數(shù)學(xué)特點(diǎn)與中學(xué)數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)特點(diǎn)與中學(xué)數(shù)學(xué)第一頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六第一節(jié)對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)一、數(shù)學(xué)是什么數(shù)學(xué)—研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。（恩格斯）第二頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六

數(shù)量不僅是實(shí)數(shù)，而且是向量、張量，甚至是有代數(shù)結(jié)構(gòu)的抽象集合中的元；空間也不是僅指三維空間，還有n維、無(wú)窮維以及具有某種結(jié)構(gòu)的抽象空間。第三頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六對(duì)數(shù)學(xué)的不同認(rèn)識(shí)中國(guó)古代—數(shù)學(xué)是術(shù)古希臘—數(shù)學(xué)是一個(gè)公理體系數(shù)學(xué)是科學(xué)數(shù)學(xué)是一門創(chuàng)造的藝術(shù)數(shù)學(xué)是一種語(yǔ)言數(shù)學(xué)是一種文化第四頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六從哲學(xué)角度看數(shù)學(xué)本質(zhì)動(dòng)態(tài)的：成長(zhǎng)發(fā)展且不斷變化的靜態(tài)的：數(shù)學(xué)是具有一整套已知的、確定的概念、原理和技能體系。螺旋式上升第五頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六歷史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)

數(shù)學(xué)發(fā)展史上有三次數(shù)學(xué)危機(jī)。每一次數(shù)學(xué)危機(jī)，都是數(shù)學(xué)的基本部分受到質(zhì)疑。實(shí)際上，也恰恰是這三次危機(jī)，引發(fā)了數(shù)學(xué)上的三次思想解放，大大推動(dòng)了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展。第六頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六第一次數(shù)學(xué)危機(jī)

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是由不能寫成兩個(gè)整數(shù)之比引發(fā)的第七頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六

這一危機(jī)發(fā)生在公元前5世紀(jì)，危機(jī)來(lái)源于：當(dāng)時(shí)認(rèn)為所有的數(shù)都能表示為整數(shù)比，但突然發(fā)現(xiàn)不能表為整數(shù)比。其實(shí)質(zhì)是：是無(wú)理數(shù)，全體整數(shù)之比構(gòu)成的是有理數(shù)系，有理數(shù)系需要擴(kuò)充，要添加無(wú)理數(shù)。（畢達(dá)哥拉斯學(xué)派）第八頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六第二次數(shù)學(xué)危機(jī)

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在牛頓創(chuàng)立微積分的十七世紀(jì)。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派內(nèi)部提出的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)則是由牛頓學(xué)派的外部、貝克萊大主教提出的，是對(duì)牛頓“無(wú)窮小量”說(shuō)法的質(zhì)疑引起的。第九頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六1．危機(jī)的引發(fā)1）牛頓的“無(wú)窮小”牛頓的微積分是一項(xiàng)劃時(shí)代的科學(xué)成就，蘊(yùn)含著巨大的智慧和創(chuàng)新，但也有邏輯上的問(wèn)題。第十頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六

微積分的一個(gè)來(lái)源，是想求運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度。在牛頓之前，只能求一段時(shí)間內(nèi)的平均速度，無(wú)法求某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度。第十一頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六

比值是這段時(shí)間內(nèi)物體的平均速度。牛頓設(shè)想：越小，這個(gè)平均速度應(yīng)當(dāng)越接近物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度。當(dāng)越來(lái)越?。ó?dāng)然也越來(lái)越?。?，最后成為無(wú)窮小，將要變成0而還不是0的時(shí)候，兩個(gè)無(wú)窮小之比,就是所要求的瞬時(shí)速度。第十二頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六

牛頓的這一方法很好用，解決了大量過(guò)去無(wú)法解決的科技問(wèn)題。但是邏輯上不嚴(yán)格，遭到指責(zé)。第十三頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六2）貝克萊的發(fā)難

英國(guó)的貝克萊大主教發(fā)表文章猛烈攻擊牛頓的理論。貝克萊問(wèn)道：“無(wú)窮小”作為一個(gè)量，究竟是不是0？第十四頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六

牛頓的這一套運(yùn)算方法，就如同從出發(fā)，兩端同除以0，得出5=3一樣的荒謬。第十五頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六

貝克萊還諷刺挖苦說(shuō)：即然和都變成“無(wú)窮小”了，而無(wú)窮小作為一個(gè)量，既不是0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂”了。這就是著名的“貝克萊悖論”。第十六頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六2．危機(jī)的實(shí)質(zhì)

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)是什么？

實(shí)質(zhì)上是缺少嚴(yán)密的極限概念和極限理論作為微積分學(xué)的基礎(chǔ)第十七頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六第三次數(shù)學(xué)危機(jī)1.危機(jī)的引發(fā)羅素的“集合論悖論”引發(fā)危機(jī)第十八頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六

羅素悖論是：以表示“是其本身成員的所有集合的集合”（所有異常集合的集合），而以表示“不是它本身成員的所有集合的集合”（所有正常集合的集合），于是任一集合或者屬于，或者屬于，兩者必居其一，且只居其一。然后問(wèn)：集合是否是它本身的成員？（集合是否是異常集合？）第十九頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六

羅素悖論的通俗化——“理發(fā)師悖論”：某村的一個(gè)理發(fā)師宣稱，他給且只給村里自己不給自己刮臉的人刮臉。

問(wèn)：理發(fā)師是否給自己刮臉？

第二十頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六

如果他給自己刮臉，他就屬于自己給自己刮臉的人，按宣稱的原則，理發(fā)師不應(yīng)該給他自己刮臉，這與假設(shè)矛盾。如果他不給自己刮臉，他就屬于自己不給自己刮臉的人，按宣稱的原則，理發(fā)師應(yīng)該給他自己刮臉，這又與假設(shè)矛盾。第二十一頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六二、數(shù)學(xué)的價(jià)值數(shù)學(xué)的社會(huì)價(jià)值數(shù)學(xué)的文化價(jià)值數(shù)學(xué)的教育價(jià)值第二十二頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六1、數(shù)學(xué)的社會(huì)價(jià)值從社會(huì)功能看，數(shù)學(xué)知識(shí)的四種形態(tài)：作為符號(hào)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)作為形式系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)作為算法系統(tǒng)的數(shù)學(xué)計(jì)算數(shù)學(xué)作為模糊系統(tǒng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)第二十三頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六基礎(chǔ)數(shù)學(xué)

基礎(chǔ)數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)中的核心，也是最純粹最抽象的部分。它大致由三個(gè)分支組成：分析、代數(shù)和幾何。這三者又相互交叉和滲透，從而產(chǎn)生解析幾何、解析數(shù)論、代數(shù)幾何等學(xué)科。此外研究隨機(jī)現(xiàn)象的概率論、研究形式推理的數(shù)理邏輯等，也屬于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。

第二十四頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六應(yīng)用數(shù)學(xué)

應(yīng)用數(shù)學(xué)研究現(xiàn)實(shí)中具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，它既采用基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的成果，同時(shí)又反過(guò)來(lái)從實(shí)際中提煉問(wèn)題、探討新思想和新方法以豐富基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。

數(shù)學(xué)應(yīng)用的領(lǐng)域雖無(wú)邊際，但大致也可分為三方面：經(jīng)濟(jì)建設(shè)（工、農(nóng)、商等）；科學(xué)與技術(shù)（特別是高科技）；軍事與國(guó)防。運(yùn)籌學(xué)、控制論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等學(xué)科中，大部分內(nèi)容屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)；而經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)、生物數(shù)學(xué)等，則是比較標(biāo)準(zhǔn)的應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科。

第二十五頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六應(yīng)用舉例例1、采用可靠性方法，美國(guó)研制MZ導(dǎo)彈的發(fā)射試驗(yàn)從原來(lái)的36次減少為25次，可靠性卻從72％提高到93％。

例2、海灣戰(zhàn)爭(zhēng)中，美國(guó)將大批人員和物資調(diào)運(yùn)到位，只用了短短一個(gè)月時(shí)間。這是由于他們運(yùn)用了運(yùn)籌學(xué)和優(yōu)化技術(shù)。第二十六頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六例3、X射線計(jì)算機(jī)層析攝影儀（簡(jiǎn)稱CT）的問(wèn)世是本世紀(jì)醫(yī)學(xué)中的奇跡，其原理是基于不同的物質(zhì)有不同的X射線衰減系數(shù)。如果能夠確定人體的衰減系數(shù)的分布，就能重建其斷層或三維圖像。但通過(guò)X射線透射時(shí)，只能測(cè)量到人體的直線上的X射線衰減系數(shù)的平均值（是一積分）。當(dāng)直線變化時(shí)，此平均值（依賴于某參數(shù)）也隨之變化。第二十七頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六

能否通過(guò)此平均值以求出整個(gè)衰減系統(tǒng)的分布呢？人們利用數(shù)學(xué)中的Radon變換解決了此問(wèn)題，Radon變換已成為CT理論的核心。第二十八頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六計(jì)算數(shù)學(xué)

計(jì)算數(shù)學(xué)偏重于計(jì)算，早期它致力于求出各種方程（代數(shù)方程、（偏）微分方程、微積分方程等）的數(shù)值解。近40年來(lái)，計(jì)算數(shù)學(xué)有了極其迅速的發(fā)展，這主要是由于電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)。計(jì)算機(jī)的高速計(jì)算使得許多過(guò)去無(wú)法求解的問(wèn)題成為可解，從而大大擴(kuò)展了數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍。第二十九頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六

例如，短期天氣預(yù)報(bào)、高速運(yùn)行器的控制，離開(kāi)計(jì)算數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)是不可能的。近期，由于計(jì)算機(jī)模擬、計(jì)算輔助證明（如四色問(wèn)題的證實(shí)）在人工智能中的應(yīng)用，以及計(jì)算力學(xué)、計(jì)算物理、計(jì)算化學(xué)、計(jì)算幾何、計(jì)算概率等新學(xué)科的誕生等等，使得計(jì)算數(shù)學(xué)雄風(fēng)大振。第三十頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六

今天，人們已把計(jì)算作為與理論、實(shí)驗(yàn)鼎足而立的第三種科學(xué)方法而引入科學(xué)界。

第三十一頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六應(yīng)用舉例：石油勘探

石油深藏地下，人們通過(guò)人工地震記下反向回來(lái)的地震波，波形隨著地層地質(zhì)的不同而變化。用計(jì)算機(jī)處理所得的波形數(shù)據(jù)可以提供地下巖層、巖性以及有關(guān)石油、天然氣等的知識(shí)。

1991年5月，美國(guó)殼牌石油公司應(yīng)用計(jì)算技術(shù)于新奧爾良以南39公里的河流之下930公里處，探明了一個(gè)儲(chǔ)量超過(guò)10億桶的大油田。第三十二頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六

基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)既有各自的特點(diǎn)又緊密相互聯(lián)系。一個(gè)重大的數(shù)學(xué)問(wèn)題，特別是從實(shí)際中提出的數(shù)學(xué)問(wèn)題，都需要上述三種數(shù)學(xué)的內(nèi)容和方法。建立數(shù)學(xué)模型，尋求解題方法，需要基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)，而使解題方法得以實(shí)現(xiàn)，則離不開(kāi)計(jì)算數(shù)學(xué)。這三種數(shù)學(xué)互相補(bǔ)充，互相滲透，大大地促進(jìn)了整個(gè)數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展。

第三十三頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六2、數(shù)學(xué)的文化價(jià)值(1)數(shù)學(xué)—文化中的獨(dú)特部分

數(shù)學(xué)教育家波耶說(shuō)過(guò)：“科學(xué)不僅是生活的工具，也是一種思想的習(xí)慣。而數(shù)學(xué)則不僅是一大堆算法，也是文化的一個(gè)組成部分。

第三十四頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六

數(shù)學(xué)確實(shí)是一種文化，它對(duì)人的影響無(wú)處不在，只是許多人沒(méi)有意識(shí)到著名的美國(guó)《科學(xué)》雜志特約主編斯蒂恩說(shuō)得更清楚：“數(shù)學(xué)……在人類特性和人類的歷史中，它的地位絕不亞于語(yǔ)言、藝術(shù)或宗教?！?/p>

第三十五頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六

數(shù)學(xué)和其他科學(xué)、藝術(shù)一樣，是人類共同的精神財(cái)富，數(shù)學(xué)是人類智慧的結(jié)晶。它表達(dá)了人類思維中生動(dòng)活潑的意念，表達(dá)了人類對(duì)客觀世界深入細(xì)致的思考，以及人類追求完美和諧的愿望。

第三十六頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六

早在古希臘時(shí)代，哲學(xué)家柏拉圖把數(shù)學(xué)看作是文化的最高理想。他說(shuō)：“幾何學(xué)可以將靈魂引向真理，并且創(chuàng)造出愛(ài)智的精神”。數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為“數(shù)統(tǒng)治宇窗”，即認(rèn)為宇宙的本原是數(shù)。他們意識(shí)到，宇宙是有其自身規(guī)律的，而宇窗的規(guī)律可以用數(shù)學(xué)的方式來(lái)表現(xiàn)。數(shù)學(xué)思想、方法可以成為人認(rèn)識(shí)宇宙、表達(dá)客觀規(guī)律的一種方式、一種途徑。

近代有人把數(shù)學(xué)看作理性的音樂(lè)，把音樂(lè)看作感性的數(shù)學(xué)，恰如其分地道出了數(shù)學(xué)和音樂(lè)的共通之處。

第三十七頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六（2）數(shù)學(xué)—現(xiàn)代公民必須具備的文化素養(yǎng)

有利于培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式

前蘇聯(lián)教育家加里寧說(shuō)過(guò)，“數(shù)學(xué)是思想的體操”說(shuō)的就是數(shù)學(xué)對(duì)培養(yǎng)嚴(yán)格的邏輯思維有非常重要的作用。盡管大多數(shù)學(xué)生將來(lái)不會(huì)成為數(shù)學(xué)家，但是條理性、邏輯性作為一種文化素質(zhì)對(duì)他們將來(lái)從事任何一種職業(yè)都是需要的。

第三十八頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神

數(shù)學(xué)是人類理性文明高度發(fā)展的結(jié)晶，體現(xiàn)出人的巨大的創(chuàng)造力。同時(shí)，數(shù)學(xué)又是人類創(chuàng)新的銳利工具。無(wú)論數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用或是數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展，都需要研究新問(wèn)題，根據(jù)實(shí)際情況做出恰如其分的分析，并由此找到解決問(wèn)題的途徑。這里沒(méi)有現(xiàn)成的答案可循，需要某種程度上的創(chuàng)新。而這種創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，正是我們的教育目的之一。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，正是一種培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神的有效途徑。

第三十九頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六有利于培養(yǎng)科學(xué)的審美觀

數(shù)學(xué)教育有利于美育教育和科學(xué)教育相結(jié)合，培養(yǎng)科學(xué)的審美觀。而數(shù)學(xué)本身體現(xiàn)出的簡(jiǎn)潔美(抽象美、符號(hào)美、統(tǒng)一美等)、和諧美(對(duì)稱美、形式美等)、奇異美(有限美、神秘美等)會(huì)給學(xué)生以美的熏陶，數(shù)學(xué)所揭示的規(guī)律會(huì)加深學(xué)生對(duì)美的理解，而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程也會(huì)使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)作為人類智慧的結(jié)晶所洋溢出的精神美。第四十頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六3、數(shù)學(xué)的教育價(jià)值數(shù)學(xué)科學(xué)的工具價(jià)值數(shù)學(xué)科學(xué)的認(rèn)識(shí)價(jià)值數(shù)學(xué)科學(xué)的精神價(jià)值數(shù)學(xué)科學(xué)的美學(xué)價(jià)值第四十一頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六數(shù)學(xué)科學(xué)的認(rèn)識(shí)價(jià)值

數(shù)學(xué)是思維訓(xùn)練的體操，數(shù)學(xué)方法是核心；是培養(yǎng)探索解決問(wèn)題能力的最經(jīng)濟(jì)的場(chǎng)地；是辯證思維的輔助工具和表現(xiàn)形式第四十二頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六例：頭發(fā)根數(shù)的問(wèn)題

幾年前，曾經(jīng)有人撰文提到，在上海城鄉(xiāng)，至少有100個(gè)人在同一瞬間具有同樣多的頭發(fā)根數(shù)。此文發(fā)表后，作者收到大量讀者來(lái)信，很多人表示疑義：你從哪里來(lái)的統(tǒng)計(jì)資料？如果沒(méi)有可靠的資料，你豈能得出如此大膽的結(jié)論？第四十三頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六問(wèn)題的解決鴿巢原理：10只鴿子飛回家，但是只有9個(gè)洞，那么必然有一個(gè)洞里至少要飛進(jìn)2只鴿子。

第四十四頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六

人的頭發(fā)根教不是無(wú)限的，而是有個(gè)“上限”的。醫(yī)學(xué)專家指出，一般人的頭發(fā)根數(shù)不會(huì)超過(guò)10萬(wàn)。上海城鄉(xiāng)人口總數(shù)早已超過(guò)1000萬(wàn)人。把頭上有0根頭發(fā)的人（即全禿者）看作一個(gè)抽屜，有1根頭發(fā)的人看作一個(gè)抽屜，有2根頭發(fā)的人也看作一個(gè)抽屜……這樣可以得到大概10萬(wàn)個(gè)抽屜。

根據(jù)抽屜原理，把1000萬(wàn)人放到'10萬(wàn)個(gè)抽屜里，至少有10000000÷100000=100（個(gè)）人屬于同一個(gè)抽屜，也就是說(shuō)這100個(gè)人的頭發(fā)根數(shù)是相同的。第四十五頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六數(shù)學(xué)的精神價(jià)值數(shù)學(xué)作為一種創(chuàng)造性活動(dòng)，不斷提高人類的精神境界，推動(dòng)人類的精神文明。3.1理性精神人們對(duì)外部客觀世界與自身的一種理智的、根本的看法或態(tài)度。數(shù)學(xué)研究對(duì)象：不依人的意識(shí)而獨(dú)立存在，抽象思維的產(chǎn)物。研究方法：邏輯的、理智的、定量的第四十六頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六歐幾里德《幾何原本》13卷如何對(duì)零散的幾何事實(shí)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行系統(tǒng)整理，使其成為一門學(xué)科。公設(shè)、公理、定義的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出幾何的內(nèi)容。（理性思維）幾何學(xué)起源于古埃及，但為什么在古希臘得到輝煌的發(fā)展？第四十七頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六3.2求實(shí)精神肯定命題——證明否定命題——反例費(fèi)爾馬數(shù)經(jīng)過(guò)68年歐拉否定了猜想。第四十八頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六尊重事實(shí)、尊重科學(xué)、尊重規(guī)律、實(shí)事求是、不迷信、不盲從。3.3創(chuàng)造精神數(shù)學(xué)是創(chuàng)造性活動(dòng)的精神產(chǎn)物。數(shù)學(xué)概念的建立（無(wú)理數(shù)、虛數(shù)、極限等）數(shù)學(xué)原理的發(fā)明、發(fā)現(xiàn)（公式、定理、體系等）第四十九頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六美學(xué)價(jià)值1、統(tǒng)一美2、簡(jiǎn)潔美3、勻稱美4、奇異美第五十頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六一元二次方程的求根公式x=(加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方）六種代數(shù)運(yùn)算統(tǒng)一在同一公式中。

把1，0（算術(shù)數(shù)）、i(代數(shù)）、(幾何）、e(分析）統(tǒng)一起來(lái)。

統(tǒng)一美第五十一頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六簡(jiǎn)潔美數(shù)學(xué)符號(hào)的引入即是簡(jiǎn)潔美的體現(xiàn)。第五十二頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六乘法的引入即是避免重復(fù)相加。在初等幾何中要求公理系統(tǒng)中的公理簡(jiǎn)潔、自明，本身即追求簡(jiǎn)潔美。二進(jìn)制即是從邏輯關(guān)系簡(jiǎn)潔考察中得到的結(jié)果。化歸方法之所以有廣泛應(yīng)用，主要在于通過(guò)化歸，使問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn)。方程組方程分式\整式空間平面（消元降次）無(wú)理\有理化面面、線面線線第五十三頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六勻稱美黃金分割比：智慧女神雅典娜，太陽(yáng)神阿波羅的身段比接近黃金分割比。球、圓、軸對(duì)稱、中心對(duì)稱，給人美觀舒適之感微分、積分、正、負(fù)、分、整、有理數(shù)、無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)到虛數(shù)等數(shù)的擴(kuò)張是追求勻稱美的突破第五十四頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六

楊輝三角形111121133114641第五十五頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六三角形面積的海倫公式圓內(nèi)接四邊形面積第五十六頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六奇異美奇異、新穎、出乎意料而引起人們的贊美第五十七頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六例子親和數(shù)220和284的關(guān)系體現(xiàn)奇異美。親和數(shù)是一對(duì)數(shù)，其中每一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的因數(shù)之和。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派得到過(guò)非平凡的發(fā)現(xiàn)，即220和284是親和數(shù)。220的因數(shù)是1，2，4，5，10，11，20，22，44，55，110，它們的和是284；另一方面，284的因數(shù)是1，2，4，71，142，它們的和是220。

這一對(duì)數(shù)220和284被認(rèn)為是友誼的象征。馬丁·加德納(MartinGardner)的書《數(shù)學(xué)魔術(shù)》(MathematicalMagic)中談到過(guò)中世紀(jì)出售的一種護(hù)身符，這種護(hù)身符上刻有這兩個(gè)數(shù)字，其理由是佩戴這種護(hù)身符能促進(jìn)愛(ài)情。有一種習(xí)俗，就是在一只水果上刻下220這個(gè)數(shù)字，在另一只水果上刻下284，然后將第一只吃下，將第二只送給所愛(ài)的人吃。

第五十八頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六學(xué)習(xí)了兩數(shù)差的平方公式后，引導(dǎo)學(xué)生研究如下問(wèn)題982=（100-2）2=96049982=（1000-2）2=996004999….82=999….6000….4972，9972，….是否有類似的規(guī)律呢？992，9992，….規(guī)律又如何？呢？第五十九頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六數(shù)學(xué)教師：

教師體味—挖掘—滲透—學(xué)生領(lǐng)略

外在美——內(nèi)在美

第六十頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六第二節(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)一、作為科學(xué)的數(shù)學(xué)的特點(diǎn)二、中學(xué)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)與教學(xué)第六十一頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六一、作為科學(xué)的數(shù)學(xué)的特點(diǎn)1、高度抽象性：

任何學(xué)科都具有抽象性，只是數(shù)學(xué)學(xué)科與其他學(xué)科相比較，抽象程度更高。數(shù)學(xué)的抽象只保留了量的關(guān)系而舍棄一切質(zhì)的特點(diǎn);只保留了一定的形式、結(jié)構(gòu)，而舍棄內(nèi)容。這樣，就得到純粹狀態(tài)下的以抽象形式出現(xiàn)的量與量的關(guān)系，成為一種思想材料的符號(hào)化、形式化抽象，這是一種極度抽象。教學(xué)：層次性和階段性第六十二頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六[例]“除非它們都能站起來(lái)！”這是發(fā)生在20世紀(jì)60年代的一個(gè)真實(shí)故事：當(dāng)時(shí)“新數(shù)運(yùn)動(dòng)”作為風(fēng)靡全球的改革運(yùn)動(dòng)正處于高潮之中，其核心思想就是認(rèn)為應(yīng)當(dāng)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想對(duì)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育作出改造，由于集合的概念在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中占據(jù)了特別重要的位置，因此，下述情況的出現(xiàn)就無(wú)足為奇了。第六十三頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六在幼兒園上學(xué)的女兒告訴數(shù)學(xué)家的父親：“我們今天學(xué)了‘集合’！”父親：“老師是怎么教的？”女兒：“女教師首先讓班上所有的男孩子站起來(lái)，然后告訴大家這就是男孩子的集合；其次，她又讓所有的女孩子站起來(lái)，并說(shuō)這是女孩子的集合；接下來(lái)，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集合，……最后，教師問(wèn)全班：‘大家是否都懂了？’她得到了肯定的答復(fù)。”第六十四頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六父：“那么，我們是否可以將世界上所有的匙子或土豆組成一個(gè)集合？” 遲疑了一會(huì)，女兒最終作出了這樣的回答：“不行！除非它們都能站起來(lái)！”第六十五頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六2、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓裕簲?shù)學(xué)要求邏輯上無(wú)懈可擊，結(jié)論要精確，

數(shù)學(xué)真理的發(fā)現(xiàn)：合情邏輯證明數(shù)學(xué)的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性是相對(duì)的，局部的、片段式和階段式的

教學(xué)：逐步發(fā)展適度和適量的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性能力

3、

廣泛的應(yīng)用性

數(shù)學(xué)廣泛的應(yīng)用性是由數(shù)學(xué)高度抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓詻Q定的。近半個(gè)世紀(jì)以來(lái)，數(shù)學(xué)更加成功地運(yùn)用于經(jīng)濟(jì)、管理、通訊、資源開(kāi)發(fā)和環(huán)境保護(hù)、醫(yī)學(xué)、軍事與國(guó)防等領(lǐng)域。

教學(xué)：用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題第六十六頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六二、中學(xué)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)與教學(xué)（一）現(xiàn)實(shí)背景與形式模型互相統(tǒng)一

數(shù)學(xué)學(xué)科雖然具有高度的抽象性和概括性，但這種抽象的思想材料卻不能完全脫離現(xiàn)實(shí)背景，中學(xué)數(shù)學(xué)更是這樣。

現(xiàn)實(shí)抽象應(yīng)用第六十七頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六（二）解題技巧與程序訓(xùn)練相結(jié)合

解決問(wèn)題是數(shù)學(xué)的靈魂，其特點(diǎn)在于技巧性和程式化。數(shù)學(xué)中的數(shù)量變化問(wèn)題，必須用靈巧的思維和繁復(fù)的計(jì)算程序去解決，即一方面需要靈活機(jī)動(dòng)的創(chuàng)造性思維，另一方面需要固定的計(jì)算公式，二者缺一不可。根據(jù)這一特點(diǎn)，教師應(yīng)當(dāng)注意教材中形式推演背后的生動(dòng)思想，避免重復(fù)的單純模仿和套公式。第六十八頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六（三）簡(jiǎn)約的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與豐富的數(shù)學(xué)思想相交融

公理化方法、代數(shù)思想、解析幾何觀點(diǎn)、統(tǒng)計(jì)與概率思想、微積分思想等是宏觀數(shù)學(xué)思想。函數(shù)觀點(diǎn)、向量表示、參數(shù)方法、恒等變形、同解變形等是中型的數(shù)學(xué)觀念。素?cái)?shù)與合數(shù)、負(fù)負(fù)得正、尺規(guī)作圖、任意角與周期性、算術(shù)根等是微觀的數(shù)學(xué)問(wèn)題。第六十九頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué)：自然語(yǔ)言符號(hào)化完全形式化數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般有限與無(wú)限、或然與必然第七十頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六[例]“找規(guī)律”

“師：在中國(guó)少年先鋒隊(duì)鼓號(hào)隊(duì)的鼓號(hào)曲里，我們把第一個(gè)音唱做‘咚’，第二個(gè)音唱做‘噠’，第三個(gè)音唱做‘啦’，所以這個(gè)樂(lè)句就變成│咚噠啦│咚噠啦│咚噠啦│……“請(qǐng)想一想：第16個(gè)音符是什么？為了能讓別人看得一清二白，請(qǐng)你在草稿本上用一種合適的方式表示出來(lái)，可以寫一寫、畫一畫、算一算?！钡谄呤豁?yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六方法一：用圖形表示│□○△│□○△│□○△│□○△│□○△│□方法二：用數(shù)字表示 │123│123│123│123│123│1第七十二頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六（四）數(shù)學(xué)智育和德育相統(tǒng)一

數(shù)學(xué)智育和德育相統(tǒng)一主要是針對(duì)過(guò)去過(guò)分強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)是思維訓(xùn)練的體操”而言的第七十三頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六

在過(guò)去，我們過(guò)分重視數(shù)學(xué)的程式性和技巧性，而淡化了數(shù)學(xué)生成過(guò)程中鮮活的思想、生動(dòng)而有趣的變化以及由此帶給人的美感和理性精神追求帶給人的愉悅。數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，是人類社會(huì)進(jìn)步的產(chǎn)物，也是推動(dòng)社會(huì)發(fā)展的動(dòng)力。第七十四頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六第三節(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)前沿一、現(xiàn)代數(shù)學(xué)前沿1997年3月，國(guó)家自然科學(xué)基金委提出了我國(guó)未來(lái)數(shù)學(xué)發(fā)展課題，涉及以下數(shù)學(xué)前沿問(wèn)題：（1）核心數(shù)學(xué)。它是應(yīng)用數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，重要方向有：解析數(shù)論、代數(shù)數(shù)論與代數(shù)幾何，群與代數(shù)及其表示理論，流形與復(fù)形幾何學(xué)，整體微分學(xué)，經(jīng)典分析的前沿問(wèn)題，隨機(jī)分析和無(wú)窮維分析。第七十五頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六（2）非線性問(wèn)題的數(shù)學(xué)理論和方法。

非線性現(xiàn)象和純粹數(shù)學(xué)各分支交叉形成的許多生長(zhǎng)點(diǎn)重要的科學(xué)問(wèn)題和研究方向有：非線性偏微分方程，變分理論和幾何分析，動(dòng)力系統(tǒng)，經(jīng)典和量子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，隨機(jī)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。第七十六頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六（3）