微分方程的基本概念

章微分方程2021/5/91微分方程第十章—積分問題—微分方程問題

推廣2021/5/92引例1.

一曲線通過點(1,2),在該曲線上任意點處的解:

設(shè)所求曲線方程為y=y(x),則有如下關(guān)系式:①(C為任意常數(shù))由②得C=1,因此所求曲線方程為②由①得切線斜率為2x,求該曲線的方程.一、引例2021/5/93引例2.

列車在平直路上以的速度行駛,制動時獲得加速度求制動后列車的運動規(guī)律.解:設(shè)列車在制動后

t

秒行駛了s

米,由已知得由前一式兩次積分,可得利用后兩式可得因此所求運動規(guī)律為說明:

利用這一規(guī)律可求出制動后多少時間列車才能停住,以及制動后行駛了多少路程.即求

s

=s(t).2021/5/941.微分方程：含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程

.二、微分方程的基本概念實質(zhì)：聯(lián)系自變量，未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的式子.區(qū)別：與以往學(xué)習(xí)的代數(shù)方程的區(qū)別是：代數(shù)方程是含未知數(shù)的等式，微分方程是含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的等式.常微分方程：所含未知函數(shù)是一元函數(shù).偏微分方程注：本章只討論常微分方程分類2.微分方程的階：方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程的階.2021/5/95三、微分方程的主要問題-----求方程的解—使方程成為恒等式的函數(shù).通解—解中所含獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同.特解1.微分方程的解

—通解中的任意常數(shù)被確定后的解.引例2引例1通解:特解:2021/5/96—確定通解中任意常數(shù)的條件.n階方程的初始條件(或初值條件):2.定解條件

過定點的積分曲線;一階:二階:過定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線.初值問題:

求微分方程滿足初始條件的解的問題.2021/5/973.解的幾何意義解:

積分曲線.特解:

微分方程的一條積分曲線.通解:

積分曲線族.引例2引例1通解:特解:2021/5/98例1.

驗證函數(shù)是微分方程的解,的特解.解:

這說明是方程的解.

是兩個獨立的任意常數(shù),利用初始條件易得:故所求特解為故它是方程的通解.并求滿足初始條件2021/5/99第二節(jié)一階微分方程1.可分離變量的微分方程兩邊積分,得2021/5/910(2)解法：為微分方程的解.這種解法叫分離變量法1.分離變量:2.兩邊積分分離變量法步驟:1.分離變量;2.兩端積分-------隱式通解.2021/5/911例1.

求微分方程的通解.解:

分離變量得兩邊積分得即(C

為任意常數(shù))或說明:

在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.(此式含分離變量時丟失的解y=0)2021/5/912注意:例2.

解初值問題解:

分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C

為任意常數(shù))故所求特解為2021/5/913求所滿足的微分方程.例3.

已知曲線上點

P(x,y)處的法線與x

軸交點為Q解:

如圖所示,設(shè)所求曲線的方程為y=f(x).令Y=0,得

Q

點的橫坐標(biāo)即則點P(x,y)處的法線方程為且線段PQ被y軸平分,2021/5/914練習(xí):解法1

分離變量即(C<0

)解法2故有兩邊積分(C

為任意常數(shù))所求通解:兩邊積分得2021/5/9152.齊次微分方程(1)定義：形如的方程叫做齊次方程

.(2)解法:-----變量代換法令代入原方程得：即則即求此可分離變量方程的解，并回代2021/5/916例1

求解微分方程故微分方程的解為解原方程可變?yōu)椋杭磩t即2021/5/917例1

求解微分方程微分方程的解為另解原方程可變?yōu)椋杭醇磩t即2021/5/918例2.

解微分方程解:則有分離變量積分得代回原變量得通解即說明:

顯然

x=0,y=0,y=x

也是原方程的解,但在(C

為任意常數(shù))求解過程中丟失了.2021/5/919例3求解微分方程解則于是即分離變量得積分得將代入上面式子得：注意：的方程可用將其化為可分離變量的方程.代換，形如2021/5/920例4

已知曲線積分與路徑無關(guān),其中求由確定的隱函數(shù)解:因積分與路徑無關(guān),故有即因此有2021/5/921內(nèi)容小結(jié)1.微分方程的概念微分方程;定解條件;2.可分離變量方程的求解方法:說明:

通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一個解.例如,方程解;階;通解;特解y=–x

及

y=C

分離變量法步驟:1.分離變量;2.兩端積分-------隱式通解.2021/5/922的微分方程解法：