第一課時等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式

4．3等比數(shù)列4．3.1等比數(shù)列的概念1.通過生活中的實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義.2.掌握等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用.3.通過掌握等比數(shù)列的定義及公式的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).通過對等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).第一課時等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式知識點(diǎn)一等比數(shù)列的概念(一)教材梳理填空1．等比數(shù)列的定義

一般地，如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于

，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的

，通常用字母q表示(顯然q≠0)． [微思考]

(1)你能根據(jù)等比數(shù)列的定義寫出它的數(shù)學(xué)表達(dá)式嗎？同一個常數(shù)公比 (2)為什么等比數(shù)列的各項(xiàng)和公比q均不能為0?

提示：由于等比數(shù)列的每一項(xiàng)都可能作分母，故每一項(xiàng)均不能為0，因此q也不能為0.2．等比中項(xiàng)

如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成

，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．此時，G2＝ab. [微思考]

當(dāng)G2＝ab時，G一定是a，b的等比中項(xiàng)嗎？

提示：不一定，如數(shù)列0,0,5就不是等比數(shù)列．等比數(shù)列(二)基本知能小試1．判斷正誤(1)等比數(shù)列中至少含有三項(xiàng)．

(

)(2)等比數(shù)列每相鄰兩項(xiàng)的比都相同．

(

)(3)若一個數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比為常數(shù)，則該數(shù)列為等比數(shù)列．

(

)(4)任何兩個數(shù)都有等比中項(xiàng)．

(

)(5)若G2＝ab，則G一定是a，b的等比中項(xiàng)．

(

)(6)常數(shù)列一定為等比數(shù)列．

(

)答案：(1)√

(2)√

(3)×

(4)×

(5)×

(6)×3．(多選)已知a是1,2的等差中項(xiàng)，b是－1，－16的等比中項(xiàng)，則ab等于

(

)A．6 B．－6C．－12 D．124．若數(shù)列x，x2，x3，x4，…為等比數(shù)列，則x應(yīng)滿足的條件是________．答案：x≠0知識點(diǎn)二等比數(shù)列的通項(xiàng)公式(一)教材梳理填空已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q(q≠0)，則通項(xiàng)公式為：an＝____.[微思考]你能根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，說出等比數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系嗎？a1qn(二)基本知能小試1．判斷正誤(1)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1＝1，公比為2，則an＝2n－1. (

)(2)數(shù)列a，a3，a5，a7，…的通項(xiàng)公式為an＝a2n－1. (

)答案：(1)√

(2)×3．若{an}為等比數(shù)列，且a3＋a4＝4，a2＝2，則公比q＝______.[典例1]

在等比數(shù)列{an}中，(1)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；(2)a4＝2，a7＝8，求an；(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.[方法技巧]等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法(1)根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a1，q的方程組，求出a1，q后再求an，這是常規(guī)方法．(2)充分利用各項(xiàng)之間的關(guān)系，直接求出q后，再求a1，最后求an，這種方法帶有一定的技巧性，能簡化運(yùn)算．

[對點(diǎn)練清]1．已知{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，則log3a2020等于

(

)A．2017 B．2018C．2019 D．2020解析：由已知可得a1＝1，q＝3，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝a1·qn－1＝3n－1，則log3a2020＝log332019＝2019.答案：C

2．若{an}為等比數(shù)列，且2a4＝a6－a5，則公比是

(

)A．0 B．1或－2C．－1或2 D．－1或－2解析：設(shè)首項(xiàng)為a1，公比為q，顯然a1q≠0.由已知得2a1q3＝a1q5－a1q4，即2＝q2－q，解得q＝－1或q＝2.答案：C

3．在首項(xiàng)a1＝1，公比q＝2的等比數(shù)列{an}中，當(dāng)an＝64時，項(xiàng)數(shù)n等于(

)A．4 B．5C．6 D．7解析：因?yàn)閍n＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7.答案：D

題型二等比中項(xiàng)

[學(xué)透用活][典例2]等比數(shù)列{an}的前三項(xiàng)之和為168，a2－a5＝42，求a5與a7的等比中項(xiàng)．[對點(diǎn)練清]1．如果－1，a，b，c，－9成等比數(shù)列，那么

(

)A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9解析：因?yàn)閎2＝(－1)×(－9)＝9，且b與首項(xiàng)－1同號，所以b＝－3，且a，c必同號．所以ac＝b2＝9.答案：B

2．已知等比數(shù)列{an}的前三項(xiàng)依次為a－1，a＋1，a＋4，則an＝________.題型三等比數(shù)列的判定與證明

[學(xué)透用活][典例3]在數(shù)列{an}中，若an＞0，且an＋1＝2an＋3(n∈N*)．證明：數(shù)列{an＋3}是等比數(shù)列．法二：等比中項(xiàng)法∵an＞0，∴an＋3＞0.又∵an＋1＝2an＋3，∴an＋2＝4an＋9.∴(an＋2＋3)(an＋3)＝(4an＋12)(an＋3)＝(2an＋6)2＝(an＋1＋3)2.即an＋3，an＋1＋3，an＋2＋3成等比數(shù)列，∴數(shù)列{an＋3}是等比數(shù)列．2．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2an＋1，求證：{an}是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式．三、創(chuàng)新性——強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維3．在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“擴(kuò)展”．將數(shù)列1,2進(jìn)行“擴(kuò)展”，第一次得到1,2,2；第二次得到數(shù)列1,2,2,4,2；…；第n次“擴(kuò)展”后得到的數(shù)列為