確到0.01米）；若不能，說明理由．（解答過程中可直接使用表格中的數(shù)據(jù)喲?。敬鸢浮磕埽C合樓的高度約是37.00米．【分析】在Rt△AEG中，利用正切函數(shù)求得AG的長，在Rt△ACH中，利用正切函數(shù)求得CH的長，據(jù)此求解即可得到綜合樓的高度．解：小明能運用以上數(shù)據(jù)，得到綜合樓的高度，理由如下：作EG⊥AB，垂足為G，作AH⊥CD，垂足為H，如圖：·由題意知，EG=BF=40米，EF=BG=12.88米，∠HAE=16°=∠AEG=16°，∠CAH=9°，在Rt△AEG中，tan∠AEG=，∴tan16°=，即0.287≈，∴AG=40×0.287=11.48（米），∴AB=AG+BG=11.48+12.88=24.36（米），∴HD=AB=24.36米，在Rt△ACH中，AH=BD=BF＋FD=80米，tan∠CAH=，∴tan9°=，即0.158≈，∴CH=80×0.158=12.64（米），∴CD=CH＋HD=12.64＋24.36=37.00（米），則綜合樓的高度約是37.00米．【點撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握仰角和俯角定義．類型二、解直角三角形的應(yīng)用——方位角問題2．小明學(xué)了《解直角三角形》內(nèi)容后，對一條東西走向的隧道進行實地測量．如圖所示，他在地面上點C處測得隧道一端點A在他的北偏東方向上，他沿西北方向前進米后到達點D，此時測得點A在他的東北方向上，端點B在他的北偏西方向上，（點A、B、C、D在同一平面內(nèi)）(1)求點D與點A的距離；(2)求隧道的長度．（結(jié)果保留根號）【答案】(1)點D與點A的距離為300米(2)隧道的長為米【分析】（1）根據(jù)方位角圖，易知，，解即可求解；（2）過點D作于點E．分別解，求出和，即可求出隧道的長解：（1）由題意可知：，在中，∴（米）答：點D與點A的距離為300米．（2）過點D作于點E．∵是東西走向∴在中，∴在中，∴∴（米）答：隧道的長為米【點撥】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，掌握方向角的概念、熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，我國某海域有A，B，C三個港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是單位“海里”的符號）處，A港口在B港口北偏西50°方向且距離B港口40nmile處，在A港口北偏東53°方向且位于C港口正北方向的點D處有一艘貨船，求貨船與A港口之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）【答案】貨船與A港口之間的距離約為80海里【分析】過點A作AE⊥CD，垂足為E，過點B作BF⊥AE，垂足為F，根據(jù)題意得：EF=BC=33.2海里，AG∥DC，從而可得∠ADC=53°，然后在Rt△AEF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AF的長，從而求出AE的長，最后在Rt△ADE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長，進行計算即可解答．解：過點A作AE⊥CD，垂足為E，過點B作BF⊥AE，垂足為F，由題意得：EF=BC=33.2海里，AG∥DC，∴∠GAD=∠ADC=53°，在Rt△ABF中，∠ABF=50°，AB=40海里，∴AF=AB?sin50°≈40×0.77=30.8（海里），∴AE=AF+EF=64（海里），在Rt△ADE中，AD=≈=80（海里），∴貨船與A港口之間的距離約為80海里．【點撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，為東西走向的濱海大道，小宇沿濱海大道參加“低碳生活·綠色出行”健步走公益活動．小宇在點A處時，某艘海上觀光船位于小宇北偏東的點C處，觀光船到濱海大道的距離為200米．當小宇沿濱海大道向東步行200米到達點E時，觀光船沿北偏西的方向航行至點D處，此時，觀光船恰好在小宇的正北方向，求觀光船從C處航行到D處的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】觀光船從C處航行到D處的距離為米【分析】過點C作于點F，根據(jù)題意利用正切函數(shù)可得，由矩形的判定和性質(zhì)得出，結(jié)合圖形利用銳角三角函數(shù)解三角形即可．解：過點C作于點F，由題意得，，在中，，∵∴∴∵∴四邊形為矩形∴．在中，∵∴答：觀光船從C處航行到D處的距離為米．【點撥】題目主要考查解三角形的應(yīng)用，理解題意，找準各角之間的關(guān)系，利用銳角三角函數(shù)解三角形是解題關(guān)鍵．類型三、解直角三角形的應(yīng)用——坡度坡比問題3．荷澤某超市計劃更換安全性更高的手扶電梯，如圖，把電梯坡面的坡角由原來的37°減至30°，已知原電梯坡面AB的長為8米，更換后的電梯坡面為AD，點B延伸至點D，求BD的長．（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：）【答案】約為1.9米【分析】根據(jù)正弦的定義求出AC，根據(jù)余弦的定義求出BC，根據(jù)正切的定義求出CD，結(jié)合圖形計算，得到答案．解：在Rt△ABC中，AB=8米，∠ABC=37°，則AC=AB?sin∠ABC≈8×0.60=4.8（米），BC=AB?cos∠ABC≈8×0.80=6.40（米），在Rt△ADC中，∠ADC=30°，則CD=≈8.30（米），∴BD=CD-BC=8.30-6.40≈1.9（米），答：BD的長約為1.9米．【點撥】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖是某水庫大壩的橫截面，壩高，背水坡BC的坡度為．為了對水庫大壩進行升級加固，降低背水坡的傾斜程度，設(shè)計人員準備把背水坡的坡度改為，求背水坡新起點A與原起點B之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，．結(jié)果精確到0.1m）【答案】背水坡新起點A與原起點B之間的距離約為14.6m【分析】通過解直角三角形和，分別求出AD和BD的長，由求出AB的長．解：在中，∵背水坡BC的坡度，∴，∴．在中，∵背水坡AC的坡度，∴，∴，∴．答：背水坡新起點A與原起點B之間的距離約為14.6m．【點撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是理解坡度、坡比的含義，構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)表示相關(guān)線段的長度．【變式2】宜賓東樓始建于唐代，重建于宜賓建城2200周年之際的2018年，新建成的東樓（如圖1）成為長江首城會客廳、旅游休閑目的地、文化地標打卡地．某數(shù)學(xué)小組為測量東樓的高度，在梯步A處（如圖2）測得樓頂D的仰角為45°，沿坡比為7：24的斜坡AB前行25米到達平臺B處，測得樓頂D的仰角為60°，求東樓的高度DE．（結(jié)果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：，）【答案】米【分析】根據(jù)，米，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理求得，又設(shè)米，則米，米，求出DE，根據(jù)列出方程，解方程進而根據(jù)即可求解．解：在中，，米，設(shè)，則，由，得，解得：，∴米，米又設(shè)米，則米，米在中，，則，∴（米），在中，，則，∴，∴，解得：，∴（米）．∴東樓的高度約為40米．【點撥】本題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，掌握三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．類型四、解直角三角形的應(yīng)用——其他問題4．2022年6月5日，“神舟十四號”載人航天飛船搭載“明星”機械臂成功發(fā)射．如圖是處于工作狀態(tài)的某型號手臂機器人示意圖，是垂直于工作臺的移動基座，、為機械臂，m，m，m，．機械臂端點到工作臺的距離m．(1)求、兩點之間的距離；(2)求長．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)6.7m(2)4.5m【分析】（1）連接，過點作，交的延長線于，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和勾股定理即可解決問題．（2）過點作，垂足為，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和勾股定理即可解決問題．（1）解：如圖2，連接，過點作，交的延長線于．在中，，，所以，，所以，在中，m，m，根據(jù)勾股定理得m，答：、兩點之間的距離約6.7m．（2）如圖2，過點作，垂足為，則四邊形為矩形，m，，所以m，在中，m，m，根據(jù)勾股定理得m．m．答：的長為4.5m．【點撥】求角的三角畫數(shù)值或者求線段的長時，我們經(jīng)常通過觀察圖形將所求的角成者線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中（如果沒有直角三角形，設(shè)法構(gòu)造直角三角形），再利用銳角三角畫數(shù)求解【變式1】某型號飛機的機翼形狀如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算的長度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位，）.【答案】的長度約為10.2米【分析】延長交的垂線于點，交于點,則四邊形是矩形，根據(jù)圖示，可得四邊形是正方形，解，即可求解．解：如圖，延長交的垂線于點，交于點,則四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，，，中，，，中，，（米）．【點撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式2】小強在物理課上學(xué)過平面鏡成像知識后，在老師的帶領(lǐng)下到某廠房做驗證實驗.如圖，