數(shù)學(xué)建模微分方程的穩(wěn)定性

數(shù)學(xué)建模微分方程的穩(wěn)定性第一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六穩(wěn)定性模型

對象仍是動態(tài)過程，而建模目的是研究時間充分長以后過程的變化趨勢——平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定.

不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性.第二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六1微分方程穩(wěn)定性的理論知識1.1一階微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性1.2線性常系數(shù)微分方程組的平衡點及其穩(wěn)定性第三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六1.1一階微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性一階非線性自治(右端不含t)方程F(x)=0的根x0~微分方程的平衡點設(shè)x(t)是方程的解，若從x0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱x0是方程(1)的穩(wěn)定平衡點.不求x(t),判斷x0穩(wěn)定性的方法——直接法(1)的近似線性方程第四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六1.2線性常系數(shù)微分方程組的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點P0(x0,y0)=(0,0)~代數(shù)方程的根若從P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱P0是微分方程的穩(wěn)定平衡點記系數(shù)矩陣特征方程特征根第五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六線性常系數(shù)微分方程組的平衡點及其穩(wěn)定性特征根平衡點P0(0,0)微分方程一般解形式平衡點P0(0,0)穩(wěn)定平衡點P0(0,0)不穩(wěn)定1,2為負(fù)數(shù)或有負(fù)實部p>0且q>0p<0或q<0第六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六2

捕魚業(yè)的持續(xù)收獲

再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與非再生資源（礦業(yè)等）

再生資源應(yīng)適度開發(fā)——在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益.問題及分析

在捕撈量穩(wěn)定的條件下，如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳?

如果使捕撈量等于自然增長量，漁場魚量將保持不變，則捕撈量穩(wěn)定.背景第七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六產(chǎn)量模型假設(shè)

無捕撈時魚的自然增長服從Logistic規(guī)律.

單位時間捕撈量與漁場魚量成正比.建模

捕撈情況下漁場魚量滿足

不需要求解x(t),只需知道x(t)穩(wěn)定的條件.r~固有增長率,N~最大魚量h(x)=Ex,E~捕撈強度x(t)~漁場魚量第八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六產(chǎn)量模型平衡點穩(wěn)定性判斷x0穩(wěn)定,可得到穩(wěn)定產(chǎn)量x1穩(wěn)定,

漁場干枯E~捕撈強度r~固有增長率第九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六產(chǎn)量模型在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強度使產(chǎn)量最大圖解法P的橫坐標(biāo)x0~平衡點y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的縱坐標(biāo)h~產(chǎn)量產(chǎn)量最大f與h交點Phmx0*=N/2P*y=E*x控制漁場魚量為最大魚量的一半第十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六效益模型假設(shè)

魚銷售價格p

單位捕撈強度費用c

單位時間利潤在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強度使效益最大.穩(wěn)定平衡點求E使R(E)最大漁場魚量收入T=ph(x)=pEx支出S=cE第十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六EsS(E)T(E)0rE捕撈過度

封閉式捕撈追求利潤R(E)最大

開放式捕撈只求利潤R(E)>0R(E)=0時的捕撈強度(臨界強度)Es=2ER臨界強度下的漁場魚量ERE*令=0xs由成本—價格比決定捕撈過度第十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六捕撈過度T(E)0rES(E)Es2Es1S(E)pNEE*pNE/2收入支出利潤臨界強度Es=0

經(jīng)濟學(xué)捕撈過度

生態(tài)學(xué)捕撈過度捕魚業(yè)的持續(xù)收獲在自然增長和捕撈情況的合理假設(shè)下建模.用平衡點穩(wěn)定性分析確定漁場魚量穩(wěn)定條件,討論產(chǎn)量、效益和捕撈過度3個模型.第十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六3

軍備競賽

描述雙方(國家或國家集團)軍備競賽過程.

解釋(預(yù)測)雙方軍備競賽的結(jié)局.假設(shè)1）由于相互不信任，一方軍備越大，另一方軍備增加越快；2）由于經(jīng)濟實力限制，一方軍備越大，對自己軍備增長的制約越大；3）由于相互敵視或領(lǐng)土爭端，每一方都存在增加軍備的潛力.進一步假設(shè)1）2）的作用為線性；3）的作用為常數(shù).目的第十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六建模軍備競賽的結(jié)局微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性x(t)~甲方軍備數(shù)量，y(t)~乙方軍備數(shù)量,~本方經(jīng)濟實力的制約；

k,l~對方軍備數(shù)量的刺激；g,h~本方軍備競賽的潛力.t時的x(t)，y(t)第十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六平衡點穩(wěn)定性判斷系數(shù)矩陣平衡點(x0,y0)穩(wěn)定的條件模型軍備競賽第十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六模型的定性解釋雙方軍備穩(wěn)定(時間充分長后趨向有限值)的條件雙方經(jīng)濟制約大于雙方軍備刺激時，軍備競賽才會穩(wěn)定，否則軍備將無限擴張.平衡點2)若g=h=0,則x0=y0=0,在

>kl下x(t),y(t)0,

即友好鄰國通過裁軍可達到永久和平.模型,~本方經(jīng)濟實力的制約；

k,l~對方軍備數(shù)量的刺激；g,h~本方軍備競賽的潛力.第十七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六3）若g,h不為零，即便雙方一時和解，使某時x(t),y(t)很小，但因，也會重整軍備.4）即使某時一方(由于戰(zhàn)敗或協(xié)議)軍備大減,如x(t)=0，也會因使該方重整軍備，

即存在互不信任()或固有爭端()的單方面裁軍不會持久.模型的定性解釋,~本方經(jīng)濟實力的制約；

k,l~對方軍備數(shù)量的刺激；g,h~本方軍備競賽的潛力.模型第十八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六4廢水的生物處理

廢水處理(去掉有害的有機物)通常有生物化學(xué)與物理化學(xué)兩種方法.背景與問題

生物處理~利用微生物(主要是細菌)的生命活動過程,把廢水中的有機物轉(zhuǎn)化為簡單的無機物.

已知廢水中有害物質(zhì)濃度為10-3~10-2g/m3,要將濃度降至5×10-4g/m3以下,需建立廢水與微生物混合的處理池.

設(shè)廢水將以10m3/h的流量進入處理池,確定處理池的容積,

使排出廢水中有害物質(zhì)的濃度達到規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn).第十九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六模型假設(shè)

生物化學(xué)提供了有機物分解、轉(zhuǎn)化和微生物增殖、衰亡的規(guī)律及相關(guān)參數(shù)2.微生物依于有害物質(zhì)分解、轉(zhuǎn)化的能量而增殖的速率與有害物質(zhì)濃度成正比，比例系數(shù)r2=1.26m3/g.h4.處理池內(nèi)有害物質(zhì)和微生物任何時候都均勻混合,排出廢水中有害物質(zhì)和微生物的濃度與池內(nèi)相同.3.微生物的自然死亡率為常數(shù)d=10-5/h1.有害物質(zhì)被微生物分解、轉(zhuǎn)化而消失的速率與微生物濃度成正比，比例系數(shù)r1=0.1m3/g.hc(t)~時刻t有害物質(zhì)的濃度b(t)~時刻t微生物的濃度第二十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六模型假設(shè)

生物化學(xué)提供了有機物分解、轉(zhuǎn)化和微生物增殖、衰亡的規(guī)律及相關(guān)參數(shù)6.進入處理池的廢水中有害物質(zhì)濃度為c0,c01c0c02,c01=10-3g/m3,c02=10-2g/m3,c0可以改變,最壞情況是c0由c01突然增加到c027.環(huán)境保護法規(guī)定的廢水中有害物質(zhì)濃度為c*=5×10-4g/m3,它是長期穩(wěn)定排放的標(biāo)準(zhǔn),如果是短期排放并超標(biāo)不大,可以用處罰等方法解決.5.忽略蒸發(fā)等因素,廢水進入處理池和排出處理池的流量均為常數(shù)Q=10m3/h;廢水滿池,池的容積為V第二十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六單池模型建立一個處理池(t,t+t)內(nèi)池內(nèi)有害物質(zhì)的平衡改變量=進入量?排出量?分解轉(zhuǎn)化量c(t)~有害物質(zhì)濃度b(t)~微生物的濃度V~池的容積(t,t+t)內(nèi)池內(nèi)微生物的平衡Q~流量非線性方程組無解析解第二十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六單池模型的穩(wěn)態(tài)狀況平衡點用微分方程穩(wěn)定性理論可以驗證:微生物的增殖率大于死亡和排除率當(dāng)

時P1穩(wěn)定,P2不穩(wěn)定第二十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六單池模型的穩(wěn)態(tài)狀況c01c0c02Q=10m3/hr2=1.26m3/g.hd=10-5/hc0=c01=10-3g/m3V>8×103m3V>1.6×104m3c0=c*=5×10-4g/m3V↑c0↓平衡點P1穩(wěn)定條件為使穩(wěn)定狀況下有害物質(zhì)濃度達到規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)c*,處理池的容積至少需要達到1.6×104m3.一個長寬各100m,深1.6m的池子!第二十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六考察最壞情況取穩(wěn)定平衡點P1為初值,即單池模型的動態(tài)過程當(dāng)c0=c01時池內(nèi)濃度已處于穩(wěn)態(tài),c0突然增加到c02設(shè)V=1.6×104m3和3×104m3,用數(shù)值方法解微分方程組:第二十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六有害物質(zhì)濃度將有約1300小時超過2c*,

最高達到5c*單池模型的動態(tài)過程V=1.6×104m3c(×10-3g/m3)t(h)V=3×104m3c(×10-3g/m3)t(h)有害物質(zhì)濃度將有約900小時超過2c*,

最高達到3c*13002c*要達到規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)需要太大的池子!長寬各100m,深3m的池子第二十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六兩個串接的池子雙池模型V1,c1,b1Q,c0V