拋物線的簡單幾何性質(zhì)

第二章§2.4拋物線2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)學習目標1.了解拋物線的范圍、對稱性、頂點、焦點、準線等幾何性質(zhì).2.會利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡單的拋物線問題.題型探究問題導學內(nèi)容索引當堂訓練知識點一拋物線的范圍思考

觀察右側圖形，思考以下問題：(1)觀察焦點在x軸的拋物線與雙曲線及橢圓的圖形，分析其幾何圖形存在哪些區(qū)別？拋物線與另兩種曲線相比較，有明顯的不同，橢圓是封閉曲線，有四個頂點，有兩個焦點，有中心；雙曲線雖然不是封閉曲線，但是有兩支，有兩個頂點，兩個焦點，有中心；拋物線只有一條曲線，一個頂點，一個焦點，無中心.答案思考

(2)根據(jù)圖形及拋物線方程y2＝2px(p>0)如何確定橫坐標x的范圍？由拋物線y2＝2px(p>0)有

所以x≥0.所以拋物線x的范圍為x≥0.拋物線在y軸的右側，當x的值增大時，︱y︱也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸.答案梳理拋物線y2＝2px(p>0)中，x∈

，y∈

.拋物線y2＝－2px(p>0)中，x∈

，y∈

.拋物線x2＝2py(p>0)中，x∈

，y∈

.拋物線x2＝－2py(p>0)中，x∈

，y∈

.(－∞，0][0，＋∞)(－∞，＋∞)(－∞，0](－∞，＋∞)(－∞，＋∞)[0，＋∞)(－∞，＋∞)知識點二四種形式的拋物線的幾何性質(zhì)標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R對稱軸x軸x軸y軸y軸焦點準線方程頂點坐標O(0，0)離心率e＝1通徑長2p知識點三直線與拋物線的位置關系當k≠0時，若Δ>0，則直線與拋物線有

個不同的公共點；若Δ＝0時，直線與拋物線有

個公共點；若Δ<0時，直線與拋物線

公共點.當k＝0時，直線與拋物線的軸

，此時直線與拋物線有

個公共點.1兩一沒有平行或重合類型一依據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)求標準方程∴拋物線的對稱軸為x軸，∴設拋物線的方程為y2＝2px或y2＝－2px(p>0).∴拋物線的標準方程為y2＝12x或y2＝－12x，其準線方程分別為x＝－3或x＝3.例1

拋物線的頂點在原點，對稱軸重合于橢圓9x2＋4y2＝36短軸所在的直線，拋物線焦點到頂點的距離為3，求拋物線的方程及拋物線的準線方程.解答引申探究將本例改為“若拋物線的焦點F在x軸上，直線l過F且垂直于x軸，l與拋物線交于A，B兩點，O為坐標原點，若△OAB的面積等于4”，求此拋物線的標準方程.解答由題意，設拋物線方程為y2＝2mx(m≠0)，所以|AB|＝2|m|.因為△OAB的面積為4，用待定系數(shù)法求拋物線方程的步驟反思與感悟跟蹤訓練1已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為x軸，且與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點，|AB|＝

，求拋物線方程.解答由已知，拋物線的焦點可能在x軸正半軸上，也可能在負半軸上.故可設拋物線方程為y2＝ax(a≠0).設拋物線與圓x2＋y2＝4的交點A(x1，y1)，B(x2，y2).∵拋物線y2＝ax(a≠0)與圓x2＋y2＝4都關于x軸對稱，∴點A與B關于x軸對稱，∴所求拋物線方程是y2＝3x或y2＝－3x.類型二拋物線的焦半徑和焦點弦問題由拋物線y2＝8x的焦點為(2，0)，得直線的方程為y＝x－2，代入y2＝8x得(x－2)2＝8x即x2－12x＋4＝0.所以x1＋x2＝12，弦長為x1＋x2＋p＝12＋4＝16.例2

(1)過拋物線y2＝8x的焦點，傾斜角為45°的直線被拋物線截得的弦長為____.16答案解析(2)直線l過拋物線y2＝4x的焦點，與拋物線交于A，B兩點，若|AB|＝8，則直線l的方程為_______________________.x＋y－1＝0或x－y－1＝0答案解析∵拋物線y2＝4x的焦點坐標為(1，0)，若l與x軸垂直，則|AB|＝4，不符合題意，∴可設所求直線l的方程為y＝k(x－1).(3)過拋物線y2＝4x的焦點作直線交拋物線于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，則AB的中點M到拋物線準線的距離為___.答案解析(1)拋物線上任一點P(x0，y0)與焦點F的連線得到的線段叫做拋物線的焦半徑，對于四種形式的拋物線來說其焦半徑的長分別為：反思與感悟(2)已知AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點的弦，F(xiàn)為拋物線的焦點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：⑤以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切.(3)當直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線的對稱軸垂直時，直線被拋物線截得的線段稱為拋物線的通徑，顯然通徑長等于2p.跟蹤訓練2已知直線l經(jīng)過拋物線y2＝6x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點.(1)若直線l的傾斜角為60°，求|AB|的值；解答因為直線l的傾斜角為60°，若設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝5，(2)若|AB|＝9，求線段AB的中點M到準線的距離.解答命題角度1與拋物線有關的最值問題類型三拋物線綜合問題解答拋物線y2＝4x的準線方程為x＝－1，如圖，過點P作PN垂直x＝－1于點N，由拋物線的定義可知|PF|＝|PN|，即∠PAN最小，即∠PAF最大，此時，PA為拋物線的切線，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，所以Δ＝(2k2－4)2－4k4＝0，解得k＝±1，(1)若曲線和直線相離，在曲線上求一點到直線的距離最小問題，可找到與已知直線平行的直線，使其與曲線相切，則切點為所要求的點.(2)以上問題一般轉(zhuǎn)化為“兩點之間線段最短”或“點到直線的垂線段最短”來解決.反思與感悟

跟蹤訓練3已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是由題意知，直線l2：x＝－1為拋物線y2＝4x的準線.由拋物線的定義知，點P到直線l2的距離等于點P到拋物線的焦點F(1，0)的距離.故所求最值可轉(zhuǎn)化為在拋物線y2＝4x上找一個點P，使得點P到點F(1，0)和到直線l1的距離之和最小，最小值為F(1，0)到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離，即d＝

＝2.答案解析命題角度2定值或定點問題例4拋物線y2＝2px(p>0)上有兩動點A，B及一個定點M，F(xiàn)為拋物線的焦點，若|AF|，|MF|，|BF|成等差數(shù)列.(1)求證：線段AB的垂直平分線過定點Q.證明設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，即t(x－x0－p)＋yp＝0，可知線段AB的垂直平分線過定點Q(x0＋p，0).(2)若|MF|＝4，|OQ|＝6(O為坐標原點)，求拋物線的方程.解答反思與感悟在拋物線的綜合性問題中，存在著許多定值問題，我們不需要記憶關于這些定值的結論，但必須牢牢掌握研究這些定值問題的基本方法，如設直線的點斜式方程、根與系數(shù)關系的利用、焦半徑的轉(zhuǎn)化等.設l：x＝ty＋b，代入拋物線y2＝4x，消去x得y2－4ty－4b＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，解得b＝2，故直線過定點(2，0).證明答案解析1.已知點A(－2，3)在拋物線C：y2＝2px的準線上，記C的焦點為F，則直線AF的斜率為√234512.已知點P是拋物線y2＝2x上的一個動點，則點P到點(0，2)的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值為答案解析√234512345123451易知拋物線的準線方程為x＝－1，則線段AB的中點到準線的距離為3－(－1)＝4.由拋物線的定義易得|AB|＝8.3.過拋物線y2＝4x的焦點作直線l交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點的橫坐標為3，則|AB|＝___.8答案解析4.已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的長為8，則p＝___.234512答案解析設點A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，易知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F，∴y1＋y2＝2p，y1y2＝－p2.即(2p)2－4×(－p2)＝32.又p>0，∴p＝2.234515.已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準線與x軸的交點為K，點A在拋物線C上，且|AK