直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

/直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)知識(shí)要點(diǎn)梳理

知識(shí)點(diǎn)一、直線和平面垂直的定義與判定1.直線和平面垂直定義如果直線和平面內(nèi)的任意一條直線都垂直.我們就說直線與平面互相垂直.記作.直線叫平面的垂線；平面叫直線的垂面；垂線和平面的交點(diǎn)叫垂足。

要點(diǎn)詮釋：<1>定義中"平面內(nèi)的任意一條直線"就是指"平面內(nèi)的所有直線".這與"無數(shù)條直線"不同.注意區(qū)別。

<2>直線和平面垂直是直線和平面相交的一種特殊形式。

<3>若.則。

2.直線和平面垂直的判定定理判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直.則該直線與此平面垂直。符號(hào)語言：特征：線線垂直線面垂直

要點(diǎn)詮釋：<1>判定定理的條件中："平面內(nèi)的兩條相交直線"是關(guān)鍵性詞語.不可忽視。

<2>要判定一條已知直線和一個(gè)平面是否垂直.取決于在這個(gè)平面內(nèi)能否找出兩條相交直線和已知直線垂直.至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點(diǎn).則無關(guān)緊要。

知識(shí)點(diǎn)二、斜線、射影、直線與平面所成的角一條直線和一個(gè)平面相交.但不和這個(gè)平面垂直.這條直線叫做這個(gè)平面的斜線。過斜線上斜足外的一點(diǎn)向平面引垂線.過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影。平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角.叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。

要點(diǎn)詮釋：<1>直線與平面相交但不垂直.直線在平面的射影是一條直線。

<2>直線與平面垂直射影是點(diǎn)。

<3>斜線任一點(diǎn)在平面內(nèi)的射影一定在斜線的射影上。

<4>一條直線垂直于平面.它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi).它們所成的角是0°的角。知識(shí)點(diǎn)三、二面角1.二面角定義平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分.這兩部分通常稱為半平面.從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫二面角的棱.這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。

表示方法：棱為、面分別為的二面角記作二面角.有時(shí)為了方便.也可在內(nèi)<棱以外的半平面部分>分別取點(diǎn).將這個(gè)二面角記作二面角.如果棱記作.那么這個(gè)二面角記作二面角或。2.二面角的平面角在二面角的棱上任取一點(diǎn).以該點(diǎn)為垂足.在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.則這兩條構(gòu)成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小可以用它的平面角來度量.二面角的平面角是多少度.就說這個(gè)二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角。

知識(shí)點(diǎn)四、平面與平面垂直的定義與判定1.平面與平面垂直定義兩個(gè)平面相交.如果它們所成的二面角是直二面角.就說這兩個(gè)平面垂直。表示方法：平面與垂直.記作。畫法：兩個(gè)互相垂直的平面通常把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直。如圖：

2.平面與平面垂直的判定定理判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線.則這兩個(gè)平面垂直。符號(hào)語言：圖形語言：

特征：線面垂直面面垂直要點(diǎn)詮釋：平面與平面垂直的判定定理告訴我們.可以通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直.通常我們將其記為"線面垂直.則面面垂直".因此.處理面面垂直問題處理線面垂直問題.進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為處理線線垂直問題.以后證明平面與平面垂直.只要在一個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線和另一個(gè)平面垂直即可。知識(shí)點(diǎn)五、直線與平面垂直的性質(zhì)1.基本性質(zhì)一條直線垂直于一個(gè)平面.那么這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的所有直線。符號(hào)語言：圖形語言：

2.性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。符號(hào)語言：圖形語言：

知識(shí)點(diǎn)六、平面與平面垂直的性質(zhì)性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直.則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。符號(hào)語言：圖形語言：

經(jīng)典例題透析類型一、直線和平面垂直的定義1．下列命題中正確的個(gè)數(shù)是<>

①如果直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直.則；

②如果直線與平面內(nèi)的一條直線垂直.則；

③如果直線不垂直于.則內(nèi)沒有與垂直的直線；

④如果直線不垂直于.則內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與垂直.

A.0B.1C.2D.3

舉一反三：

[變式1]下列說法中錯(cuò)誤的是<>

①如果一條直線和平面內(nèi)的一條直線垂直.該直線與這個(gè)平面必相交；

②如果一條直線和平面的一條平行線垂直.該直線必在這個(gè)平面內(nèi)；

③如果一條直線和平面的一條垂線垂直.該直線必定在這個(gè)平面內(nèi)；

④如果一條直線和一個(gè)平面垂直.該直線垂直于平面內(nèi)的任何直線.

A.①②B.②③④C.①②④D.①②③類型二、直線和平面垂直的判定2．如圖所示.已知Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)S.且SA=SB=SC.點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)。<1>求證：SD⊥平面ABC；

<2>若AB=BC.求證：BD⊥平面SAC。舉一反三：

[變式1]如圖所示.三棱錐的四個(gè)面中.最多有________個(gè)直角三角形。

[變式2]如圖所示.直三棱柱中.∠ACB=90°.AC=1..側(cè)棱.側(cè)面的兩條對(duì)角線交點(diǎn)為D.的中點(diǎn)為M。

求證：CD⊥平面BDM。類型三、直線和平面所成的角3．如圖所示.已知∠BOC在平面內(nèi).OA是平面的斜線.且∠AOB=∠AOC=60°.OA=OB=OC=.BC=.求OA和平面所成的角。總結(jié)升華：<1>確定點(diǎn)在平面內(nèi)的射影的位置.是解題的關(guān)鍵.因?yàn)橹挥写_定了射影的位置.才能找到直線與平面所成的角.才能將空間的問題轉(zhuǎn)化為平面的問題來解。

<2>求斜線與平面所成的角的程序：

①尋找過直線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；

②連接垂足和斜足得出射影.確定出所求解；

③把該角放入三角形計(jì)算。

<3>直線和平面所成的角.也應(yīng)考慮到直線和平面垂直、直線和平面平行或在平面內(nèi)諸情況.也就是直線和平面成90°角和0°角的情況.所以求線面所成角時(shí).應(yīng)想到以上兩種情況。

舉一反三：

[變式1]如圖所示.在正三棱柱中.側(cè)棱長(zhǎng)為.底面三角形的邊長(zhǎng)為1.則與側(cè)面所成的角是________。類型四、二面角4．如圖所示.在四面體ABCD中.△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等.且..求以BC為棱.以面BCD和面BCA為面的二面角大小?？偨Y(jié)升華：確定二面角的平面角.常常用定義來確定。舉一反三：

[變式1]已知D、E分別是正三棱柱的側(cè)棱和上的點(diǎn).且.求過D、E、C1的平面與棱柱的下底面所成的二面角的大小.

類型五、平面與平面垂直的判定5．在四面體ABCD中..AB=AD=CB=CD=AC=.如圖所示。

求證：平面ABD⊥平面BCD.

舉一反三：

[變式1]如圖所示.在空間四邊形ABCD中.AB=BC.CD=DA.E、F、G分別為CD、DA和對(duì)角線AC的中點(diǎn).求證：平面BEF⊥平面BGD?？偨Y(jié)升華：證面面垂直的方法：

<1>證明兩平面構(gòu)成的二面角的平面角為90°；

<2>證明一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線.將證明"面面垂直"的問題轉(zhuǎn)化為證明線面垂直的問題。[變式2]如圖所示.在Rt△AOB中..斜邊AB=4.Rt△AOC可以通過Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到.且二面角B-AO-C是直二面角.D是AB的中點(diǎn)。求證：平面COD⊥平面AOB

[變式3]過點(diǎn)P引三條長(zhǎng)度相等但不共面的線段PA、PB、PC.有∠APB=∠APC=60°.∠BPC=90°.求證：平面ABC⊥平面BPC。類型六、綜合應(yīng)用6．如圖所示.△ABC為正三角形.CE⊥平面ABC.BD∥CE.且CE=AC=2BD.M是AE的中點(diǎn)。求證：<1>DE=DA；<2>平面BDM⊥平面ECA；<3>平面DEA⊥平面ECA。7．如圖所示.已知PA⊥矩形ABCD所在平面.M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)。求證：<1>MN∥平面PAD；<2>MN⊥CD；<3>若∠PDA=45°.求證：MN⊥平面PCD。學(xué)習(xí)成果測(cè)評(píng)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1、平面外的一條直線與內(nèi)的兩條平行直線垂直.那么<>

A.B.C.與相交D.與的位置關(guān)系不確定

2、已知直線a、b和平面.下列推論錯(cuò)誤的是<>

A.B.

C.D.

3、若直線a⊥直線b.且a⊥平面.則有<>

A.B.C.D.或

4、若P是平面外一點(diǎn).則下列命題正確的是<>

A.過P只能作一條直線與平面相交

B.過P可作無數(shù)條直線與平面垂直

C.過P只能作一條直線與平面平行

D.過P可作無數(shù)條直線與平面平行

5、設(shè)是直二面角.直線.直線.且a不垂直于.b不垂直于.那么<>

A.a與b可能垂直.但不能平行

B.a與b可能垂直.也可能平行

C.a與b不可能垂直.但可能平行

D.a與b不可能平行.也不能垂直

6、設(shè)、為兩個(gè)不同的平面.、m為兩條不同的直線.且.有如下兩個(gè)命題：①若.則；②若.則.那么<>

A.①是真命題.②是假命題

B.①是假命題.②是真命題

C.①②都是真命題

D.①②都是假命題7、關(guān)于直線m、n與平面與.有下列四個(gè)命題：

①若且.則m∥n；②若且.則；

③若且.則；④若且.則m∥n.

其中真命題的序號(hào)是<>.

A.①②B.③④C.①④D.②③8、已知直線m⊥平面.直線.給出下列四個(gè)命題.其中正確的命題是<>①若.則；②若.則m∥n；③若m∥n.則；④若.則

A.③④B.①③C.②④D.①②

9、下面四個(gè)命題：

①兩兩相交的三條直線只可能確定一個(gè)平面；

②經(jīng)過平面外一點(diǎn).有且僅有一個(gè)平面垂直這個(gè)平面；

③平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等.則；

④兩個(gè)平面垂直.過其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作它們交線的垂線.則此垂線垂直于另一個(gè)平面其中真命題的個(gè)數(shù)是<>

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

10、設(shè)有不同的直線a、b和不同的平面、、.給出下列三個(gè)命題：

①若..則；②若..則；③若.則。其中正確的個(gè)數(shù)是<>

A.0B.1C.2D.3

11、已知直線⊥平面.直線平面.有四個(gè)命題：①；②；③；④.

其中正確的命題是__________.<把所有正確命題的序號(hào)都填上>

12、長(zhǎng)方體中.MN在平面內(nèi).MN⊥BC于M.則MN與AB的位置關(guān)系是_______。

13、如圖所示.直角△ABC所在平面外一點(diǎn)S.且SA=SB=SC.點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn).

<1>求證：SD⊥平面ABC；

<2>若AB=BC.求證：BD⊥面SAC。能力提升1、下面四個(gè)命題：

①若直線a∥平面.則內(nèi)任何直線都與a平行；

②若直線a⊥平面.則內(nèi)任何直線都與a垂直；

③若平面∥平面.則內(nèi)任何直線都與平行；

④若平面⊥平面.則內(nèi)任何直線都與垂直.

其中正確的兩個(gè)命題是<>

A.①與②B.②與③C.③與④D.②與④

2、一個(gè)二面角的兩個(gè)面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)面.那么這兩個(gè)二面角<>

A.相等B.互補(bǔ)C.關(guān)系無法確定D.相等或互補(bǔ)3、、是兩個(gè)不同的平面.m、n是平面、外的兩條不同直線.給出四個(gè)結(jié)論：

①m⊥n；②⊥；③n⊥；④m⊥。

以其中三個(gè)論斷作為條件.余下一個(gè)論斷作為結(jié)論.寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題________________。

4、已知直線PA與平面內(nèi)過點(diǎn)A的三條直線AB、AC、AD成等角。求證：PA⊥平面5、已知ABCD為矩形.SA⊥平面ABCD.過點(diǎn)A作AE⊥SB于點(diǎn)E.過點(diǎn)E作EF⊥SC于點(diǎn)F.如圖所示.

<1>求證