高數(shù)論文-微積分

-3-目錄TOC\o"1-3"\h高等數(shù)學(xué)——微積分 -2-什么是微積分 -2-微積分的歷史 -3-微積分的創(chuàng)立 -3-中國古代微積分 -3-微積分的與公式 -4-微分公式 -4-積分公式 -4-微積分的運算法則 -6-微分的運算法則 -6-積分的運算法則 -6-例題與解題方法 -7-微分的計算方法 -7-定積分的計算方法 -8-微積分的意義與應(yīng)用 -8-微積分的意義 -8-微積分的應(yīng)用 -8-高等數(shù)學(xué)——微積分周露摘要：本文介紹了微積分的概念與歷史發(fā)展，并在文中詳細(xì)例舉了微積分的各種公式和求取法則，文中用例題的方式講解了微積分的解題方法，最后在文末說明了微積分的重要意義與生活中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：微分、積分、方法、數(shù)學(xué)史、應(yīng)用引言眾所周知，微積分是數(shù)學(xué)中重要的一個分支，微積分的發(fā)現(xiàn)，極大地促進(jìn)了數(shù)學(xué)史的發(fā)展，那么，究竟什么是微積分？誰創(chuàng)立了微積分？微積分究竟有什么重要的作用與意義？讓我們在這篇文章中揭曉答案吧。什么是微積分微積分，是一種數(shù)學(xué)思想。從字面上就可以看出，微積分分為微分與積分兩部分。那么什么是微分？而什么又是積分呢？通俗的來講，“微分”就是無限細(xì)分，而“積分”則是無限求和。舉個例子來說吧，一段繩子，你第一天切下一半，第二天切下剩余部分的一半，每天都重復(fù)這樣的行為，從理論上來說，這段繩子永遠(yuǎn)都切不完，這個就是微分。而積分則恰恰與之相反，積分是一點一點累加的過程，如將硬幣放進(jìn)儲錢罐，積少成多，這就是積分。在物理運動學(xué)中也常常有微積分的存在，如火箭發(fā)射的一瞬間的瞬時速度就是微分，而火箭每時每刻每個瞬間飛過的路程之和則是積分。微積分分為微分學(xué)與積分學(xué)。微分學(xué)的主要內(nèi)容包括極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分等，積分學(xué)的主要內(nèi)容包括定積分與不定積分等。8、9、10、11、12、13、14、其中為雙曲正弦函數(shù)15、其中為雙曲余弦函數(shù)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、微積分的運算法則微分的運算法則函數(shù)的和、差、積、商微分法則設(shè)u=u(x),v=v(x),則(u+v)’=u’+v’(u+v)’=u’+v’(Cu)’=Cu(uv)’=u’v+uv’(u/v)=(u’v-uv’)/v2（v≠0）復(fù)合函數(shù)的微分法則dy‘=d’(u)dudy=y’udu積分的運算法則

∫kd（x）dx＝k∫d（x）dx

∫(d（x）±g(x））dx＝∫d（x）dx±∫g(x）dx

d∫d（x）dx＝d（x）dx

∫dd（x）＝d（x）＋C

∫d（φ（x））φ′（x）dx＝d（φ（x））＋C

∫d（x）dx＝∫d（ψ（t））·ψ′（t）dt＝G（ψ^-1(x))+C

∫udv＝uv－∫vdu或∫uv′dx＝uv－∫vu′dx例題與解題方法微分的計算方法（1）、綜合應(yīng)用和差積商與復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則如題11.求出該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)=lnlnx+2x2該題中y是一個復(fù)合函數(shù)，可運用函數(shù)的和求導(dǎo)法則拆分為兩個函數(shù)分別計算，一個是lnlnlnx，一個是x2，對于復(fù)合函數(shù)lnlnx則可以利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，令u=lnx，u’=1/x，f(x=)lnu，f(x)’=1/u，由f(u)’=u’f(u)’,所以可求出lnlnx=(1/x)*lnlnx.、綜合應(yīng)用微分法則求函數(shù)微分如題2已知函數(shù)y=e-x*cos(3+x)求dy乍一看該題較為復(fù)雜，綜合性也比較強，其實仔細(xì)分析可以看出該函數(shù)也不過是兩個復(fù)合函數(shù)相乘，我們可以利用微分的積法則，令u=e-x，v=cos(3+x)，由d(uv)=duv+udv可得出y’=d(e-x)*cos(3+x)+e-x*dcos(3+x)，d(e-x)=-e-x，d(cos(3+x))=-sin(3+x)，所以可以求出dy=-e-x*cos(3+x)-sin(3+x).、求隱函數(shù)的微分的方法如題3x*y=ex+y求dy這道題就要用到隱函數(shù)的微分方法了，先在兩邊同時微分，x*y=y+x*dy，ex+y=(1+dy)*ex+y,y+x*dy=(1+dy)*ex+y,再將dy提取出來，得dy=(y-ex+y)/(ex+y-x)，這樣隱函數(shù)的微分就求出來了。不定積分的計算方法、利用公式與運算法則直接計算法如題44.∫(x2+2x+1)dx該題可拆分為三個函數(shù)分別積分∫(x2+2x+1)dx=∫x2dx+∫2xdx+∫1dx，又由積分公式，∫x2dx=(1/4)x4+C，∫2xdx=x2+C，∫1dx=x+C，而C為任意常數(shù)，所以∫(x2+2x+1)dx=(1/4)x4+x2+x+C.、第一種換元積分法（利用一個中間變量u代換，∫f[g(x)]*g(x)’dx=F[g(x)+C=[∫f(u)*du]）如題5∫（2-3*x）4dx求dy該題可以令2-3*x=u，先對u4求導(dǎo)得（1/5）*u5，再對u求導(dǎo)得-3，將u的導(dǎo)數(shù)提出，所以可得出dy=（1/5）/3*u5+C，又u=2-3*x，所以dy=（-1/15）*（2-3*x）+C。、第二種換元法（先令中間一部分為u，求出x，再求x的導(dǎo)數(shù)，dx=f（x）‘du）如例題6∫arctan√x/（√x*(1+x)）dx求dy該題解法與例題5相似，也是換元法，先令u=√x，x=u2，dx=2*udu?！襛rctan√x/（√x*(1+x)）=∫2*arctanu/（1+u2）du，在利用第一類換元法可得出∫2*arctanu/（1+u2）du=arctan2u，最后將u換回去得出dy=arctan2√x+C。、分部積分法。（∫uv‘dx=uv-∫vu’dx或∫udv=uv-∫vdu。）如題7例題7∫x2*lnx求dy該題就可用上述公式，∫x2*lnx=lnx*（x3/3）-∫（x3/3）*（1/x）dx=lnx*（x3/3）-1/3∫x2dx，又∫x2dx=x3/3，所以得出∫x2*lnx=lnx*（x3/3）-x3/9+C.。這就是最簡單的分部積分法。定積分的計算方法不定積分與定積分相似而不同，他們的區(qū)別在于定積分是一個具體的數(shù)值，與上下限有關(guān)，而不定積分只是原函數(shù)的一個整體，定積分的計算方法與不定積分很像，也是利用函數(shù)的積分，只不過會帶入上下限的值，他們相減得出具體的數(shù)。如例題8.∫basinxdx，a=π/2，b=-π/2求定積分該題先忽視上下限，然后將中間的函數(shù)積分得到-cosx，再將上下限分別帶入，-cos（π/2）=0，-cos（-π/2）=0，f（a）-f（b）=0-0=0.微積分的意義與應(yīng)用微積分的意義微積分是數(shù)學(xué)史中最為重要的一環(huán)，它可以解決許多僅僅依靠數(shù)學(xué)不能有效解決的問題，由于它是有關(guān)變化率的理論，它可以通用于物理運動學(xué)速度加速度等、數(shù)學(xué)函數(shù)曲線的斜率計算中，在數(shù)學(xué)中有極大的作用。不僅在數(shù)學(xué)層面，微積分在哲學(xué)方面也有十分重大的意義。眾所周知，數(shù)學(xué)并不是單純的數(shù)字游戲，數(shù)學(xué)與自然有著密不可分的關(guān)系，當(dāng)然，同哲學(xué)也是相通的。微積分的應(yīng)用微積分自從創(chuàng)立以來，就在數(shù)學(xué)、科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)、天文學(xué)等領(lǐng)域有著重要的作用，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，微積分可以巧妙的計算出各個難以解決的問題如在幾何學(xué)中研究函數(shù)的圖像、面積、體積、近似值。在物理學(xué)中，微積分同樣占有重要的地位，在物理運動學(xué)中，質(zhì)點非勻速運動的計算，將非勻速運動看做一段段勻速運動，先微分后積分，使得計算變得簡單。物理中常用的微元法，從部分到整體的思維方式也是微積分的一種。牛頓最初創(chuàng)立微積分的起因也是為了解決物理問題，可以這么說，微積分的創(chuàng)立不促進(jìn)了數(shù)學(xué)史的進(jìn)展同時也極大的促進(jìn)了物理學(xué)的發(fā)展。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，微積分的應(yīng)用也是十分的廣泛。如關(guān)于利潤最大值的問題，年收入增長率的問題，需求量與價格的相對變化等問題都離不開微積分