2022-2023學年蘇教版高一數學新教材同步講義3.3 從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式

文檔來源網絡侵權刪除3.3從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式【知識點梳理】知識點一：一元二次不等式的概念一般地，我們把只含有一個末知數，并且末知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式，即形如或（其中a，b，c均為常數，的不等式都是一元二次不等式．知識點二：二次函數的零點一般地，對于二次函數，我們把使的實數叫做二次函數的零點．知識點三：一元二次不等式的解集的概念使一元二次不等式成立的所有未知數的值組成的集合叫做這個一元二次不等式的解集．知識點四：二次函數與一元二次方程、不等式的解的對應關系對于一元二次方程的兩根為且，設，它的解按照，，可分三種情況，相應地，二次函數的圖像與軸的位置關系也分為三種情況．因此我們分三種情況來討論一元二次不等式或的解集．二次函數（）的圖象有兩相異實根有兩相等實根無實根知識點詮釋：（1）一元二次方程的兩根是相應的不等式的解集的端點的取值，是拋物線與軸的交點的橫坐標；（2）表中不等式的二次系數均為正，如果不等式的二次項系數為負，應先利用不等式的性質轉化為二次項系數為正的形式，然后討論解決；（3）解集分三種情況，得到一元二次不等式與的解集．知識點五：利用不等式解決實際問題的一般步驟（1）選取合適的字母表示題中的未知數；（2）由題中給出的不等關系，列出關于未知數的不等式（組）；（3）求解所列出的不等式（組）；（4）結合題目的實際意義確定答案．知識點六：一元二次不等式恒成立問題（1）轉化為一元二次不等式解集為的情況，即恒成立恒成立（2）分離參數，將恒成立問題轉化為求最值問題．知識點七：簡單的分式不等式的解法系數化為正，大于取“兩端”，小于取“中間”【題型歸納目錄】題型一：解不含參數的一元二次不等式題型二：一元二次不等式與根與系數關系的交匯題型三：含有參數的一元二次不等式的解法題型四：一次分式不等式的解法題型五：實際問題中的一元二次不等式問題題型六：不等式的恒成立問題【典型例題】題型一：解不含參數的一元二次不等式例1．（2022·全國·高一課時練習）不等式的解集為（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結】解不含參數的一元二次不等式的一般步驟（1）通過對不等式的變形，使不等式右側為0，使二次項系數為正．（2）對不等式左側因式分解，若不易分解，則計算對應方程的判別式．（3）求出相應的一元二次方程的根或根據判別式說明方程有無實根．（4）根據一元二次方程根的情況畫出對應的二次函數的草圖．（5）根據圖象寫出不等式的解集．例2．（多選題）（2022·湖南·株洲二中高一開學考試）與不等式的解集相同的不等式有（

）A． B．C． D．例3．（2022·全國·高一課時練習）解下列不等式：(1)；(2)；(3).題型二：一元二次不等式與根與系數關系的交匯例4．（2022·全國·高一專題練習）若不等式的解集為，則（）A． B． C． D．【方法技巧與總結】三個“二次”之間的關系（1）三個“二次”中，一元二次函數是主體，討論一元二次函數主要是將問題轉化為一元二次方程和一元二次不等式的形式來研究．（2）討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應的一元二次函數相聯系，通過一元二次函數的圖象及性質來解決問題，關系如下：例5．（2022·全國·高一課時練習）若關于的不等式的解集為,則______，______．例6．（2022·江蘇·高一專題練習）若不等式的解集為，則不等式的解集是（

）A． B．或C． D．例7．（2022·浙江·磐安縣第二中學高一開學考試）已知不等式的解集為，則的解集為（

）A． B．C． D．例8．（2022·全國·高一專題練習）設集合，，若，則m的值為_________.例9．（2022·江蘇·高一專題練習）已知不等式的解集是，，則不等式的解集是____________.例10．（2022·全國·高一單元測試）已知關于x的一元二次不等式的解集為，則的解集是___________.題型三：含有參數的一元二次不等式的解法例11．（2022·全國·高一課時練習）不等式的解集為，則實數的取值范圍是（

）A．或 B．C． D．【方法技巧與總結】解含參數的一元二次不等式的一般步驟（1）討論二次項系數：二次項若含有參數應討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉化為二次項系數為正的形式．（2）判斷方程根的個數：討論判別式Δ與0的關系．（3）寫出解集：確定無根時可直接寫出解集；確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關系，從而確定解集形式．例12．（2022·江蘇·鹽城市田家炳中學高一期中）已知不等式的解集為．(1)求實數，的值；(2)解關于的不等式（其中為實數）．例13．（2022·全國·高一專題練習）已知關于x的不等式ax2﹣x+1﹣a＜0．(1)當a＝2時，解關于x的不等式；(2)當a＞0時，解關于x的不等式．例14．（2022·全國·高一專題練習）解關于的不等式．例15．（2022·全國·高一專題練習）解關于的不等式．例16．（2022·全國·高一專題練習）若，解關于的不等式．例17．（2022·全國·高一專題練習）若關于的不等式的解集中恰有個正整數，求實數的取值范圍.例18．（2022·陜西·長安一中高一期中）已知關于x的不等式的解集為．(1)寫出a和b滿足的關系；(2)解關于x的不等式．題型四：一次分式不等式的解法例19．（2022·全國·高一課時練習）不等式的解集為（

）A．[－1，2] B．[－2，1]C．[－2，1)∪(1，3] D．[－1，1)∪(1，2]【方法技巧與總結】分式不等式轉化為整式不等式的基本類型有哪些？（1）（2）（3）且（4）且例20．（2022·湖南·株洲二中高一開學考試）已知不等式的解集為，求不等式的解集.例21．（2022·陜西·長安一中高一期末）不等式的解集為__________．例22．（2022·全國·高一課時練習）不等式的解集為______________．例23．（2022·寧夏·靈武市第一中學高一期末）不等式的解集為___________.例24．（2022·全國·高一課時練習）不等式的解集是____________.例25．（2022·全國·高一課時練習）關于的不等式的解集為或，(1)求關于的不等式的解集(2)求關于的不等式的解集．題型五：實際問題中的一元二次不等式問題例26．（2022·貴州黔東南·高一期末）黔東南某地有一座水庫，設計最大容量為128000m3．根據預測，汛期時水庫的進水量（單位：m3）與天數的關系是，水庫原有水量為80000m3，若水閘開閘泄水，則每天可泄水4000m3；水庫水量差最大容量23000m3時系統(tǒng)就會自動報警提醒，水庫水量超過最大容量時，堤壩就會發(fā)生危險；如果汛期來臨水庫不泄洪，1天后就會出現系統(tǒng)自動報警．(1)求的值；(2)當汛期來臨第一天，水庫就開始泄洪，估計汛期將持續(xù)10天，問：此期間堤壩會發(fā)生危險嗎？請說明理由．【方法技巧與總結】利用不等式解決實際問題需注意以下四點（1）閱讀理解材料：應用題所用語言多為文字語言，而且不少應用題文字敘述篇幅較長．閱讀理解材料要達到的目的是將實際問題抽象成數學模型，這就要求解題者領悟問題的實際背景，確定問題中量與量之間的關系，初步形成用怎樣的模型能夠解決問題的思路，明確解題方向．（2）建立數學模型：根據（1）中的分析，把實際問題用“符號語言”“圖形語言”抽象成數學模型，并且，建立所得數學模型與已知數學模型的對應關系，以便確立下一步的努力方向．（3）討論不等關系：根據（2）中建立起來的數學模型和題目要求，討論與結論有關的不等關系，得到有關理論參數的值．（4）作出問題結論：根據（3）中得到的理論參數的值，結合題目要求作出問題的結論．例27．（2022·全國·高一課時練習）某旅店有200張床位．若每張床位一晚上的租金為50元，則可全部租出；若將出租收費標準每晚提高元（為正整數），則租出的床位會相應減少張．若要使該旅店某晚的收入超過12600元，則每張床位的出租價格可定在什么范圍內？例28．（2022·湖南·高一課時練習）汽車在行駛中，由于慣性的作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，這段距離稱為“剎車距離”．剎車距離是分析交通事故的一個重要指標．在一個限速為40km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現情況不對，同時剎車，但還是相碰了．事后現場勘查測得甲車的剎車距離略超過12m，乙車的剎車距離略超過10m，又知甲、乙兩種車型的剎車距離與車速分別有如下關系式：，．問：甲、乙兩輛汽車是否有超速現象？例29．（2022·湖北十堰·高一期中）某學校欲在廣場旁的一塊矩形空地上進行綠化.如圖所示，兩塊完全相同的長方形種植綠草坪，草坪周圍（斜線部分）均種滿寬度相同的鮮花.已知兩塊綠草坪的面積均為200平方米.(1)若矩形草坪的長比寬至少多10米，求草坪寬的最大值；(2)若草坪四周及中間的寬度均為2米，求整個綠化面積的最小值.題型六：不等式的恒成立問題例30．（2022·全國·高一單元測試）對任意實數，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結】不等式對一切實數恒成立，即不等式的解集為R，要解決這個問題還需要討論二次項的系數．例31．（2022·全國·高一課時練習）若，且關于x的不等式在R上有解，求實數a的取值范圍．例32．（2022·湖南·雅禮中學高一開學考試）不等式的解集是全體實數，求實數a的取值范圍________．例33．（2022·江蘇·鹽城市田家炳中學高一期中）已知命題：，，若命題是假命題，則實數的取值范圍為_________．例34．（2022·全國·高一專題練習）不等式的解集為R，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．例35．（2022·全國·高一課時練習）已知對任意，恒成立，則實數x的取值范圍是（

）A． B．C． D．例36．（2022·全國·高一課時練習）已知關于的不等式．(1)若對任意實數，不等式恒成立，求實數的取值范圍；(2)若對于，不等式恒成立，求實數的取值范圍．例37．（2022·全國·高一課時練習）在，，存在集合，非空集合，使得這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答．問題：求解實數，使得命題，，命題：______都是真命題．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【同步練習】一、單選題1．（2022·全國·高一課時練習）不等式的解集為（

）A．或 B．C．或 D．2．（2022·全國·高一課時練習）已知二次函數的圖象如圖所示，則不等式的解集是（

）A． B．或 C． D．或3．（2022·全國·高一課時練習）已知函數（）的最小值為0，若關于x的不等式的解集為，則實數c的值為（

）A．9 B．8 C．6 D．44．（2022·全國·高一課時練習）若使不等式成立的任意一個x都滿足不等式，則實數a的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．（2022·全國·高一課時練習）已知，且是方程的兩實數根，則，，m，n的大小關系是（

）A． B．C． D．6．（2022·湖南·長沙一中高一開學考試）關于的方程有兩個不相等的實數根，且，那么的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．（2022·全國·高一單元測試）已知且，若恒成立，則實數m的取值范圍是（

）A． B．} C． D．8．（2022·全國·高一課時練習）在R上定義運算.若不等式對任意實數x都成立，則實數a的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2022·全國·高一課時練習）不等式對任意的R恒成立，則（

）A． B． C． D．10．（2022·江蘇·高一）已知關于的一元二次不等式，其中，則該不等式的解集可能是（

）A． B． C． D．11．（2022·福建省龍巖第一中學高一開學考試）已知關于的不等式的解集為或，則下列結論中，正確結論的序號是（

）A． B．不等式的解集為C．不等式的解集為或 D．12．（2022·湖南·株洲二中高一開學考試）已知關于x的不等式組僅有一個整數解，則k的值可能為（

）A． B． C． D．5三、填空題13．（2022·全國·高一專題練習）若不等式的解集是，則的解集為__________.14．（2022·陜西·千陽縣中學高一開學考試）不等式的解集為__________.15．（2022·全國·高一專題練習）關于的不等式的解集中恰有1個整數，則實數的取值范圍是_________.16．（2022·全國·高一課時練習）知關于x的不等式的解集為，其中，則的最小值為______．四、解答題17．（2022·全國·高一專題練習）解下列不等式：(1)；(2)；(3)；(4)．18．（2022·遼寧·營口市第二高級中學高一期末）已知關于的不等式.(