【人教數(shù)學(xué)A版選修】《曲線與方程》“十市聯(lián)賽”一等獎(jiǎng)

2.1.1曲線與方程主要內(nèi)容：曲線和方程的概念、意義及曲線和方程的兩個(gè)基本問(wèn)題重點(diǎn)和難點(diǎn)：曲線和方程的概念曲線和方程之間有什么對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？

？（1）、求第一、三象限里兩軸間夾角平分線的坐標(biāo)滿足的關(guān)系點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等x=y（或x-y=0）第一、三象限角平分線得出關(guān)系：x-y=0xy0（1）上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程x-y=0的解（2）以方程x-y=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在上曲線條件方程分析特例歸納定義（2）、方程是關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的拋物線如圖·0xyM滿足關(guān)系：（1）、如果是拋物線上的點(diǎn)，那么一定是這個(gè)方程的解（2）、如果是方程的解，那么以它為坐標(biāo)的點(diǎn)一定在拋物線上分析特例歸納定義圖像上的點(diǎn)M與此方程y=ax2有什么關(guān)系？（3）、說(shuō)明過(guò)A（2，0）平行于y軸的直線與方程︱x︱=2的關(guān)系①、直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程︱x︱=2②、滿足方程︱x︱=2的點(diǎn)不一定在直線上結(jié)論：過(guò)A（2，0）平行于y軸的直線的方程不是︱x︱=20xy2A分析特例歸納定義給定曲線C與二元方程f（x，y）=0，若滿足（1）曲線上的點(diǎn)坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解（2）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)那么這個(gè)方程f（x，y）=0叫做這條曲線C的方程這條曲線C叫做這個(gè)方程的曲線定義f(x,y)=00xy分析特例歸納定義C曲線的方程，方程的曲線2、兩者間的關(guān)系：點(diǎn)在曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)適合于此曲線的方程即：曲線上所有點(diǎn)的集合與此曲線的方程的解集能夠一一對(duì)應(yīng)3、如果曲線C的方程是f(x，y）=0，那么點(diǎn)在曲線C上的充要條件是例1.判斷下列結(jié)論的正誤并說(shuō)明理由（1）過(guò)點(diǎn)A（3，0）且垂直于x軸的直線為x=3

（2）到x軸距離為2的點(diǎn)的軌跡方程為y=2

（3）到兩坐標(biāo)軸距離乘積等于1的點(diǎn)的軌跡方程為xy=1對(duì)錯(cuò)錯(cuò)例2證明：圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為5的圓的方程是并判斷是否在圓上變式訓(xùn)練：寫(xiě)出下列半圓的方程0xy55··學(xué)習(xí)例題鞏固定義yyy-5y5555555-5-5-5-500xxxx(1)舉出一個(gè)方程與曲線，使它們之間的關(guān)系符合①而不符合②.(2)舉出一個(gè)方程與曲線，使它們之間的關(guān)系符合②而不符合①.(3)舉出一個(gè)方程與曲線，使它們之間的關(guān)系既符合①又符合②。變式思維訓(xùn)練，深化理解下列各題中，圖3表示的曲線方程是所列出的方程嗎？如果不是，不符合定義中的關(guān)系①還是關(guān)系②？

(1)曲線C為過(guò)點(diǎn)A(1，1)，B(-1，1)的折線，方程為(x-y)(x+y)=0;

(2)曲線C是頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，方程為x+=0;

(3)曲線C是Ⅰ,Ⅱ象限內(nèi)到X軸，Y軸的距離乘積為1的點(diǎn)集，方程為y=。10xy-110xy-11-2210xy-11-221圖3例2

證明以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑等于5的圓的方程是x2+y2=25,并判斷點(diǎn)M1(3，-4)，M2(-3，2)是否在這個(gè)圓上.證明：(1)設(shè)M(x0,y0)是圓上任意一點(diǎn).因?yàn)辄c(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于5，所以也就是xo2+yo2=25.

即(x0,y0)是方程x2+y2=25的解.(2)設(shè)(x0,y0)是方程x2+y2=25的解，那么

x02+y02=25兩邊開(kāi)方取算術(shù)根，得即點(diǎn)M(x0,y0)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于5，點(diǎn)M(x0,y0)是這個(gè)圓上的一點(diǎn).

由1、2可知，x2+y2=25,是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑等于5的圓的方程.M1在圓上，M2不在圓上

第一步，設(shè)M(x0,y0)是曲線C上任一點(diǎn)，證明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；歸納:

證明已知曲線的方程的方法和步驟

第二步，設(shè)(x0,y0)是f(x,y)=0的解，證明點(diǎn)M(x0,y0)在曲線C上.在軌跡的基礎(chǔ)上將軌跡和條件化為曲線和方程，當(dāng)說(shuō)某方程是曲線的方程或某曲線是方程的曲線時(shí)就意味著具備上述兩個(gè)條件，只有具備上述兩個(gè)方面的要求，才能將曲線的研究化為方程的研究,幾何問(wèn)題化為代數(shù)問(wèn)題，以數(shù)助形正是解析幾何的思想，本節(jié)課正是這一思想的基礎(chǔ)。小結(jié)：-1-曲線與方程——2.1.2求曲線的方程例3、設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-1，-1），（3，7），求線段AB的垂直平分線的方程。求曲線方程的步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）寫(xiě)出滿足條件p的點(diǎn)M的集合P={M|p(M)};（3）用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程f(x,y)=0；（4）化簡(jiǎn)方程f(x,y)=0；（5）說(shuō)明化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上。-1-例４、已知一條直線l和它上方的一個(gè)點(diǎn)Ｆ，點(diǎn)Ｆ到l的距離是２。一條曲線也在l的上方，它上面的每一點(diǎn)到F的