【DOC】-3.4總體分布的假設(shè)檢驗

3.4總體分布的假設(shè)檢驗

3.4母體分布的假設(shè)檢驗

分布的假設(shè)檢驗：對母體的分布作某項假設(shè)，再從母體上抽取子樣，用以檢驗該假設(shè)應予接受還是拒絕。

檢驗母體的分布為某個完全已知的分分類知類型，但有k個未檢驗母體的分布為某已

2檢驗方法有多種，這里只介紹常用的檢

驗法。

（1）假設(shè)母體的分布已知，且是只有有限多項的離散分布

①在母體上作假設(shè)H0:P(Ai)pi，i1,2,,l.

其中A1,A2,,Al是一個完備事件組，pi是已知數(shù)。

②從母體抽取容量為n50的大子樣，得Ai

min.發(fā)生的頻數(shù)為mi，i1,2,,l，其中i1l

③計算理論頻數(shù)：由于P(Ai)pi，則在n次

獨立重復試驗中，Ai發(fā)生的次數(shù)Yi~B(n,pi)，從而理論頻數(shù)E(Yi)npi，i1,2,,l，即有

④檢驗統(tǒng)計量：構(gòu)造mi對npi的偏差的加權(quán)平方和

1

(minpi)2

（3.5.1）npi1i

2

l

由K.Pearson定理知：（3.5.1）式中的

~(l1)，于是取大子樣時，檢驗統(tǒng)計量

H02n

2

~(l1)

H0

2

2

近似

2

⑤拒絕域：由的意義知，在的值較小

時應接受H0，故給定顯著水平，構(gòu)造小概率事件

P{(l1)}

2

2

2

取拒絕域為

2

W{(x1,x2,,xn)2(l1)}

⑥決策：當抽樣結(jié)果是(x1,x2,,xn)W時，

拒絕H0，認為母體分布與H0中的分布有顯著差異；否則接受H0，認為無顯著差異.

檢驗一顆骰子的六個面是否勻

稱（0.05）.

解：記事件Ai為“擲骰子一次，結(jié)果出現(xiàn)點數(shù)i”,i1,2,,6.

1

對一個均勻的骰子應有：P(Ai)6，i1,2,,6.

1

①作假設(shè)H0:P(Ai)pi6，i1,2,,6.

②從母體抽取容量為n120的子樣后，得大子樣列表：

③檢驗統(tǒng)計量

近似(mnp)i2i~2(l1)H0npii162

拒絕域為

W{(x1,x2,,x120)(l1)}2(mnp)2ii8.1，④這時，npii1622

2(l1)(5)11.07,從而2(l1)，故應接22

0.05

受H0，即認為骰子的六個面是勻稱的。

（2）檢驗母體X的分布形式已知的假設(shè)

①在母體上作假設(shè)H0:F(x)F0(x;1,2,,k)，其中1,2,,k為k個未知參數(shù)。

②從母體抽取容量為n50的大子樣，求出1,2,,k的最大似然估計值1,2,,k，則F(x)F0(x;1,2,,k)成為已知函數(shù).

③分組求理論頻數(shù)，構(gòu)造大子樣列表選分點a0a1a2al，（可以是

a0,al），將子樣分為l組：

Ai{Xi(ai1,ai]}，i1,2,,l.則：

piP(Ai)P(ai1Xiai)F(ai)F(ai1)F(ai;1,2,,k)F(ai1;1,2,,k),i1,2,,

于是有下表：

④檢驗統(tǒng)計量：構(gòu)造mi對npi的偏差的加權(quán)平方和

12

(minpi)

（3.5.2）npi1i

2

l

~(lk1)定理：（3.5.2）式中的.H

2

n

2

k是未知參數(shù)的個數(shù)，l是子樣組數(shù)，（注：

當k0時此定理即K.Pearson定理）

于是取大子樣時，檢驗統(tǒng)計量

~(lk1)

H0

2

近似

2

⑤拒絕域為

W{(x1,x2,,xn)(lk1)}22

⑥決策：當抽樣結(jié)果是(x1,x2,,xn)W時，拒絕H0，認為母體分布函數(shù)與F0(x)有顯著差異；否則接受H0，認為無顯著差異.

注①要用大子樣，n50；

②要求理論頻數(shù)npi5，i1,2,,l，否則進行組的合并；

③取組數(shù)l7~14，但為了保證npi5，可使l7；

2④需要并組時，(lk1)中的l是并組

后的組數(shù)。

例3.4.2在某細紗機上進行斷紗率測定，試驗錠子總數(shù)為440個，測得各錠子的斷紗次數(shù)，記錄如下：

試檢驗各錠子的斷紗數(shù)X是否服從泊松

分布（0.05）？解：①作假設(shè)H0:p(Xi)i!e，0，未知，i0,1,2,

②泊松分布中參數(shù)的最大似然估計為

1l*xmixi0.664ni1i

③

0.664i

0.6640.664i

npi440e226.597,i0,1,2,,8i!i!，于是有

④并組后l4,k1,lk12，(minpi)2~(2)檢驗統(tǒng)計量近似npii1242H0

拒絕域為W{(x1,x2,,x440)(2)}⑤

222這2

0.05里，2233.0942，(lk1)(2)5.991，(lk1).

故應拒絕H0，即認為各錠的斷紗數(shù)X不服從泊松分布（認為各錠的斷紗數(shù)X的分布與泊松分布有顯著差異）。

03.4.3從某批零件中隨機抽取25個，測

得直徑（單位:cm）如下表，試檢驗零件直徑X是否服從正態(tài)分布（0.05）？

2,解：①作假設(shè)H0:X~N(,)，（其中未2

知）②最大似然估計為x17.000，2Sn7.1272.6702，2

即假設(shè)H0:X~N(17.000,2.670)，亦即：X17.000~N(0,1)2.6702

③將n250的子樣分組（如下表），其中事件Ai(ai1,ai]的概率

piP(Ai)P(ai1Xiai)F(ai)F(ai1)

a17.000a17.000()(),i1,2,,6

2.6702.670

④檢驗統(tǒng)計量與拒絕域

l6,k2,lk13，

(minpi)2~(3)，近似npii1262H0

W{(x1,x2,,x250)(3)}22

⑤給定0.05，(3)7.815，0.596，2

22從而(3)，故應接受H0，即認為此母體服2

從正態(tài)分布。

補充：獨立性的檢驗2

問題:設(shè)變量A有c類A1,A2,,Ac；變量B有r類B1,B2,,Br,做大子樣(容量為n50)試驗，記(Bi,Aj)出現(xiàn)的頻數(shù)為nij，其中n

i1j1rcijn,檢驗兩變量A與B是否獨立。

2方法：列聯(lián)表——檢驗

1.作假設(shè)

H0:兩變量相互獨立H1:兩變量不獨立。

2.列聯(lián)表（整理試驗所獲數(shù)據(jù)：實際頻數(shù)）

，

3.求期望頻數(shù)（理論頻數(shù)）H0當成立時

大子樣時

P(BiAj)P(Bi)P(Aj)

ninj

nn

，故期望頻

數(shù)為

eijnP(BiAj)

大子樣時

ninjn

第i行頻數(shù)合計第j列頻

子樣容量

4.檢驗統(tǒng)計量及拒絕域構(gòu)造nij對eij的偏差的加權(quán)平方和

2

i1j1近似H0

rc

(nijeij)eij

2

則當n充分大（大子樣）時

~((r1)(c1))

22由的意義知，在的值較小時應接受

22

H0，故給定顯著水平

2

2

，構(gòu)造小概率事件

P{((r1)(c1))}

取拒絕域為

W:((r1)(c1))

2

2

例3.4.4某機構(gòu)欲對個人收入與學歷的

關(guān)系進行研究，為此將收入分為3個水平：高收入、中等收入、低收入；將學歷分為3個層次：高中及以下、大學、研究生，現(xiàn)有500個人的調(diào)查資料（見下表）是在0.01下檢驗個人收入與學歷是否有關(guān)。

解:（1）作假設(shè)

H0:收入與學歷無關(guān)（獨立）.

（2）計算行列合計及期望頻數(shù)，建立聯(lián)表

行的合計：各收入水平的頻數(shù)

ninij,i1,2,3

j13

列的合計：各學歷層次的頻數(shù)

nj

nij,j1,2,3

i13

期望頻數(shù)：eijn,i,j1,2,3

ninj

注意到：表中期望頻數(shù)都大于5，故無須

合并行或列。

（3）檢驗統(tǒng)計量及拒絕域

2

i1j13

3

(nijeij)2

eij

~(4)，W:22(4)H0

近似

2

2

（4）結(jié)論：這時138.21，0.01，

22

(4)，故應拒絕H0，認為(4)12.277，2

收入與學歷有