高考數(shù)學二輪復(fù)習-簡化和避免分類討論的途徑解析

文檔來源網(wǎng)絡(luò)侵權(quán)刪除第68講簡化和避免分類討論的途徑分類討論思想解題的實質(zhì)是“化整為零,各個擊破,再積零為整”的思維策略,但有時,更應(yīng)注意充分挖掘求解問題中潛在的特殊性和簡單性,盡可能消除“討論因素”,靈活地采用相應(yīng)的解題策略,通過適當?shù)摹凹夹g(shù)處理”,消化或避免分類討論,往往能給解題帶來事半功倍之效,避免分類討論常見的解題策略有:直接回避、變更主元、整體考慮、反客為主、數(shù)形結(jié)合等.典型例題【例1】(1)解不等式;(2)設(shè),函數(shù),求當時,的取【分析】第(1)問,無理分式不等式按常規(guī)解法,必須分類討論,通過三角換元引進參數(shù),則無理不等式可以化為有理不等式,分式不等式也容易化為整式不等式,這是直接回避分類討論的常用基本方法;第(2)問,絕對值問題常需分類,若能利用絕對值的性質(zhì)整體考慮,也能直接回避分類討論.【解析】設(shè),則原不等式可化為,由此解得,故,從而原不等式的解集為.(2)當且僅當及時,.故的取值范圍為.【例2】已知,對于值域內(nèi)的所有實數(shù),不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍是________.已知函數(shù)在區(qū)間上至少存在一個實數(shù),使得,求實數(shù)的取值范圍.【分析】第(1)問,若按常規(guī)思路,將看成主元,則要分很多情況來討論,無形之中增加了解題負擔.若將看成主元,則原不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式恒成立問題,易解.可見變換主元、反客為主可以有效避免分類討論.第(2)問,若采取正面直接求解,由于二次函數(shù)的對稱軸在變動,需要分多種情況考慮,而如果考慮對立面,情況就變得簡單,這就是正難則反思想,可以有效避免討論,結(jié)合圖形看,非常直觀.【解析】(1),原問題轉(zhuǎn)化為對任意的恒成立.當時,不等式不成立,.令即把看作關(guān)于的一次函數(shù).問題轉(zhuǎn)化為在上恒大于0,則解得或.即實數(shù)的取值范圍為.(2)至少存在一個實數(shù),使得,需要分多種情況考慮,而考慮反面的話,即對于區(qū)間上任意的實數(shù)都有,結(jié)合圖形可知,只需要滿足且即可,解得.取補集可得所求范圍為.【例3】(1)設(shè)偶函數(shù)定義在上,且在區(qū)間上遞減,若,求實數(shù)的取值范圍.(2)已知函數(shù),定義域為,且,值域為,求的值.【分析】第(1)問,通常需要分4種情況討論求解,要避開這場“大規(guī)?！钡姆诸愑懻?必須注意對急含條件的挖掘.把握偶函數(shù)滿足這一本質(zhì)整體考慮,則問題即刻變得非常簡單.第(2)問,若一個數(shù)學問題的題設(shè)中還含有一些隱含條件,如果稍加留意,充分挖搔,就能避免復(fù)雜的分類討論,從而簡化解答過程,挖掘求解問題中潛在的特殊性和簡單性,盡可能消除“討論因素”,回避分類討論.在本題中若沒有注意到隱含條件,不在大處著眼,很容易想到分3種情況討論區(qū)間與對稱軸直線的位置關(guān)系,而實際上,區(qū)間在對稱軸的右邊是可確定的,所以深挖隱含條件可避免討論.【解析】(1)為偶函數(shù),等價于.又在上遞減,,,由此解得的取值范圍為.(2),因此區(qū)間必定包含在中,,即,因此區(qū)間為函數(shù)的減區(qū)間,且,是方程,即的兩個解,解得,,.【例4】已知一條曲線在軸右邊,上每一點到點的距離減去它到軸距離的差是1.(1)求曲線的方程;(2)是否存在正數(shù),對于過點且與曲線有兩個交點的任一直線,都有?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.【分析】當直線過一定點,很容易想到直線方程為點斜式或斜截式,從而忽略斜率不存在的情況,若從題設(shè)中可以判定直線的斜率不可能為零時,則可將直線方程設(shè)為,這樣,不僅避免或簡化了討論的步驟,還可以大大減少計算量,從而提高解題速度,也可以說這是一種整體考慮的解題策略,直線方程中包含了斜率存在與不存在的情況.【解析】（1）由題意知上每一點到點的距離等于到直線的距離,根據(jù)拋物線的定義,可得曲線的方程為.（2）顯然,過點的直線存在垂直于軸的情況,但又不含垂直于軸的情況,因此為了避免分類,可設(shè)直線方程為,并設(shè)兩點的坐標分別為,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立,消去