普通高中新課程中的數(shù)學(xué)史

普通高中新課程中的數(shù)學(xué)史第一頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六數(shù)學(xué)史專題教學(xué)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)史專題教學(xué)設(shè)計(jì)過程第二頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六數(shù)學(xué)史專題教學(xué)設(shè)計(jì)可接受性：數(shù)學(xué)史專題的內(nèi)容應(yīng)符合學(xué)生的認(rèn)知水平；實(shí)用性：數(shù)學(xué)史專題的教學(xué)應(yīng)與必修課相結(jié)合，或?yàn)楸匦拚n服務(wù)，或?yàn)楸匦拚n內(nèi)容之拓展和深入；科學(xué)性：數(shù)學(xué)史專題的教學(xué)內(nèi)容應(yīng)符合史實(shí)，教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)符合課程標(biāo)準(zhǔn)及有關(guān)教學(xué)理論；可操作性：數(shù)學(xué)史專題的內(nèi)容應(yīng)為教師所易于接受，教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)為教師所易于操作。第三頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例1從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)形數(shù)（figurednumbers）理論可以上溯到畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras,569B.C.～500B.C.）本人。用一點(diǎn)（或一個(gè)小石子）代表1，兩點(diǎn)（或兩個(gè)小石子）代表2，三點(diǎn)（或三個(gè)小石子）代表3，等等，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在世界數(shù)學(xué)史上首次建立了數(shù)和形之間的聯(lián)系。早期畢達(dá)哥拉斯學(xué)派似乎已經(jīng)熟悉利用小石子或點(diǎn)來構(gòu)造三角形數(shù)和正方形數(shù)；晚期的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成員尼可麥丘（Nicomachus,60?～120?）以及稍后的泰恩（Theon,約2世紀(jì)上半葉）則討論了各種平面數(shù)（包括三角形數(shù)、正方形數(shù)、長(zhǎng)方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)等等）和立體數(shù)（包括立方數(shù)、棱錐數(shù)等等）。第四頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例1從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)問題1（“歸納－猜想－論證”第1課時(shí)

）

依次計(jì)算數(shù)列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…的前四項(xiàng)值，由此猜測(cè)的結(jié)果，并加以證明。第五頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例1從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)正方形數(shù)第六頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例1從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)古希臘數(shù)學(xué)家Iamblichus（公元4世紀(jì)）在研究Nicomachus《算術(shù)引論》一書時(shí)發(fā)現(xiàn)

=n2

Iamblichus或許正是從正方形數(shù)的構(gòu)造中發(fā)現(xiàn)上述結(jié)論的。第七頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例1從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)問題2（2006廣東數(shù)學(xué)高考題）在德國(guó)不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場(chǎng)櫥窗里用同樣的乒乓球成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第一堆只有一層，就一個(gè)球，第2、3、4堆最底層（第一層）分別按圖所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n

堆第n

層就放一個(gè)乒乓球，以f(n)表示第n

堆的乒乓球總數(shù)，則f(3)=______，f(n)=______。第八頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例1從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)后期畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)家尼可麥丘在《算術(shù)引論》中將多邊形數(shù)推廣到立體數(shù)。前四個(gè)三棱錐數(shù)為

11+31+3+61+3+6+10

第九頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例1從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)第n個(gè)三棱錐數(shù)為（Nicomachus,1世紀(jì)）第十頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例1從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)前四個(gè)四棱錐數(shù)為

11+41+4+91+4+9=16第n個(gè)四棱錐數(shù)為第十一頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例2等比數(shù)列求和公式萊因得紙草書（約公元前1650年）第十二頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例2等比數(shù)列求和公式萊因得紙草上的等比數(shù)列問題

第十三頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例2等比數(shù)列求和公式第十四頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例2等比數(shù)列求和公式歐幾里得《幾何原本》（公元前3世紀(jì)）第9卷命題35第十五頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例2等比數(shù)列求和公式第十六頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例3二次冪和公式巴比論：泥版數(shù)學(xué)文獻(xiàn)(約公元前3000年)

但我們無法判斷古代巴比倫人是否知道一般公式。第十七頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例3二次冪和公式阿基米德（Archimedes,前287-212）

《論劈錐曲面體與球體》命題2引理；

《論螺線》命題10第十八頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例3二次冪和公式阿基米德第十九頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例3二次冪和公式第二十頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例3二次冪和公式………第二十一頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例3二次冪和公式第二十二頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例3二次冪和公式…………第二十三頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例3二次冪和公式第二十四頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例3二次冪和公式第二十五頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例3二次冪和公式第二十六頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例3二次冪和公式第二十七頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例3二次冪和公式阿基米德杠桿原理的啟示——物理視角下的二次冪和

Fehr（1963）：

“伏爾泰曾說過：如果沒有上帝，那就有必要?jiǎng)?chuàng)造一個(gè)出來。同樣，我們也可以斷言：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，如果沒有該學(xué)科的物理應(yīng)用，那就有必要?jiǎng)?chuàng)造出一些來！”

第二十八頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例3二次冪和公式阿基米德原理（尼加拉瓜，1971）第二十九頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例3二次冪和公式第三十頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例3二次冪和公式第三十一頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例3二次冪和公式阿爾·海賽姆（Al-Haitham,965～1039）：10-11世紀(jì)波斯數(shù)學(xué)家第三十二頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例3二次冪和公式第三十三頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例3二次冪和公式吉爾森（R.LeviBenGershon,1288-1344）《計(jì)算者之書》(MaasehHoshev)

第三十四頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例3二次冪和公式邊長(zhǎng)分別為1、2、3、…n的n個(gè)正方形面積之和即為二次冪和第三十五頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例3二次冪和公式吉爾森公式的幾何圖示：擴(kuò)縮法第三十六頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例3二次冪和公式第三十七頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例3二次冪和公式帕斯卡（B.Pascal,1623-1662）

第三十八頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例3二次冪和公式分別令r=1，2，…，n，將個(gè)等式相加即得

第三十九頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例3二次冪和公式三角形法第四十頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例3二次冪和公式第四十一頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例3二次冪和公式第四十二頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例3二次冪和公式第四十三頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例3二次冪和公式體積法第四十四頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例3二次冪和公式第四十五頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例4球體積公式阿基米德第四十六頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例4球體積公式第四十七頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例4球體積公式

AH:AT=圓柱截面:（圓錐截面＋球截面）

(圓錐截面＋球截面)=圓柱截面

(圓錐AEF＋球)=圓柱EG，

第四十八頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例4球體積公式球=4圓錐ABD

第四十九頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例4球體積公式第五十頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例4球體積公式球外切圓柱之表面積第五十一頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例4球體積公式第五十二頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例4球體積公式劉徽（3世紀(jì)）與祖暅（5世紀(jì)）牟合方蓋第五十三頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例4球體積公式中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的代表人物——魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽第五十四頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例4球體積公式利用3DSMAX軟件制作的牟合方蓋

第五十五頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例4球體積公式

八分之一合蓋的截面

第五十六頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例4球體積公式內(nèi)棋（八分之一合蓋）第五十七頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例4球體積公式外棋（“立方之內(nèi)、合蓋之外”部分）

第五十八頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例4球體積公式倒立的陽(yáng)馬第五十九頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例4球體積公式開普勒（J.Kepler，1571～1630）

《測(cè)量酒桶體積的新科學(xué)》（1615）將球體積看成是無窮多個(gè)小棱錐的體積之和，這些棱錐的頂點(diǎn)在球心，底在球面上，于是由棱錐體積公式可得球積公式

第六十頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例4球體積公式開普勒第六十一頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例4球體積公式卡瓦列利（B.Cavalieri，1598～1647）《連續(xù)體不可分量的幾何學(xué)》

（1629）第六十二頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例4球體積公式圓柱截面－圓錐截面＝半球截面

圓柱體積－圓錐體積＝半球體積

第六十三頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例4球體積公式松永良弼（1690～1744）：《算法集成》

第六十四頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例4球體積公式第六十五頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例5割補(bǔ)法與出入相補(bǔ)原理問題1

如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，AA1，BB1，CC1均垂直于平面ABC，，，，求幾何體的體積。第六十六頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例5割補(bǔ)法與出入相補(bǔ)原理問題2

如圖，已知多面體ABC-DEFG中，AB、AC、AD兩兩垂直，平面ABC//平面DEFG，平面BEF//平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，求該多面體的體積。

第六十七頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例5割補(bǔ)法與出入相補(bǔ)原理第六十八頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例5割補(bǔ)法與出入相補(bǔ)原理第六十九頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例5割補(bǔ)法與出入相補(bǔ)原理第七十頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例5割補(bǔ)法與出入相補(bǔ)原理第七十一頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例5割補(bǔ)法與出入相補(bǔ)原理第七十二頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例5割補(bǔ)法與出入相補(bǔ)原理劉徽原理第七十三頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例5割補(bǔ)法與出入相補(bǔ)原理第七十四頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例5割補(bǔ)法與出入相補(bǔ)原理第七十五頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例6費(fèi)馬與笛卡兒研究的軌跡問題問題1（費(fèi)馬《平面與立體軌跡引論》）動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)M和N距離的平方和與三角形PMN的面積之比等于給定比，求點(diǎn)P的軌跡。

如圖3，設(shè)P為滿足已知條件的任一點(diǎn)，PZ為MN的垂線，Z為垂足。MN=a，MZ=x，ZP=y，則由已知條件得，其中k為常數(shù)。即第七十六頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例6費(fèi)馬與笛卡兒研究的軌跡問題即。其中k為常數(shù)。這就是Z沿MN運(yùn)動(dòng)時(shí)，變線段ZP的另一端點(diǎn)P所畫出的曲線的方程。

那么，這是什么曲線呢？

第七十七頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例6費(fèi)馬與笛卡兒研究的軌跡問題取MN的中點(diǎn)A，過A作MN的垂線段AB，使得4AB/a=k。以AB為直徑作半圓ACB，在其上取點(diǎn)C，使得AC=AN。以B為圓心、BC為半徑作圓，在該圓上任取一點(diǎn)P，則PM和PN的平方和與三角形PMN面積之比等于給定比。第七十八頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例6費(fèi)馬與笛卡兒研究的軌跡問題這里，費(fèi)馬給出了方程所確定的軌跡的作圖法，該軌跡是一個(gè)圓。費(fèi)馬的方法相當(dāng)于將方程化成第七十九頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例6費(fèi)馬與笛卡兒研究的軌跡問題問題2（帕普斯三線問題之特殊情形）設(shè)給定3條直線AB、AD、EF，其中直線AB與EF互相平行

，AD垂直于AB，動(dòng)點(diǎn)C到3條已知直線的距離CB、CD、CF滿足，求C點(diǎn)軌跡。

第八十頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例6費(fèi)馬與笛卡兒研究的軌跡問題第八十一頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例6費(fèi)馬與笛卡兒研究的軌跡問題問題3（帕普斯四線問題之特殊情形）

設(shè)給定4條直線，其中AB和EF平行，AD和GH平行，且AB與AD垂直，動(dòng)點(diǎn)C且到它們的距離為CB、CD、CF和CH，滿足CB·CF=CD·CH，求C點(diǎn)軌跡。

第八十二頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例6費(fèi)馬與笛卡兒研究的軌跡問題第八十三頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例7歷史上的函數(shù)概念函數(shù)概念應(yīng)該成為中學(xué)數(shù)學(xué)的基石

——F.Klein（1849-1925）從伽利略到狄利克雷，數(shù)學(xué)家一直絞盡腦汁去理解函數(shù)的概念，但現(xiàn)在卻由定義域、值域和序偶（第一個(gè)數(shù)相同時(shí)第二個(gè)數(shù)也必須相同）來玩弄把戲。

——M.Kline（1958）

第八十四頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例7歷史上的函數(shù)概念

20世紀(jì)50和60年代函數(shù)的形式化定義是一個(gè)大錯(cuò)誤，我們可以將函數(shù)說成是法則、機(jī)器，但決不能把它說成是序偶的集合！

——Thorpe中學(xué)階段應(yīng)該教簡(jiǎn)單易懂的函數(shù)概念。

——M.A.Malik（1980）第八十五頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例7歷史上的函數(shù)概念較之函數(shù)的現(xiàn)代定義，[職前]教師對(duì)函數(shù)的理解要狹隘得多、原始得多。既然如此，我們還能期望他們按照現(xiàn)代課本上出現(xiàn)的函數(shù)的現(xiàn)代定義來教嗎？參與者對(duì)函數(shù)的不完善的理解是有問題的，這又會(huì)導(dǎo)致他們學(xué)生的函數(shù)定義與表象之間的不一致性，使學(xué)生的函數(shù)概念表象與18世紀(jì)的表象相類似……——R.Even

第八十六頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例7歷史上的函數(shù)概念約翰·伯努利（1718）：一個(gè)變量的函數(shù)是由該變量和一些常數(shù)以任何方式組成的量。JohannBernoulli,1667-1748第八十七頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例7歷史上的函數(shù)概念歐拉（1748）：一個(gè)變量的函數(shù)是由該變量和一些數(shù)或常量以任何方式組成的解析式。LeonhardEuler,1707-1783第八十八頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例7歷史上的函數(shù)概念歐拉（1755）：

如果某些量依賴于另一些量，當(dāng)后面這些量變化時(shí)，前面這些變量也隨之變化，則前面的量稱為后面的量的函數(shù)。LeonhardEuler,1707-1783第八十九頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例7歷史上的函數(shù)概念孔多塞：

設(shè)有若干量x，y，z，…，

F，對(duì)于x，y，z，…的每一個(gè)確定的值，F(xiàn)有一個(gè)或多個(gè)確定的值與之對(duì)應(yīng)，則稱F為x，y，z，…的一個(gè)函數(shù)。A.N.C.Condorcet,1743-1794第九十頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例7歷史上的函數(shù)概念拉克洛瓦（S.F.Lacroix,1765-1843）（1797）：

任何一個(gè)量，如果它的值依賴于一個(gè)或多個(gè)其他的量，那么它就稱為這些量的函數(shù)，不管我們知不知道這種依賴關(guān)系是通過什么運(yùn)算實(shí)現(xiàn)的。

第九十一頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例7歷史上的函數(shù)概念拉格朗日（1797）：所謂一個(gè)或幾個(gè)量的函數(shù)，是指任意一個(gè)用于運(yùn)算的表達(dá)式，這些量以任意方式出現(xiàn)于表達(dá)式中，表達(dá)式中可以有（也可以沒有）其它一些具有給定的不變值的量，而函數(shù)的量可以取所有可能的值。J.L.Lagrange,1736-1813第九十二頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例7歷史上的函數(shù)概念傅立葉（1822）：函數(shù)f(x)代表一系列的值或縱坐標(biāo)，它們中的每一個(gè)都是任意的。對(duì)于無限多個(gè)給定的橫坐標(biāo)x的值，有同樣多個(gè)縱坐標(biāo)

f(x)的值。所有的值要么為正數(shù)，要么為負(fù)數(shù)，要么是零。無需假設(shè)這些縱坐標(biāo)滿足同一個(gè)法則；它們可以任何方式接續(xù)，每一個(gè)都好象是單個(gè)的量。

J.Fourier,1768-1830第九十三頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例7歷史上的函數(shù)概念柯西《分析教程》（1821）：當(dāng)變量之間這樣聯(lián)系起來，即給定了這些變量中的一個(gè)值，就可以決定所有其它變量的值的時(shí)候，人們通常想像這些量是用其中的一個(gè)來表達(dá)的，這時(shí)這個(gè)量就被稱為自變量；而用自變量表示的其它量就叫做該變量的函數(shù)。A.

L.Cauchy,1789-1857第九十四頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例7歷史上的函數(shù)概念羅巴切夫斯基（1834）：

x的函數(shù)是這樣的一個(gè)數(shù)，它對(duì)于每個(gè)x都有確定的值，并且隨著x的變化而逐漸變化，函數(shù)值或者由解析式給出，或者由一個(gè)條件給出，這個(gè)條件提供了一種檢驗(yàn)所有的數(shù)并選擇其中之一的方法，或者雖然依賴關(guān)系存在但可以是未知的。Lobachevsky,1792-1856第九十五頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例7歷史上的函數(shù)概念狄里克雷（1837）設(shè)a、b是兩個(gè)確定的值，x是可取a、b之間一切值的變量。如果對(duì)于每一個(gè)x，有惟一有限的y值與它對(duì)應(yīng)，使得當(dāng)x從a到b連續(xù)變化時(shí)，也逐漸變化，那么y就稱為該區(qū)間上

x的一個(gè)連續(xù)函數(shù)。在整個(gè)區(qū)間上，y無需按照同一種規(guī)律依賴于x，也無需單單考慮能用數(shù)學(xué)運(yùn)算來表示的關(guān)系。L.Dirichlet,1805-1859第九十六頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例7歷史上的函數(shù)概念斯托克斯（1847）函數(shù)是這樣一個(gè)量，它的值以任意方式依賴于構(gòu)成它的一個(gè)或幾個(gè)變量的值。因此，函數(shù)不必通過任何代數(shù)符號(hào)的組合來表達(dá)，甚至在變量的很近的界限之間也是如此。G.G.Stokes,1819-1903第九十七頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例7歷史上的函數(shù)概念黎曼（1851）：假定z是一個(gè)變量，它可以逐次取所有可能的實(shí)數(shù)值。若對(duì)它的每一個(gè)值，都有不定量w的惟一的值與之相對(duì)應(yīng)，則稱w為z的函數(shù)。B.Riemann,1826-1866第九十八頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例7歷史上的函數(shù)概念布爾(1854)：

任何包含符號(hào)x的代數(shù)式稱為x的函數(shù)，并用一般的簡(jiǎn)記符號(hào)f(x)來表示。G.Boole,1815-1864第九十九頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例7歷史上的函數(shù)概念漢克爾（1870）：

x的一個(gè)函數(shù)被稱為f(x)，如果對(duì)于某區(qū)間內(nèi)x的每一個(gè)值，f(x)都有的惟一確定的值與之相關(guān)聯(lián)。此外，f(x)是通過量的解析運(yùn)算還是通過別的方式確定，根本無關(guān)緊要。f(x)的值只須處處惟一確定。H.Hankel,1839-1873第一百頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例7歷史上的函數(shù)概念戴德金(1887)：函數(shù)就是系統(tǒng)S的一個(gè)映射，對(duì)于S中每一個(gè)確定的元素s，按照法則，都有一個(gè)確定的對(duì)象與之相關(guān)聯(lián)，這個(gè)對(duì)象稱為s的象，以φ(s)將表示；也可以說，φ(s)是由s通過映射產(chǎn)生的，即s通過映射變換成φ(s)。R.Dedekind,1831-1916第一百零一頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例7歷史上的函數(shù)概念坦納里(1904）：考慮不同數(shù)的集合(X)，將這些數(shù)看成是x的取值，于是x就是一個(gè)變量。假設(shè)x的每一個(gè)值，即集合(X)的每一個(gè)元素，對(duì)應(yīng)于一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)可以看成是字母y的取值；我們說y是由該集合(X)所確定的x的函數(shù)：如果定義了對(duì)應(yīng)關(guān)系，就定義了該集合上的一個(gè)函數(shù)。y所取的不同值的集合(Y)是由同一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系確定的：我們說b是(Y)的一個(gè)元素，即(X)的一個(gè)元素a與數(shù)b對(duì)應(yīng)。(X)的每一個(gè)元素對(duì)應(yīng)于(Y)的一個(gè)元素；反之亦然；但在前面的定義中，并沒有排除(X)的幾個(gè)不同元素對(duì)應(yīng)于(Y)的同一個(gè)元素，換言之，(X)和Y)之間的對(duì)應(yīng)不一定是完全的。J.Tannery,1848-1910第一百零二頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例7歷史上的函數(shù)概念維布倫：若在變量y的集合與另一個(gè)變量x的集合之間有這樣的關(guān)系成立，即對(duì)x的每一個(gè)值，有完全確定的y值與之對(duì)應(yīng)，則稱變量y是變量x的函數(shù)。O.Veblen,1880-1960第一百零三頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例7歷史上的函數(shù)概念皮亞諾（1911）：函數(shù)是這樣一種關(guān)系u，對(duì)于任意的x，y和z，如果第二個(gè)元素相同的兩個(gè)序偶y；x和z；x滿足這個(gè)關(guān)系，那么必有y=x。G.Peano,1858-1932第一百零四頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例7歷史上的函數(shù)概念豪斯道夫（1914）：設(shè)P是序偶p=(a,b)組成的一個(gè)集合，對(duì)于每一個(gè)，稱b為a的象，在特殊情況下，每個(gè)a只有惟一的象b，則被此a決定且與a相關(guān)的元b稱為a的函數(shù)，記為。F.Hausdorff,1868-1942第一百零五頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例7歷史上的函數(shù)概念古爾薩（1923）：函數(shù)這個(gè)詞的現(xiàn)代定義是柯西和黎曼給出的。如果x的一個(gè)值與y

的一個(gè)值相對(duì)應(yīng)，那么我們就說y是x的一個(gè)函數(shù)。我們用方程y=f(x)來表示。E.Goursat,1858-1936第一百零六頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例7歷史上的函數(shù)概念布爾巴基學(xué)派《集合論》（1939）：

設(shè)E和F是兩個(gè)集合，它們可以不同，也可以相同。E中的一個(gè)變?cè)獂和F中的變?cè)獃之間的一個(gè)關(guān)系稱為一個(gè)函數(shù)關(guān)系，如果對(duì)每一個(gè)x∈E，都存在惟一的y∈F，它滿足與x的給定關(guān)系。我們將聯(lián)系每一個(gè)元素x∈E和元素y∈F的運(yùn)算稱為函數(shù)；y稱為x處的函數(shù)值，函數(shù)是由給定的關(guān)系決定的。兩個(gè)等價(jià)的函數(shù)關(guān)系確定了同一個(gè)函數(shù)。第一百零七頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例7歷史上的函數(shù)概念布爾巴基學(xué)派《集合論》（1939）：

定義集合X與Y的積集X

Y如下：X

Y={(x,y)|xX,yY}。積集X

Y中的一子集R稱為X與Y的一個(gè)關(guān)系，若(x,y)R，則稱x與y有關(guān)系R，記為xRy，現(xiàn)設(shè)f是x與y的關(guān)系，即f包含于X

Y，如果(x,y)、(x,z)

f，必有y=ｚ，那么稱f為X到Y(jié)的函數(shù)。第一百零八頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例8曲線的切線歐幾里得《幾何原本》圓的切線：與圓相遇、但延長(zhǎng)后不與圓相交的直線。第3卷命題16推論：“過圓的直徑的端點(diǎn)作和它成直角的直線與圓相切?！盓uclid（about325BC-about265BC）第一百零九頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例8曲線的切線阿波羅尼斯《圓錐曲線》

命題32稱：“從圓錐曲線頂點(diǎn)作直線與相應(yīng)縱坐標(biāo)線平行，則該直線與圓錐曲線相切，且在圓錐曲線與該直線之間不能再插入另外的直線。”Apollonius（about262BC-about190BC）第一百一十頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例8曲線的切線命題33－34：圓錐曲線的切線作圖第一百一十一頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例8曲線的切線第一百一十二頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例8曲線的切線第一百一十三頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例8曲線的切線第一百一十四頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例8曲線的切線阿基米德《論螺線》Archimedes（287BC-212BC）第一百一十五頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例8曲線的切線17世紀(jì)數(shù)學(xué)家遇到的三類問題一是光的反射問題。光的反射和折射在17世紀(jì)是一個(gè)十分盛行的研究課題，洛必達(dá)在其《無窮小分析》中列專章加以討論。早在公元1世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家海倫（Heron）就已經(jīng)證明了光的反射定律：光射向平面時(shí)，入射角等于反射角。海倫還將該定律推廣到圓弧的情形，此時(shí)，入射光與反射光與圓弧的切線所成角相等。那么，對(duì)于其他曲線，光又如何反射呢？這就需要確定曲線的切線。

第一百一十六頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例8曲線的切線第一百一十七頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例8曲線的切線二是曲線運(yùn)動(dòng)的速度問題。對(duì)于直線運(yùn)動(dòng)，速度方向與位移方向相同或相反，但如何確定曲線運(yùn)動(dòng)的速度方向呢？這就需要確定曲線的切線。三是曲線的交角問題。曲線的交角是一個(gè)古老的難題。自古希臘以來，人們對(duì)圓弧和直線構(gòu)成的角——牛頭角（圖10中AB弧與AC構(gòu)成的角）和弓形角（圖11中AB與ACB弧所構(gòu)成的角）即有過很多爭(zhēng)議。17世紀(jì)數(shù)學(xué)家遇到的更一般的問題是：如何求兩條相交曲線所構(gòu)成的角呢？這就需要確定曲線在交點(diǎn)處的切線。第一百一十八頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例8曲線的切線笛卡兒：切線問題“是我所知道的、甚至也是我一直想要知道的最有用的、最一般的問題”。

第一百一十九頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例8曲線的切線費(fèi)馬的方法第一百二十頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例8曲線的切線笛卡兒的方法RenéDescartes（1596–1650）第一百二十一頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例8曲線的切線洛必達(dá)《無窮小分析》曲線的切線是曲線的內(nèi)接“無窮邊形”一邊的延長(zhǎng)線。G.L’Hospital（1661-1704）第一百二十二頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例8曲線的切線第一百二十三頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例9數(shù)學(xué)狂怪的作品汪聯(lián)松：《北平晨報(bào)》（1938）吳佑之：《科學(xué)月刊》（1946）楊嘉如：《大陸報(bào)》（1948）華羅庚：《科學(xué)通報(bào)》第三卷第六期（1951）《中國(guó)數(shù)學(xué)雜志》刊登啟事（1952年8月）《數(shù)學(xué)通報(bào)》再次刊登上述啟事（1953年1-2月）

《數(shù)學(xué)通報(bào)》第三次刊登啟事(1957年1月號(hào))—“再告企圖用規(guī)尺三等分角的同志”第一百二十四頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例9數(shù)學(xué)狂怪的作品1852年，德摩根受一位朋友的委托，審查了一位朋友的一個(gè)老鄉(xiāng)所給出的十分恐怖的三等分角作圖法，該作圖法相當(dāng)于：若θ是一個(gè)已知角，則第一百二十五頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例9數(shù)學(xué)狂怪的作品德摩根(A.DeMorgan,1806-1871)第一百二十六頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例9數(shù)學(xué)狂怪的作品一位美國(guó)三等分角者如是說：“掌握科學(xué)知識(shí)的人類怎會(huì)如此愚蠢？任何一位科學(xué)家或數(shù)學(xué)家在他還未開始著手研究手頭的難題時(shí)就說它不可能，這只能說明他能力有限?！钡谝话俣唔?yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例9數(shù)學(xué)狂怪的作品一位美國(guó)三等分者如是說：“我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)代的數(shù)學(xué)權(quán)威們并不試圖去解決這些疑難，卻去寫些闡述不可能證明它們的論文。不鼓勵(lì)這些難題的解法，反而打擊他們，還封他們?yōu)椤窆帧??！泵绹?guó)數(shù)學(xué)家UnderwoodDudley80年代搜集狂怪們的研究“成果”，得三等分角作圖法共兩百余種！第一百二十八頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例9數(shù)學(xué)狂怪的作品1951年，底特律一位82歲高齡的“五好牌”向各個(gè)州的一流大學(xué)、各家著名私人研究機(jī)構(gòu)，還有包括愛因斯坦在內(nèi)的數(shù)學(xué)家，總共一百多處，通報(bào)了他的作圖法！他收到了六十多份答復(fù)，其中最好的是愛因斯坦的：“我收到的信件太多了，盡管我非常想回復(fù)所有的信件，但我實(shí)在是沒有時(shí)間！”

第一百二十九頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例9數(shù)學(xué)狂怪的作品錯(cuò)誤的三等分角法之一（R.J.,1986）：作者聲稱：有50多位數(shù)學(xué)教授（其中許多為博士）評(píng)價(jià)了他的論文，并支持他的證明第一百三十頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例9數(shù)學(xué)狂怪的作品1973年，一位來自杜塞爾多夫的69歲的退休公務(wù)員，聲稱自己在整整40年里，花費(fèi)12,000多小時(shí)，終于找到了這個(gè)作圖法第一百三十一頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例9數(shù)學(xué)狂怪的作品令人眼花繚亂的三等分角作圖法

第一百三十二頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例9數(shù)學(xué)狂怪的作品神秘的三等分角法（K.B.S.,1972）第一百三十三頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例9數(shù)學(xué)狂怪的作品一位美國(guó)大學(xué)校長(zhǎng)的三等分角作圖法（1933）第一百三十四頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例10實(shí)無窮概念研究問題：高中生比較無窮集合時(shí)采用何種策略？是否具有歷史相似性？研究方法：測(cè)試與訪談被試：江蘇省某中學(xué)高二、高三兩個(gè)年級(jí)各一個(gè)班，共94人。他們只具有一些初步的集合和元素的知識(shí)，尚未接觸過無窮集合的知識(shí)，也不曾閱讀過有關(guān)康托爾集合論方面的書籍。第一百三十五頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例10實(shí)無窮概念實(shí)無窮測(cè)試題1、正整數(shù)集{1，2，3，4，5，…}中的元素是否比平方數(shù)集

{1，4，9，16，25，…}中的元素多？

A、是B、否C、不知道

解釋你的答案。2、正整數(shù)集{1，2，3，4，5，…}中的元素是否比偶數(shù)集{2，4，6，8，10，…}中的元素多？

A、是B、否C、不知道

解釋你的答案。第一百三十六頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例10實(shí)無窮概念3、觀察長(zhǎng)度分別為4厘米和6厘米的線段AB和CD，若比較

AB和CD上的點(diǎn)，CD上的點(diǎn)是否比AB上的點(diǎn)更多？

A、是B、否C、不知道

解釋你的答案。

第一百三十七頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例10實(shí)無窮概念

4、再觀察線段AB和CD，連接CA和DB，并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)O，設(shè)P是CD上任意一點(diǎn)，連接PO，交AB于P。CD上的點(diǎn)是否比AB上的點(diǎn)更多？

A、是；B、否；C、不知道

解釋你的答案。第一百三十八頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例10實(shí)無窮概念5、設(shè)，，則集合A和

B是否具有同樣多的元素？

A、是;B、否;C、不知道

解釋你的答案。第一百三十九頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例10實(shí)無窮概念

兩個(gè)集合A和B都滿足：

(1)A和B都是無窮集合；

(2)B是A的真子集；

(3)A和B的元素之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。第一百四十頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例10實(shí)無窮概念情境題次集合A集合B算術(shù)1正整數(shù)集平方數(shù)集2正整數(shù)集偶數(shù)集幾何3線段CD線段AB4線段CD線段AB算術(shù)＋幾何5區(qū)間

[0,2]區(qū)間[0,1]第一百四十一頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例10實(shí)無窮概念研究發(fā)現(xiàn)：學(xué)生比較無窮集合所用的策略

類型1集合A與集合B中的元素個(gè)數(shù)均為無窮，所以元素一樣多。

類型2集合A與集合B的元素都是無窮多，無法比較。

類型3集合B是集合A的真子集，集合A中的元素比集合B中的元素多。

類型4集合A與B之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，兩個(gè)集合中的元素一樣多。第一百四十二頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例10實(shí)無窮概念歷史相似性古希臘G.Galilei(1638)：Dialoguesconcerningtwonewsciences：兩條不相等的線段AB和CD上的點(diǎn)可以構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)；正整數(shù)集和正整數(shù)平方所構(gòu)成的集合之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。伽利略沒能解決部分與整體“相等”的矛盾。他認(rèn)為無窮大量都是一樣的，不能比較大小，即不能將“大于”、“小于”和“等于”這樣的詞用于無窮大量。第一百四十三頁(yè)，共一百五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六案例10實(shí)無窮概念19世紀(jì)，高斯（C.F.Gauss,1777-1855）、柯西（A.L.Cauchy,1789-1857）、魏爾斯特拉斯（K.Wierestra